Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 5

5.12. Пусть У 5 Сг ", О < Л < 1, т.е. У 5 С(г), (/"'(х) — У)е(у)~ < й)х — у)г 'ех,р. Доказать, что ддУ(х) — Ув(х) = = 0(Ь'+"). 5.13. Доказать справедливость следующих равенств: 1) а(УЙ = Уар+ раУ вЂ” ьаУак 2) а(Ур) =Уад+раУ+ —,'(ааУа,+аа,аУ); раУ- Уар а(р+ Ьдр)' 5.14. Пусть числа (г, не зависящие от Ь, порождают формулу численного дифференцирования максимального порядка точности УОО(х) в(Ь в 1, 'сЧУ(х+УЬ).

Доказать, что: у=-в 1) сЧ = а г, если й четно, а = -а, если й нечетно; в+1 2) формула уОО(х) Ь " ~" дгу(х+ уй) не может иметь больший порядок точности, причем она имеет тот же порядок точности тогда только тогда,когда;9„+г = О, дг = а, У = -п, -и + 1,...,п — 1,п. 5.15. Пусть вычислены точное и приближенное значения У"(хе) "Ри узлах интерполяции х (,...,хе,...,хп х; — х; г = Ь. Показать, что справедливо представление 2(-1) (й) <г(+г~ 2 1(1)г и хе — (2)+2)( Г л а г а П.

П яблгжеявг фуякпяй и производных 6.16. Доказать, что если все точки х; ргзличвы и удалены от точки хо ва расстояние 0(Л), где Л вЂ” малая величина, то при гладкой /(х) приближенная формула численного дифферевцирован иия /(ь~(х) ш ',[ с;/(х;) имеет порядок погрешности 0(Ь™). Здесь еы иь > /+ 1 — Й, / — максимальная степень мвогочлевов, для которых зта формула точна.

6.17. Найти гппроксимгцюО / (х) ва сетке хо х +м х~+г, хььг с максимально возможным порядком точности по Ь = шах Ьь. 1<ь<ььз 6.18. Найти коэффициенты формул численного дифференцирования максвмагьвой степени точности: 1) /'(х) ш (а/(х) + Ь/(х + Ь) + с/(х — Ь))/Ь; 2) /'(х) ш (а/(х) + Ь/(х + Л) + с/(х — 2Ь))/Ь; 3) /о(х) в (а/(х) + б/(х + Ь) + с/(х+ 2Ь))/Лг; 4) Уо(х) ш (а/(х)+ ЬУ(х+ Ь)+ с/(х — Ь))/Ьг; 6) Уп(х) и (а/(х) + ЬУ(х — Ь) + с/(х — 2Ь))/Ьг. 6, Многочлен наилучшет о равномерного приближения Пусть К вЂ” пространство ограниченных вещественных функций,! определевиых ва отрезке [а, Ь] вещественной осв с нормой ]]/(х)]! =4 гпр [/(х) ].

Для элемента / е К отыскивается наилучшее прибли ! леуьь! жение вида н 4).(*)=Е *' 1=0 Миогочлев Я'„'(х) игзываетсл миогочлеиом наилучшего рагиомерноге приближения для функции 7(х), если для любого миогочлева Я„(хр' степени и справедливо неравенство ][У-Я'.[! < []У-Я.]!. Такой мвогочлеи существуег всегда, а его единственность имеет мггс сто при дополнительном предположении о непрерывности /(х). Теорема 'Чебышева. сйиобм миогочлеи О„(х) был многочленаг наилучшего раоиомгриого приближения непрерывное фунннин /(х)т 1 5. Наилучшее разломе пое прпбляжепяе необходимо и достнатпочно сутаестлвованил на [а, Ь] но крат1неб мере а+2 оючек хо « ... х~ьт шакая, чшо у(хт) — Я„(х;) = а( — 1)'[[у — Я„[[, еде т = О,...,п+ 1 и а = 1 (или тт = -1) одновременно длл всех т.

Точки хо,...,х„ьт, удовлетворяющие условию теоремы, называются шочками чебьиаевского альтернанса. 6.1. Построить многочлен наилучшего равномерного приближеиют степени н = 50 для у(х) = вш100х на отрезке [О, тт]. 6.2. Пусть У(х) — выпуклая непрерывная функция на [а,Ь] и от(х) — ее многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени. Доказать, что концы отрезка а и Ь входят в альтернанс. 6.3.

Построить многочлен навлучшего равномерного приближения степени и = 1 для У(х) = хз на отрезке [1,2]. 6.4. Построить многочлен наилучшего равномерного нриближевия степени н = 1 для У(х) = [х] на отрезке [ — 1, 5]. 6.5. Пусть |1"+О(х) не меняет знак на [а, Ь] и Я„(х) — много- член наилучшего равномерного приближения степени н для у(х).

Оценить величины Ст и Сз в неравенстве Ст < [[~(х) — Я„(х) [[ < Сз. 6.6. Пусть у(х) — непрерывная нечетная функция на отрезке [-1, 1]. Показать, что многочлен наилучшего равномерного приближения нроиэвольнот1 степени н — также нечетная функция.

6.7. Получить оценку вида С„< [[ в1п х-Я„(х) [] < 2 С„для много- члена наилучшего равномерного приближения степени и на [--", з ]. 6.8. Построить пример функции у(х) и ее многочлена наилучшего равномерного приближения Я„(х), не удовлетворяющих теоремам Чебьппева и единственности. 6.9. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения степени и для функции Дх) на отрезке [а, Ь]: 1) и=1, у(х) =хз, [-1,1]; 2) и=3, у(х) =е*, [-1,1]; 3) и =3, у(х) =Звш 10х+[х — 7х+10[, [3,4].

6.10. Найти многочлен наилучшего равномерного приближения степени и =1 для функции у(х) = 1+с/х на отрезке [0,1]. Г л а в а П. Приближелие уиклюг и ироиэводимх 6.11. Найти многочлен наилучшего равномерного приближения степени и = 3 для функции у (х) = вш хв на отрезке [ — ~~я, ~Я . 8.12. Найти многочлен наилучшего равномерного приближения степени и = 1 для функции 7(х) = [х[ на отрезке [-1,2] . 6.13. Найти многочлен наилучшего равномерного приближения степени и = 2 для функции у(х) = хв на отрезке [-1,1] .

6.14. Построить многочлен наилучшего равномерного приближе-~ ния первой степени к функции 7'(х) = ~/хе + 1 на отрезке [О, 1]. 6.15. Построить многочлен наилучшего равномерного прнближе-[ ния четвертой степени к функции у(х) = вгп(бях) на отрезке [О, т]. г 6.16. Построить многочлен наилучшего равномерного прнближе~ ния степени п для функции 7'(х) на отрезке [а, Ь]: ] 1) а=2, у(х) =х, а=О;Ь=1; 2) и = 2, 7(х) = хе, а = -1, Ь = 1; 3) а=1, 7(х) =вши, а= -1,Ь=я; 4) а=3, 7(х) =[ив — 7х+10[, а=З,Ь=4; 5) и = 30, 7(х) = 2хз+ Зх+ сов 50х, а = О,Ь = я; 1 8) и=1, у(х) =1+и,р>0, а=О,Ь=1; 7) а = 2, у(х) = Зхв + Зх+ 5, а = 1, Ь = 7.

6.17. Найти константу С в оценке г С/2 < [] совх — Яее(х)[[с[ ув дб < С, где Щх) — многочлен наилучшего равномерного приближения че'". твертой степени. 8.18. Доказать, что [] ехр(х) — ф(х)[[о(е 0 > 1~54000, гдв Яее(х) — многочлен наилучшего равномерного приближения четверг той степени.

8.19. Рассматривается задача наилучшего равномерного при] ближения функции е* на [-1,1]. Показать, что 10 е < [[ехр(х)-,', -Чее(хЩ г П < 10 в, где г',)ов(х) — многочлен наилучшего равнге мерного приближения шестой степени. 6.20. Показать, что чебьппевскнй авьтернанс для функции е' всгЬ гда содержит крайние точки отрезка, на котором решается задач7 наилучшего равномерного приближения. 6.21. Привести пример функции и соответствующего ей многгу члена наилучшего равномерного приближения, для которых с редв точек чебьппевского альтернанса нет граничных точек отрезка, ва котором решается задача приближения. 6.22, Пусть ~ авТв(х) — некоторый ряд по системе много члв в=о нов Чебьппева Тв(х).

Доказать, что каждая частичная сумма р яДв 1 6. Наилучшее номерное Я„(х) = ~ ааТа(х) есть многочлен наилучшего равномерного прил ае ближения степени и на [-1, 1] для Я„+1(х). 1 6.23. Функция у(х) = — приближается на [ — 1, 1] многочлех+9 ном первой степени следующими способами: 1) наилучшее равномерное приближение; 2) отрезок ряда Тейлора в точке х = 0; 3) интеРполацил с оптимальными Узлами хцз = ш2 '~з. Построить зти многочлены и вычислвть нормы погрешностей в С[-1, 1]. 6.24.

Функция у(х) = е * приближается на [-1, 1] многочленом первой степени следующими сцособеми: 1) наилучшее равномерное приближение; 2) наилучшее приближение в Ьз(-1, 1); 3) отрезок ряда Тейлора в точке х = О, т.е. интерполяция с узлами х1 ш хз = 0; 4) интерполяция с узлами х1 = -1, хз = 1; 5) интерполяция с онтимаиьвыми узлами хьд = ш2 1~а.

Построить зти многочлены и вычислить нормы погрешностйй в С[-1, 1]. 6.26. Найти наилучшее приближение е* константой в норме Ь|(0, 1). 6.26. Пусть Рз — пространство алгебраических полиномов второй степени с нормой []р[[ = ]р(-1)]+]р(0)]+]р(1)]. Найти наилучшее приближение функции р(х) = х Е Рз константой. 6.2Т. Пусть п ) 1 и заданы (ха, рь), й = О, 1, ..., п., Найти линейную функцию р(х) = ах+ Ь, минимвзврующую функционал е ~~~ (уа — ахл — Ь)з.

а=о 6.28. Пусть А и х — вещественные и х и матрица и и-мерный ~'р. ле = ь<* — ~ь = члп:Б, м:Б~. л, ум (Ах, х) достигает минимума при $ = — ' (х, х) 6.29. Найти наилучшее приближение в л з(а, Ь) функции У(х) алгебраическими многочленами Р„(х) степени и: )а = -1, Ь = 1; у(х) = ]х[; п = 1; 2)а = -1, Ь = 1; Дх) = хз; п = 1; 3)а=-1,Ь=1; Дх) =хз; пш1; 4)а=-1,Ь=1; Дх) =х~; пш2; Г л в в в П. Приблвжеяие функций я ароязводнмх 5)а = О, Ь = я", у(х) = зшх; и = 2; 6)а = О, Ь = 2; )(х) = хг; и = 3. 6.30. Для заданной функции у(х) найти алгебраический многочлен Р„(х) степени и, минимизирующий весовой функционал в (У(*) — Р (х)) ьг(-1>1) следующего вида ) дх: Я- х~ 1)у(х) = -(х + 2х+ 1), и = 1; 2) ((х) = хг, и = 1; 3) ((х) = хз, и = 2.

[ 1 7. Приближение сплайнами Пусть на отрезке [а, Ь] вецественной оси задана сетка: а = хо < < хг « ... х„= Ь, Р (х) — множество многочленов степени не выше т (т > 1), С(') [а, Ь] — множество функций, имеющих на [а, Ь] непрерывные производные до г — го порядка включительно (г > 0) . Функцию Яю(х) = Я„,,ь(х) яазмвают полиномиальяым сплабком с>пепени т дефекта й (1 < Ь < т) с узлами (х;), 1 = О, и длл фркк- ~ ции у(х) Е С[а, Ь], если вьтолкеям следрюиьие условия: 1) уа каждом из отрезков [хпх>+>], 1=0,п — 1 она лвляегпся,.) мяогоиаеном — Я~(х) Е Р~(х); 8) ка всем отрезке [а, Ь] обладает непрерывностью производных .-„. — Я>ь (х) Е С(ю ь) [а, Ь] . В дальнейшем термин "дефекта й" будет опускаться, так как в задачах рассматривается только случай й = 1.

Сплайн называется интерполвиионным, если в узлах (х;) сира-1 ведливы равенства Я (х;) = У(хг), 1 = О,п — 1. Используются также локальные (аппрокеимаииояяме) сплайны,( значения которых в узлах, как правило, не совпадают со значениями ~ у(х) . Это обстоятельство не носит принципиального характера, так ~ как при вычислениях обычно используются приближеные значения функций. Приведем построение локального сплайна третьей стенание> на сетке с постоянным шагом Ь = хьы — хп 1 = О,п — 1 для отрезка,", [О, 1]. Для зтого используется стандартный сплайн В(х), определяе-;> мый соотношениями — — хг + Цх]г при [х] < 1, В(х) = в (2 — ]х]) при 1 < [х[ < 2, М 0 при 2 < [х].