Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 3

3.11. Определить узлы интерполяции, прн которых константа Лс бега Аз минимальна. 3.12. Построить многочлен Рз(х) = ао + азх + азхз + азхз, удовлетворяющий условиям: Рз(-1) = О, Рз(1) = 1, Рз(2) = 2, аз = 1. 3.13. Построить многочлен Рз(х) = ао + азх + азхз + азхз, удовлетворяющий условиям: Рз(0) = Рз(-1) = Рз(1) = О, аз = 1. 3.14.

Построить многочлен Рз(х) = ао + азх + азха + азхз, удовлетворяющий условиям: Рз( — 1) = О, Рз(1) = 1, Рз(2) = 2, а1 — — 1. 3.15. Построить многочлен Рз(х) = ао + азх + азх + азиз, удовлетворяющий условиям: Рз(0) = Рз(-2) = Рз(1) = О, ао = 1. 3.16. Построить многочлен Рз(х) = по+ а1 х+ азхз + азхз + азхз, удовлетворяющий условиям: а; =О, Р(0) =О, Р(-1) =1, Р(2) = 2, Р(3) =3. 3.17. ПостРоить многочлен Рз(х) = ао+азх+азх +азхз+азх~, удовлетворяющий условиям: Р4(1) = Рз( — 1) = Р~з(0) = Рзо(0) = О, Р (О) = 1. 14 В 3. Поляломяазьвав лоте яазяяия 3.18. ПостРоить многочлен Рв(х) м ао+ азх+ азхз + азхз + азх4, удовлетворяющий условиям: 4 Р„(0) = О, Р4(1) = 1, Р4(2) = 2, Рз(3) = 3, ~ а; = 0 .

гьа 3.19. Построить многочлен Лагранжа Е„(х) степени и — 1, удовлетворяющий условиям Ь„(хз) = уь: 1)и = 4; хг = Охз = 1хз = 2хз = 4; уг = 2 уз = 3 уз = 4 уз = 6; 2)и = 3; хз = 2й — 1, уа = 8в1п — (2й — 1), й = 1,2,3. 3.20, Построить интерполяционный многочлен для функции /(х) = ]х[ по узлам -1, 0,1. 3.21.

Построить интерполяционный многочлен для функции /(х) = хо по узлам х; = з, з = 0,1,2,3. 3.22. Построить 'многочлен Лагранжа Ьз(х) третьей степени, удовлетворяющий условиям Ьз(хз) = уь. хь = й — 5, уз = Зйз+ +2йг+й+1, й= 1,2,3,4 3.23. Функция /(х) приближается не [а, 5] по и равноотстоящим узлам х; = а+ з '(з — 1), з = 1,...,и. Найти наибольшее целое р в оценке погрешности вида в„ = 10 з в равномерной норме для следующих случаев: 1) /(х) = — / сов(хв(пг)г11, [О, 1], и = 3; 1 г о 2) /(х) = 1пх, [1,2], и = 4. 3.24. Оценить погрешность приближения функции е* интерполяционным многочленом Лагранжа Ьз(х), построенным по узлам хо = 0.0, хг = 0.1, хз = 0.2, в точке: 1) х = 0.05; 2) х = 0.15. 3.26.

Функция в1пх приближается на отрезке [О,т/4] интерполяционным многочленом по значениям в точках О, т/8, т/4. Оценить погрешность интерполяции на этом отрезке. 3.26. Функция 1п(х) приближается на отрезке [1,2] интерполяционным многочленом третьей степени по четырем узлам 1, 4/3, 5/3, 2. Доказать, что погрешность интерполлции в равномерной норме не превосходит 1/300. 3.27. Функция /(х) = ехр(2х) приближается на отрезке [-1/2, 1/2] интерполяционным многочленом второй степени по трем Г л а в а П. П иближеяяе фуякцяй я прояьяьедяььх узлам: -1/2, О, 1/2. Доказать, что погрешность интерполяции в равномерной норме не превосходит ~/3/9.

3.28. Оценить погрешность интерполяции функции /(х) = агсьбх на отрезке [0,1] многочленом Лагранжа пятой степени на равномерной сетке. 3.29. Оценить число узлов интерполяции на отрезке [О, я/4], обеспечивающее точность е < 10 ~ приближения функции /(х) = выл х. 3.30. С каким шагом следует составлять таблицу функции ьбпх на [О, я/2], чтобы погрешность линейной интерполяции не превосходила 0.5 10 ве 3.31. Определить степень многочлена Лагранжа на равномерной сетке, обеспечивающую точность приближенил функции с' на отрезке [О, 1] не хуже 10 з.

3.32. Пусть функция /(х) = выл х задана на отрезке [О, Ь]. При каком Ь многочлен Лагранжа Ьв(х), построенный на равномерной сетке, приближает эту функцию с погрешностью с < 10 в? З.ЗЗ. Пусть / Е С(ь) [а, Ь] и р(х) — полинам, аппроксимирующий /'(х)с ть'.(чностью в в норме С[а,Ь]. Доказать, что полинам ь?(х) = = /(а) + ] р(ь)ььь' аппраксимирует /(х) с точностью е(Ь вЂ” а) в норме С[а, Ь]. 3.34. Пусть функция /(х) задана на [а,Ь] и шах ]/е(х)] < 1. керчь) Оценить погрешность приближения этой функции ломаной, построенной на равномерной сетке с шагом Л.

3.35. Пусть шу(?ь) = пьах [/(х + Ь) — /(х)] — модуль непре- еейьь-и) рывности функции У(х). Доказать, что ]/(х) — ь' ь(х)] < шу(й). 3.36. Привести пример непрерывной на отрезке [ — 1, 1] функции, для которой интерполяционный процесс Лагранжа на равномерной сетке расходится. З.Зь. Доказать, что длл любой таблицы узлов интерполяции (х",хь,...,х„") на отрезке [0,1] существует анзлитическал на этом отрезке функция /(х) такал, что []1„(х) - /(х)]]о не стремится к нулю при и -+ оо, где 1.„(х) — ннтерполяционный многочлен Лагранжа.

3.38. Доказать формулу: и 1е(ха+ Я = „') С~ь~~/е Ь/ь = /ььь — /ь. ь=в 1 3. омяальяаа инте пол»лил 3.3й. Доказать формулу: « ,1„(*,-»6) =~ (-1)"С,"~"У„~У»=У»-Л,. 3.40. Д1>казать формулу « й«~хо + Сй) = ~ С~13'~»уз> ЮЛ = Л~.1!1 — Л-1(1. й=е 3.41. До»звать, что если многочлен Р,(х) степени я — 1 удовлетворяет условиям: Р,(х1) = Дх1), ..., Р(~1 0(х1) = 7™ О(х1), Р,(х») = ~(хз)> ..., Р1(« ~1(хз) = ~™ ~(хз), ' > Р,(х„) =~(х„), ..., Р(м" 0(х„) =~™ 11(х„), М1 + М» + ... + М„= », то справедливо равенство У(х) — Р.(х) = —, ( ), (х) = П(х-*1) ". ~(ОК) >=1 3.42. Функция двух переменных у(х1,хз) аппроксимируется интерполяционным многочленом Р(х1, хз) = ае + а1 х1 + азхз + азх»х» . При этом у(0,0) = 1,у(1,0) = 2,у(0,1) = 4,У(1,1) = 3. Найти РЯ 2, 1/2). 3.43.

Пусть Р(х1, хэ) — многочлен от двух переменных степени не выше и по каждой переменной и Р(й/и, п»/и) = О, й, т = О, 1, ..., п. Доказать, что Р(х1, хз) ю О. 3.44. Доказать, что для любых хе,х1,...,х»«, удовлетворяющих условиям а < хо < х1 « ...

хг«< а + 2х, и для любых уе,р1,...,ух«существует единственный тригонометрический поли« иом Т(х) = ае/2+ ~ (а»сояйх+ 6»е!пйх), удовлетворяющий услой=1 виям Т(хй) = рй, й = 0,1,2,...,2п. Если при этом ре>у1»...уз«вЂ” вещественные, то и коэффициенты ай, 6» являются вещественными. 3.45. Показать, что если х1,..., хз„— вещественные, то функх — хй ция Т(х) = П еш — являетсл тригонометрическим полиномом й=1 Г л а в а П. Приближение фувиций и и оизоодиых вида ао/2+ 2 (а» сов йх+Ь» вш йх) с вещественными козффиш(ентами »ьа а», Ь».

/ 3.46. Доказать, что интерполяционный тригонометрический полинам Т(х), удовлетворяющий условиям Т(х») = ую й = б, 1,..., 2и, где а < хо < хг « ... хзо < а+ 2т, может быть записаг/ в виде 2и вн Т(х) = ~~г р»Ф»(х), где Ф»(х) = П вш — '/вш~ — —. »=о ,и» 3.47. Доказать, что для любых хо, хг,..., х„, удо етворяющих условиям а < хо < хг « ...

х„< а + т, и для любых ро, уы, р существует единственный тригонометряческий полин ном С(х) = [ а»совйх, удовлетворяющий условиям С(х») = у», »=о й = 0,1,2,...ФВ. 3.48. Построить тригонометрический полинам па отрезке [О, 1[ цо заданным значениям /(О), /(Л), /(2Л), /(ЗЛ), Л = 1/4. 3.41[. Построить тригонометрический интерполяцнонный полинам второй степени Тз(х) = во+а» совх+Ьг вшх+аз сов2х+Ьзв1п2х, удовлетворяющий условиям: Тв(0) = О, Тз(в/4) = 1, Тв(л/2) = 1, Тз(Зх/4) = 1, Тз(х) = 1, 3.30. Построить интерполяционный тригонометрический полинам минимальной степени по заданным значениям /(-гг) = О, /(-и/2) = О, /(и/2) = 1.

3.31. Доказать, что тригонометрический полинам Т„(в) степени и имеет в любой полосе Вя(в) е [а,а+ 2х) ровно 2н корней. 3.62. Пусть Т„(х) — тригонометрический интерцоляционный многочлен степени н, построенный по равноотстоящим узлам на [0,2и] для функции У(х) е С( >, а > О. Доказать, что 1пп [[҄— /[[сг = О. 3 4. Многочлены 'Чебышева Имеется несколько способов определения последовательности многочленов Чебышева первого рода.

Рассмотрим некоторые из них. а) Рехуррентное соотношение То(х) = 1, Тг(х) = х, Т„+г(х) = 2х Т„(х) — Т„ г(х). 18 В 4. Мяогочяеиы Чебышева б) Тригонометрическая форма. При любом тт имеем сов [(и + 1) тт) = 2 сов тт сов(ит)) — сов ((и — 1) и) . Полагая тт = вгссов х, получаем Т„(х) = сов(иагссовх) =ь ]Т„(х)[ < 1 при ]х] < 1. в) Разностное рраененне. Рекуррентное соотношение является ревностным уравнением по переменной и.

Ему соответствует характеристическое уравнение р~ — 2хи+1=0. Следовательно, р1,г = х ш ~/хг — 1 и Т (х) = Стр1 + Сгр! 1 Из начальных условий получаем Ст — — Сг = —. Это дает 2 12 н п~ Т„(х) = — ( (х + 1Я: 1) + ( †,/Р: 1) ) . 21 Отметим, что все многочлены Тг„(х) — четные, а Тг„ет(х)— нечетные. При этом коэффициент при старшем члене равен 2" '. 4.1.