Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 2

Г л а в а 1 Погрешэость ошеякя задачи Если р — такое действительное число, что результат отображения 71(у) Е Р, то имеет место аксиома У1(у) = р(1 + 0), где в случае У1(у) 14 0' )О~ < е. Будем считать, что е есть точная верхняя грань для ф. При традиционном способе округления чисел имеем е = 1р1 ',при округлении отбрасыванием разрядов е = р' '. Величину е часто называют ма1лвняоб н1очносв1ью. Обозначим результат арифметической операции * с числами а,Ье Р через 11(аоЬ).

Если 71(аоЬ)?40, то ЯоэЬ) =аоЬ(1+и), ~0) <е. Приведенное соотношение является основной аксиомой, позволяющей изучать влияние ошибок округления в различных алгоритмах. /а+ Ь'1 1.1. Верно ли, что всегда У1 ~ — ) О (а,Ь) ? 1.2. П~сть отыскивается наименьший корень уравнения р~ — 1409+1 = О. Вычисления производятся в десятичной системе счисления, причем в мантиссе числа после округления удерживаетсл 4 разряда. Какая из формул р = 70 — 1/4899 или р = 1 70+ 1/Й99 дает более точный результат? 1.3. Пусть вычисляется сумма 1ОООООО О1 ОООООО = ? По какому алгоритму 1 ЯО = О, Яо = Я,ь-1 + —, и = 1,...,1000000, пз или = О, ~ = ~+ —,, п =1000000,...,1, 1 1ОООООО о-1 и следует считать, чтобы суммарнал вычислительная погрешность была меньше? $1.

Вычнслительнаа погрешность 1.4. Предложить наилучший способ вычисления энакопеременной суммы. 1.5. Пусть приближенное значение производной функции /(х) определяетсл при Ь «1 по одной вз формул: /(х+Ь) -/(х-Ь) 2Ь -3/(х) + 4/(х+ Ь) — /(х+ 2Ь) /'(х) ш 2Ь а сами значения /(х) вычисляются с абсолютной погрешностью 11. Какую погрешность можно ожидать при вычислении производной, если ~/1ь) ~ < Мь, Ь = О, 1,...? 1.6. ПУсть значение многочлена Р(х) = ае + а1х+ ... + аох" вычисляется в точке х = 1 по схеме Горнера: Р„(х) = по+«(а2+х(...(а„2+а„х)...)). Какую погрешность можно ожидать в результате, если коэффициенты заданы с погрепшостью б? 1.7. Пусть вычисляется величина Я = а2х2+...+а„х„, где коэффициенты а; заданы с погрешностью Б.

Найти погрешность вычисления Я при условии, что х~~ + ... + х~ = 1. 1.8. Пусть вычисляется /(х), причем / имеет непрерывную производную в этой точке. Найти главный член погрешности при условии, что х задано приближенно с точностью б. 1,9. Пусть ~х~ < 1. В каком порядке лучше вычислять сумму ~„х" с точки зрения уменьшения вычислительной погрешности? 1.10. Пусть вычисления ведутся по формуле Ус+1 =2Уо — Уо-1+Ь 1п, о=1,2,..., 2 Уо, У1 заданы точно, ~Я < М, Ь << 1. Какую вычислительную погрешность можно ожидать при вычислении уь? улучшится ли ситуация, если вычисления вести по формулам «ею — «о / Ч Уо Уо-2 Ь ' Ь о~ «о 1.11. Вычислить постоянную Эйлера С = 1пп (1+ 1/2+ 1/3+...

+1/и — !по) с 10 верными знаками. Г л в в а й Погрешность решеиив задачи 2. Погрешность функции Пусть искомая величина у является функцией параметров ао 1 = 1,п1 у = у(а1,аз,...,аа). Область С допустимого изменения параметров а1 известна, требуется получить приближение к у и оценить его погрешность. Если у' — приближенное значение величины у, то предельной абсолюп1кой погрешносшью называется величина А(у') = ацр )у(а1,ао,...,а„) — у'~; (а1 аа,-,а )ЕС при этом предельной оапкосктааькой погрешностпью называется ве- А(у') личина —. 1у'! ' 2.1.

Доказать, что предельная абсолютная погреппюсть А(у') ° У1 + У2 минимальна при у' =, где 2 у1 = 1пеу(а1,аз °,а ), уз =гору(а1,аз,...,а„). с с 2.2. ПОЛОЖИМ а 40( ° ) ~~1 у( 1 2 '''! а) 2),(аа) 4 1(уа) ~~1 В Д(аа) 1'=1 да. уи1 ~ду(а1,аз,...,а„) где Ву = опр1 ' ' ' . Доказать, что с 1 да1 Ао(у') — А(у') = о(р), Ао(у') — А(у') = о(р), 1/2 У и ГдЕ реа ~~ 12~(азе) Уш1 2.3. Пусть у = а'о, а' = 1 и задана л(а').

Вычислить величины Ао(у") Ао(у ) А(у ) 2.4. Показать, что предельная абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей с точностью до членов второго порядка малости. 2.$. Показать, что предельная относительная погрешность произведения или частного равна сумме предельных относительных погрешностей с точностью до членов второго порядка малости. 2.6. Имеется приближение у' к корню уравнения У(у) = О. Вывести приближенное равенство УЬ*) у — у* %— У'Ь') ' 10 2. Пег мякость уяклии 2.Т. Пусть р' — решение уравнения у~+а~у+аз = 0 при заданных приближенных значениях коэффициентов а'„аэ и их погрешностях Д(а~), Д(а~).

Доказать, что 10( *) — Ь ~Д(а1) + Д~(а2) 12р' + аД 2.8. Показать, что в случае, когда уравнение из предыдущей задачи имеет корень кратности и, погрешность приближенного значения корня имеет порядок 0(р~/ ), где р = 1Дз(а~) + Дэ(а3)) 2.9. С каким числом знаков надо взять 1я 2, для того чтобы вычислить корни уравнения хэ — 2х + 1и2 = 0 с четырьмя верными знаками? 2.10. Пусть ограниченные по модулю величиной М коэффициенты уравнений: 1)ахз + с = 0; 2)ахэ + Ьх = О; 3)хэ + Ьх + с = О; 4)ахз + Ьх + 1 = 0; 5)ахз + Ьх+ с = 0 вычисляются с одинаковой относительной погрешностью Ю. Найти максимальную погрешность, с которой могут вычисляться их корни.

Глава П Приближение функций и производных 3. Полиномиальнал интерполяции Пусть а = х1 < хз « ... х„= Ь вЂ” набор различных точек (узлов) на отрезке ]а, 6], в которых заданы значения функции у(х) так, что уь = у(х;), ь = 1,...,и. Требуется построить многочлен, принимающий в точках хь значения уь, и оценить погрешность приближения достаточно гладкой функции этим многочленом на всем отрезке [а16]. Приведем в явном виде вспомогательные многочлены Ф;(х) степени и — 1, удовлетворяющие условиям Ф;(х;) = 1, Ф;(х ) = 0 при яуьь: Ф'(х) = П *.:*'. ,, х; — х.

Далее с их помощью запишем формулу для многочлена Лагранжа 1.„(х) = ~~~ Д Ф~(х) . ьы Существование и единственность многочлена степени п-1, принимающего в и ргзличнык точках заданные значения, следует из отличия от нуля соответствующего определителя Вандермонда; поэтому указанный многочлен Ь„(х) есть решение поставленной задачи. Пусть п-л производная Функааи У(х) непрерывна на отрезке ]а, Ь]. Тогда длл любой точка х Е ]а, Ь] су1лествует точка с Е [а, 6] 1пакав, что справедливо равенство у(н)(че) У(х) — Ь„(х) = , ы„(х), где ы„(х) = Ц(х — х;). ь=1 12 В 3.

Поляяомиззьяаз яятеряолллнл Следствием этого представления является оценка погрешности в рав- номерной норме ЦДх) — Ь„(х)Ц < , Цсо„(х)Ц, где Цу(х)Ц = впр Щх)[. ЦУОО(х)Ц и'. же~а,ц Величина Л„= зпах ~~ [Ф;(х)[ зе[а,з) называется иоисизоищоб Лебега иищериолзвиоииого процесса. Ско- рость ее роста в зависимости от величины и определяет как сходи- мость Ь„(х) к у(х) в равномерной норме, так и оценку вычислитель- ной погрешности интерполяции. 3.1. Построить многочлен Лагранжа при и = 3 для следующих случаев: 3.2.

Вычислить х~Фз(х) при р= О, ...,и. Зат Ь вЂ” а, 3.3. Пусть х< = а+ — (1 — 1), з = 1,..., и. Вычислить Цю„(х) Ц и — 1 при и = 2,3,4. 3.4. Функция /(х) приближается на [а, Ь] по и равноотстоящим узлам х; = а + з ',(з — 1), з = 1,...,и. Найти наибольшее целое р в оценке погрешности вида г„= 10 з в равномерной норме для следующих случаев: 1) [0,0.1], у(х) =вш 2х, и =2; 2) [-1,0], Дх) =ехр х, и=3, 3.5, Число 1п15.2 вычислено следующим образом. Найдены точные значения 1п15 и 1п16 и проведена линейная интерполяция между этими числами. Показать, что если х и у — соответственно точное и приближенное значения 1п 15.2, то справедлива оценка О« — „4 ° 10 4, 13 1) хз Л 2) хз Л хз = О, хз Уз 2~ зз хз = 2, хз 4, ~з =1, =5; =4, — б Г л а п а П.

Приближение фуяклпй я производных 1 3.6. Функция у(х) = приближается на [-4, -Ц многочлеАз — х ном Лагранжа по узлам х; = — 4, — 3, -2, -1. При каких значениях А оценка погрешности в равномерной норме не превосходит 10 зу 3.7. Доказать, что если узлы интерполяции расположены симметрично относительно некоторой точки с, а значения интерполируемой функции в симметричных узлах равны, то интерполяционный многочлен Лагранжа — функция, четная относительно точки с. 3.8. Пусть а < х < Ь и — 1 < у < 1, и, соответственно, узлы интерполяции х; и уо з = 1,..., и, связаны линейным соотношением х; = х(уя) = Язх-+ ~ 'у;.

Доказать, что константы Лебега интерполяционного процесса А„' и Лп ', соответствующие этим отрезкам, (е,6 (-к0 совпадают. 3.9. Показать, что для системы равноотстоящих узлов (х; = з, з = 1,...,п) при и > 2 справедлива оценка снизу для константы Лебега Лп > К 2" /пзlз с постоянной К, не зависящей от и. 3.10. Показать, что для системы равноотстоящих узлов (х; = з, з = 1,...,и) при а > 2 справедлива оценка сверху для константы Лебега ~„ < К2" с постоянной К,не зависящей от и.