Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 8

2х — 81п2х . 2 — 2соа2х 11ж — — — = 11ж 2 2 3 = 11ж а)п х х х О 4х 12х 2 1 1 . 1 — соз2х 281п х 1 11ж —,— — = 11ж ° 2 2 2 = 11ж — = —. х 0 81П Х Х х 0 ОХ х О бХ 3 2 Пример 3. Вычислить 11ж (соа2х) (неопределенность типа 1 ), х-0 Лотарифмируя и применяя правило Лопиталя — Бернулли, получим 3 11ж 1п(соа2х) = 11ж Р . З1псоз2Х, Фд 2х - -611ж — = — 6.

х-0 х О 2 х-О 2Х 3 СЛЕдеаатально, 11ж (СО82Х)' = е х -~ 0 Найти указанные пределы Функций: 3 2 776 1 Х вЂ” 2х — х+ 2 х -7Х+6 х — 2х — х+2 . Зх -4Х-1 1 3 2 2 РЕШЕНие. 11ж - 11ж 4Ю х — 7х+6 ' Зх — 7 777, 11п1 х -*О 778. 11Й1 779. 111п 1п.х Чх сф— 2 1п(81'птх) 1п 81пх х = 11~й 1пх т-*О 1 х 1 1пп — О„ х х-0 1 2 х откуда 1пп у = 1, т. е.

1пп х = 1, х — 0 х-'е 1 804. 1ип х х '"1 805. 11 ~~а — "1 х-~ ~ 4Г з 800. 1ип х х -0 806. 1пп (с$~ х)" 801. оп хо~ . х-о х- 0 1 803, Ит (1+х') х '0 808. 1пп (с1д х) Рис. 20. Глава П ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Решение. Имеем х =у„1пу = х 1пх; 11ж 1п д = 1нп х1п х 0 х — О 809. Доказать, что пределы: а)11щ .

х =0; б) 1пп ™." = 1 0 з1пх сс х+ з1пх — не могут быть найдены по правилу Лопиталя — Бернулли. Найти эти пределы непосредственно. 810+. Показать, что площадь кругового сегмента с малым центральным углом о, имеющего хорду АВ Ь и стрелку СХ) = л (рис. 20), приближенно равна со сколь угодно малой огносительной погрешно- стью при а — ~ О, Ф 1. Экстремумы функции одного аргумента 1'. В о з р а с т а н и е и у б ы в а н и е Ф у н к ц и й. Функция у = Дх) называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале (отрезке), если для любых точек х и х, принадлежащих данному интервалу (отрезку), из неравенства х, < х следует неравенство ~(х ) < Дх ) (рис. 21, а) (Дх„) > 1(х ) (рис. 21, б)).

Если Функция Дх) непрерывна на отрезке 1а, Ь1 и 1"(х) > О (~'(х) < О) при а < х < Ь, то Дх) возрастает (убывает) на отрезке 1а, Ь1. В простейших случаях область существования Функции Дх) можно разбить на конечное число промежутков иозрастания и убывания функции (лро~~ежутки монотонности). Эти промежутки ограничены критическими точкамк х (где ~'(х) Р или же ~'(х) не существует), П р к м е р 1, Исследовать на возрастание и убывание функцию у=х — 2х+5. Р е ш е н и е, Находим производную у' = 2х — 2 = 2(х — Ц.

(1) Отсюда у" = О при х = 1. На числовок оси получаем два промежутка монотонности: (-ао, 1) и (1, +~©), Из формулы (1) имеем: Ц если -оо < х < 1, то у = О и, следовательно, Функция 1(х) убывает и промежутке ( — со, 1); 2) если 1 < х < +со, то у' > О и „следовательно, функция ~(х) возрастает в промежутке +с~) (рис. 22). 78 Глава 111, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ з 1. Экстремумы Функции одного аргумента П р и м е р 2. Определить промежутки возрастания и убывания Функции 1 у = — ° х+2 1 Р е ш е н и е. Здесь х = — 2 — точка разрыва функции, у - — < О (х+2) прн х ~ — 2.

Следовательно, функция у убывает в промежутках -с-" < х < -2 и — 2<х<+со, П р и м е р 3. Исследовать на возрастание и убывание Функцию 1 у= -х -х 5 3 Решен не. Здесь Решив уравнение х — х = О, найдемточки х, =-1, хз = О, хз 1, в которых 4 2 производная у' обращается в нуль.

Так как у' может изменять знак только при переходе через точки, в которых она обращается в пуль или терпит разрыв непрерывности (в данном случае точки разрыва для у' отсутствуют), то В КажДОМ ИЗ ИНТЕРВаЛОВ ( — Ос, -1), (-1, 0), (О, 1) И (1, +со) ПРОИЗВОДНаЯ СО- храняет постоянный знак. поэтому в каждом из этих интервалов исследуемая функция монотонна. Чтобы выяснить, в каких из указанных интервалов функция возрастает, а в каких — убывает, нужно узнать, каков зпак производной в каждом из этих интерВалов.

Для того чтобы Выяснить, какоВ знак у' В интервале ( — с ~, -1), достаточно узнать знак у' в какой-нибудь одной точке этого интервала; взяв, например, х = -2, получим из (2) у' = 12 > О, следовательно, у' > О в интервале ( — ~ ~з, -1) и функция В этом интервале возрастает. Аналогично найдем, что у' < О в интервале ( — 1„0) для проверки можно, например, взять х = — — ~, у < О в интервале (О, 1) здесь можно 1~ использовать х = — ~ и у > О В иитервалс (1, +~ ~). 1 г Таким образом, исследуемая функция возрастает в промежутке ( — сс, -Ц, убЫВаЕТ В НРОМЕжутКЕ ( — 1, 1) И ОиятЬ ВОЗРВСТВЕТ В ПРОМЕжутКЕ (1, +СО).

2'. Экстремум ы функции. Бели существует такая двусторон- ВЯЯ окРес*ность ~о~~~ х~, что для ~слкоЙ ~~~~~ х ~хватай окРестности имеет место неравенство Дх) > 1(х ), то точка х, на)' зывается точкой минимума функции у = Дх), а число У=1(х) Дх ) — минимумом Функции у ° ~(х). Аналогично, ес- ли для Всякой точки х ~ х, некоторой окрестности точ1Йд ки х„вьпголняется неравенство Дх) < Дх,), то х, на- зывается точкой максимума функции Дх), а Д(х,) —. йх,д максимумом Функции (рис. 23). Точка минимума или () х х, у максимума функции называется ею точкой экстре-.

мума, а минимум или максимум Функции — экслц)е" Рис, 23, мумом функции. Если х — точка экстремума Функ- и ~(х), то ~'(х„) = О (стациоиариал точка) или же ~'(хе) не существует (необходимое условие существования экстремума), Обратное предложение не верно: точки, в которых ~г'(х) = О или же 1'(х) ню существует (критические точки), не обязательно являются точками экстремума функции 1(х).

достаточные признаки существования и отсутствия экстремума ненрерывнои функции Я(х) даются следующими праВилами: 1. Если существует такая окрестность (х — Ь, х + Ь) критической точки х, что ~ (х) ~ 0 при хз — Ь < х < хо и )г (х) < О при хо < х < х + Ь, то х — точка максимума Функции Дх); если же 1'(х) < О при х„— Ь < х < х„ и ~'(х) > О пРи х„< х < х„+ Ь, то х„— точка минимУма ФУнкции 1(х), Ясли, наконец, найдется такое положительное число Ь, что 1'(х) сохраняет неизменный знак при О < ~х — х ~ < Ь, то точка х не является точкой эьстремума Функции Дх).

2. Ясли Г (х ) = О и ~ (хз) < О, то хе — точка максимума функции Дх); если Г(хе) О и Г(хе) > О, то х„— точка минимума функции ~(х); если же ~'(хз) = О> Г"(хе) = О, а Г"'(хз) ~ О. го точка не ЯВлЯетсЯ точкой экстремума функции Дх). В более общем виде: пусть первая из не равных нулю в точке х произ- Ю Водных Функции 1(х) имеет порядок й. Тогда если й — четное, то точка х„ является точкой экстремума, а именно точкой максимума, если ~ (х ) < О, (И и точкои минимума, если )' (хо) > О. Ясли же й — нечетное, то точка х„ не является точкой экстремума. П р и м е р 4. Найти экстремумы Функции у у -2х+ 3Р.

Р е ш ен и е, Находим производную у'=2+ — = — (Чх + 1), (3) 2 2 зй з5 ! Приравнивая производную у' нулю, получаем О Х Рис. 24, Отсюда находим стационарную точку х, - -1. Из Формулы (3) имеем: если х = -1 — Ь, где л — любое достаточно малое положительное число, то у' > О; Ф) если же х - -1 + л, то у' < О . Следовательно, х, = -1 есть точка максимума Функции у, причем у = 1, Приравнивая нулю знаменатель выражения у' из (3), получаем отсюда находим критическую точку функции х„0, где производная у' не существует, При х = -л, очевидно, имеем у' < О; при х = л имеем у' > О, ч Если определение знака производной у' затруднительно, то можно произвести р 4 метическии расчет, взяв в качестве Л достаточно малое пело",кителвиое число.

827. у = 2 + х — х . 828. у х — Зх + Зх + 2. 3 2 829. у = 2х + Зх — 12х + 5. Р е ш е н и е. Находим производную х(х — 1) (х — 2) . 2 3 Ф х'+3 х -2х+2 х — 1 843, у = х1п х. 844. у сЬ х. 845, х = хе". 839. у = 2 еЫ 2х + в1п 4х. 8О Глава Н1. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ, ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ Следовательно, х = О есть точка минимума функции у, причем у,.„- О (рис. 24). Исследование поведения функции в точке х = — 1 можно также провести с помощью второй производной У, — ° 3хз Гх Здесь у'" < О при х -1 н, следовательно, х - -1 есть точка максимума Функции.

3~. Наименьшее и наибольшее значения. Наименьшее (наиболыпее) значение непрерывной Функции Дх) на данном отрезке 1а, Ь| достигается или в критических то асах функции, или на концах отрезка 1а, Ь). П р и м е р 5. Найти наименьшее и наибольшее значе-, ния функции на отрезке -1- 1 х ~ 2-. 1 1 2 2 Решение. Так как у'= 3Х вЂ” 3, то критическими точками функции у являются х 1 и хз 1, Сравнивая значения функции в этих точках н значения функции на концах заданного отрезка у(-Ц 5; у(1) = 1; у -1 — 1 4-; у~~2-1 11-, й 3' ~3~ а' Рис.

25. заключаем (рис. 25), что наименьшее значение функции ш 1 достигается в точке х = 1 (в точке минимума), а наибольшее М - 11- достигается в точке х = 2- (на правом конце отрезка). 1 1 8 2 Определить промежутки убывания н возрастания функций: 811, у 1 — 4х — х, 819. у = "- — Чх, 3 812. у = (х — 2) . 820. у = х + ып х. 813.у (х+ 4) . 821. у х 1п х. 814. у х (х — 3).