Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 4

Доказать следующие свойства многочленов Чебышева: 1)Т„(,) = 2Т„(х) — 1; 1тт 1 1 1 ( 1)" 3) ) Т„(р)4у = — ~ — Т„+т(х) — — Т„т(х) — —, и > 2; 2 1и+1 и 1 "- ) иг -1 4)(1 — х )То(х) — хТ„'(х)+игТ„(х) = О, и > О. 4.2. Найти все нули многочленов Чебышева Т„(х) . 4.3.

Найти все экстремумы многочлена Чебышева Т„(х) на отРезке [-1, 1]. 19 Г л а и а 11 Приближение функций и производных 4.4. Доказать, что приведенный многочлен Чебышева Т„(х) = = 21 "Т„(х) является наименее уклоняющимся от нуля среди всех многочленов со старшим козффициентом 1 на отрезке [-1, 1], т.е. шах ]Р„(х)] > шах ]Т„(х)] = 2' ". 4.5. Найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля среди всех многочленов со старшим козффицнентом 1 на отрезке [а, 6]. о 4.6. Пусть ю„(х) = П (х — х;). Показать, что при любом выборе узлов х; имеет место неравенство []ы„(х)]] > (о-а)" 2' з".

Сравнить ' ', полученный результат с имеющимся для равномерного распределения узлов. 4.7. Пусть й < и, 0 < а < 6. В классе многочленов Р„(х) степени и, удовлетворяющих условию Р„(0) = с ~ О, найти наименее 00 уклоняющийся от нуля на [а, о].

4.8. Среди всех многочленов Р„(х) = х" + ... степени а > 2, удовлетворяющих условиям Р„(-1) = Р (1) = О, найти наименее уклоняющийся от нуля на [-1, 1]. $ 4.9. Пусть Р„(х) — многочлен степени и и шах ]Р„(х)] = М. 1 *6[-1,0 Доказать, что для всех х, удовлетворяющих условию ]х] > 1, вы- ~ полняется неравенство ]Р„(х)] < М ]Т„(х)], где Т„(х) — многочлен:- Чебышева степени и.

4.10. Показать, что для системы узлов интерполяции х; = сое з†'„'я, 1 = 1,...,п (нули многочлена Чебышева Т„(х)), спра- ' ведлива аснмптотнческзя оценка сверху для константы Лебега А„ < :; < К 1пп с постоянной К,не зависящей от а. 4.11. Определить константу Лебега Аз для узлов интерполяции — нулей многочлена Чебьппева Тз(х) . 4.12. Получить представления для производных многочленов Чебышева следующего вида: —" = 2(Тяп-1+Тяп-з+...+Т1), — = 2(Тяп+Тяп-з+ +Те)+1.

) 2п " "' ' 2п+1 4.13. Вычислить значение многочлена Чебьппева и-й степени в ' точке: 1)х = 1; 2)х = — -'. 4.14. Вычислить значение провзводной многочлена Чебьппева ' и-й степени в точке: 1)х = 1; 2)х = — 1. 4.15. Функция 7(х) = яш2х приближается многочяеном Ла гранжа на [0,2] по и чебышевским узлам: х; = ахз1+ ~= сов фиг, 20 2 4. Миогочзены Чебышева ! - -1,..., и. Найти наибольшее целое р в оценке погрешности в равномерной норме вида еи = 2 10 ", если и = б. 4.10. Функция /(х) = совх приближается многочленом Лагранжа на [ — 1, 1] по н чебышевским узлам: х; = ях22 + «. ' сое 2— '„1х, 1 = 1,..., н.

Найти наибольшее целое р в оценке погрешности в равномерной норме вида еи = 10 ", если н = 5. 4.17. Среди всех многочленов вида азх + 2 х + а1 х + ао найти наименее уклоняющийся от нуля на [3, 5] . 4.18. Среди всех многочленов вида 5хз+ азх2+ а2х+ ае найти наименее уклоняющийся от нуля на [1,2] . 4.19.

Среди всех многочленов вида азхз+ азх2 + а2х+ 4 найти наименее уклоняющийся от нуля на [1, 3] . 4.20. Среди всех многочленов вида азхз + азх2 + 3 х + ао найти наименее уклоняющийся от нуля на [2,4] . 4.21. ПУсть х2 + Р2 = 1. Доказать, что Тзи(У) = ( — 1)иТ2и(х). 4.22. Доказать следующие представления многочленов Чебьппева: ° 1)Ти(х) = 'Я - х — ((1 - х )и- Т ), и > 0; (-1)и2ип! 2 и-1 2 (2н) ! 4хи 22 1 1 д" 4)Ти(Х) = — — — — [)П(1 — 22Х+ 22))1, 22 > 1; 2 (н 1)! 42и (и/2! 5)Ти(Х) =-" ~~'(-'1)«(" " ''(2Х)и-2«п>1 л((п — 2л)! 4.23. Пусть функция У(х) представима прн [х[ < 1 в виде ОО Оо !(х) = ~ а«Т«(х), где Я [а«[ < оо, Т«(х) — полиномы Чебышева. «=0 «=о Доказать,что для всех х Е [ — 1,1] справедливо равенство 1(2)41 = — х+ ~ — (а«2 — а«+2)Т«(х) + ао — — + ~ ое 1 а1 (-1) +~а« 2 2й 4 „й2 — 1 4 24.

В классе алгебраических полиномов степени и, принимаюв2вк в точке а([а] > 1) значение 6 24 О, найти наименее уклоняющийся ет нуля на [-1, 1]. 21 Г л в в а П. Пряслвжввве фувкцвй и л оязводяых 4.25. Функция е' приближается на [О, 1] ннтерполяционным многочленом степени 3 с чебьвпевским набором узлов интерполяции: хь = з + — сов в, й = 1,4.

Доказать, что погрешность интерпо- 1 1 121-1!у ляции в равномерной норме не превосходит величины е 10 з. 4.28. Доказать, что если узлы интерполяции на отрезке совпадают с нулями многочлена Чебьппева соответствующей степени, то справедливо неравенство Л„= шах~)Ф;(х)~ ) К !пв а=в с постоянной К, не зависящей от в. 2 5. 'Численное дифференииронание Пусть известны значения функции 1(х) в точках хм хз,..., х„и требуется приближенно определить производную 1!в)(х) для некото-' рого О < й < и — 1. Построим интерполяционный многочлен Х,„(х) и положим 1!ь!(х) в Х„(х); при этом для погрешности справедливо предста~ление ь Х!ь!(х) — Х1„!(х) = ~~,, 1!"+1!(С1)ыв! 1!(х) (й — 1)! (в + 1) ! Для системы равноотстоящих узлов (х;+1 — х; = Ь, 1 = 1, в — 1) часто используется другой подход, основанный, квк в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, на получении старших ана-1 логов производных через младшие.

Базовыми являются. следующие( выражения: ,Х( ) ~(* + ) — 1(*) ,-~(.) ~(*) — Х(* — ) ;Х(.) 1(д ,-) ( Это простейшие аналоги первой производной функции Х(х), незывач емые разввсвмьвв вперед, назад н Вевшральввй соответственно. Прий этом для получения оценок погрешностей удобно использовать рвз-( ложения Тейлора. Для получения формул численного дифференцирования на прак-; тике также используется л4етлвд неопределенных казффвввевтаав. Он! заключается в следующем: искомая формула записывается в виде в Х! !(хе) =~ с~Х(х;)+Я(Х), з=е З 3, Численное ди е енянроееиие и коэффициенты с; определяются из системы линейных уравнений Щ) = О, где У(х) последовательно полагают 1,х,хэ,...,х" '. Будем далее использовать обозначение У(х) Е С1 ">, если функцил У(х) имеет на интересующем нас отрезке все непрерывные производные до порядка т включительно.

5.1. Показать, что в точке х = х; (один из узлов интерполяции) справедлива оценка погрешности 5.2. Доказать равенства: 1) если У е С121, то дУ(х) — У'(х) = — У" (с), х < ~ < х+ Ь; 2 2) если У Е С®, то дУ(х) — У'(х) = — У'"(с), х — Ь < с < х + Ь. 5.3. Получить явные формулы для разностнык аналогов старших проюводных: ддУ(х), дддУ(х), дэдэУ(х). 5.4.

Найти величину К; = К;(Ь) в равенствах: 1) если у е С1~1, то дду(х) — у" (х) = Кэ уРО ®, х — Ь < с < х + Ь; 2) если У е С1е1, то дддУ(х) — У'е(х) = Кэ УОО(с), х — 26 < с < <х+26; 3) если У е С1е1, то дэдэУ(х) — УОО(х) = Кл У1е1(с), х — 26 < с < < х+ 26.

5.5. Считая, что значения функции в формулах численного дифференцирования (для аналогов второй и четвертой производных из предыдущей задачи) заданы с абсолютной погрешностью е, получить оценки полной погрешности этик формул как суммы погрешности метода и неустранимой погрешности. Найти оптимальный шаг Ье, при котором минимюируется величина оценки полной погрешности.

5.6. Методом неопределеннык коэффициентов построить формулы численного дифференцирования наиболее высокого порядка точности по Ь: 1) Ус(0) в [а У( — 26) + Ь У(0) + с У(6)[УЬ ~ 2) У" (0) в [а У(-Ь) + 3 У(6) + с У(26) + И У(36)1/Ь 5.7. Доказать, что и ОУ(О) У (О) ~ (Ь ~х[) У (х)4х. -л 23 Г л в в а П. П иахиькеыие фуыкпий и произыодыььк 5.8. Получить формулу численного дифференцирования наиболее высокого порядка точности по Ь следующего вида: 1) уд(0) в lь ь[а1(0) +(ь,ь'(Ь)+сУ(2Ь)]; 2) уд(0) и Ь ь[а1(0) + Ь/( — )ь) +сЯ2Ь)]; 3) Уд(0) и Ь ь[а1(0)+оУ( — Ь)+сУ(-2Ь)]; 4) Г'(О) в Ь ь[аУ(0)+ЬУ(2Ь)+сХ(З)ь)]; и найти Ь, при котором достигается минимум оценки погрешности, если пьах ]у("ь(х)[ < Аь, а абсолютная вычислительная погрешность не превосходит е, т.е. шах]у(х) — У'(х)[ < е. 5.9.

Используя формулу Тейлора с остаточным членом в инте- гральной форме дЬ) = у(а) + (Ь вЂ” а)ь'д(а) + ° ° + убб(а)+ (Ь а)х 1 (Ь св)х в(х+ь)(св) дсв пь получить оценки погрешности формул численного дифференцирова-[ ния (постоянные Сь, Сз не зависят от у и Ь) х д ]ду(х) - ~~(х)] < С, )' ]уе(С)! дх, х-Й х+ь ]ддт уе(х)] <С,Ь у [у00(д]дх. х-ь 5.10.

Доказать справедливость следующих равенств вьудь=ьвд-:-дв/ддвьвд, вьььдь= д ду —,ь' дд д(д — Ьдд)' 5.11. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в инте-.' гральной форме, получить оценки погрешности формул численного,: дифференцирования (постоянные Сь не зависят от / и Ь): х+Ь 1) ]д~(х) — ~'(х)] < Сь / ]~х(~)]ьК; 5. Чисееивое диффереввировавие 2) (и(*) — ('( )( < сй У ((ь'(()( В з) (и((*)-е((,;-<)-('(*)(<с( / (У"(())и; 4) (и)( ) — В(( — <) — <" ( )( < е < ( (/ (е)( (' в-гь )) (е*а'((.) — («(*)) < е,) ) ((<)(()(<(.