Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 11

Кривизна кри вой, ЮривизнойКкривой в ее точке М называется предел отношения угла между положительными направлениями касательных в точках М и Ю кривой (угол сл»елгности) к длине дуги ММ = Ьз, когда Ф вЂ” М (рис. 35), т. е. где й — угол между положительными направлениями каса*ельной в точке Ми оси ОХ, Радиусом кривизны В называется величина, обратная модулю кривизны, т.

е, Л иииями постояннои кривизны являются окружность ~А = —, где а — ра1 а диус окружности и прямая (К О). 96 Глава Ш. ЭКСТРКМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ $ 5. Дифференциал дуги. Кривизна Формулы для вычисления кривизны в прямоугольных координатах следующие (с точностью до анака): Ц если кривая задана уравнением в явной форме у Дх)„то К(1+у' ) 2) если кривая задана уравнением и неявной форме Р(х, у) - О, то Рх", Р,'. ГУУ„ГУ Р;, О ~хх К = ( у~2 ргэ 3) если кривая задана уравнениями в параметрической форме х ф$), у - ф(2), то х" у' Х У (,2 Ф2)э ~ где 2 2 дх, Йу - дх ., ~$ф х = —,у ==>х —,у Ю' д2' д2' В полярных координатах, когда кривая задана уравнением г = Д(~), имеем г +2г' — гг" ( 2,2)зх2 дг ~~ и г 2 T — И г Йф д~р2 3'. О к р у ж н о с т ь к р и в и з н ы.

Окружностью кривизны (соярикасавщейел окружностью) кривой в ее точке М называется предельное положение окружности, проведенной через точку М и две друг ие точки кривой Р и Я„когда Р - М и 9 - М, Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны, а центр окружности кривизны (центр кривизны) находится на нормали к кривой, проведенной в точке М в сторону вогнутости кривой.

Координаты Х и У центра кривизны кривой вычисляются по формулам: х — „,у у+ —,у у'(1+ у') ~2 у Эзолюшой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны. Если в формулах для определения координат центра кривизны рассматривать Х и У как текущие координаты точки эволюты, то эти формулы дают параметрические уравнения эволюты с параметром х или у (или же 2, если сама кривая задана уравнениями в параметрической форме).

П ри мер 1. Найти уравнение эволюты парабо- 2 лыу Реп|ение. Х = — 4х, У- 2 1+бх 2 . Исключив М параметр х, найдем уравнение эволюты в явном виде: ~ я"~2~2 + 3 2 ~,4 М, 3зольегнтой ~инволуотой~ кривой называется такая кривая, для которой данная кривая является эволютой. Нормаль МС эвольвенты Г является касательной к эволюте Г,; длина дуги СС эволюты равна соответствующему приращению радиуса кривизны СС, - ~М,С, — МС~, поэтому эвольвенту Г называют также разверткой кривой Г,, получающейся разматыванием натянутой нити, намотанной на Г, (рис.

36). Каждой эволюте соответствует бесчисленное множество эвольвент, отвечающих различным первоначальным длинам нити. 4'. В е р ю и н ы к р и в о й, Вершиной кривой называется точка кривои, в которой кривизна имеет максимум или минимум, Для определения вершин кривой составляется выражение кривизны К и находятся ее точки экстремума, Вместо кривизны К можно взять радиус кривизны  — и искать 1 !К1 его точки экстремума, если в этом случае вычисления проще.

Пример 2. Найти вершину цепнои линии у асЬ х (а > О). Ре1пение. 7аккаку =зЬ вЂ”,ау = — СЬ-,ТОК~ и,слех „1 х а а а 12 х а СЬ а доватсльно, В а СЬ вЂ”. Имеем — = зЬ вЂ”. Приравнивая производную 2х дВ 2х а дх а 2х —. нулю, получаем зЬ вЂ” - О, откуда находим единственную критическую ых а ТО очку х = О.

Вычисляя вторую производную — и подставляя в нее зиад В дх а2Я 2 2х1 2 "ение х = О, получаем — = — СЬ вЂ” ~ — > О, Следовательно, х ~ О 6Х „,„ есть точка минимума радиуса кривизны (или максимума кривизны) цепной линии Вершиной цепкой линии у = а СЬ вЂ”, таким образом, Является точка а А(О, а) 4 эа« --"~"~ в улРхжиекке Глава Ш. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ Найти диФФеренциал дуги, а также косинус и синус угла, обра зованного с положительны~ направлением оси ОХ касательной каждой из следующих кривых: 993. х + у = а (окружност.ь).

2 2 2 994. "— + в — = 1 (аллипс). а Ь 995. у = 2рх (парабола). 2 996. х ' + у ' = а ' (асероида), 997. у = а СЬ "- (цепная линия). 998. х = а(~ — з1п ~); у = а(1 — соз ~) (циклоида). 999. х = асоз ~, у = аз1п ~ (астроида). 3 = 3 Найти диФФеренциал дуги, а также косинус или синус угла, об-; разованного ~олярн~м рад~усом и касательной к каждой из сле-, дующих кривых: 1000. г = а~р (архимедова спираль). 1001, г = ~ (гиперболическая спираль).

ф 1002. г = а зес 2 (парабола). 2 2 1003. г = а соз ~ (кардиоида). 2 2 1004. г = а" (логарифмическая спираль). 1005. г = а соз 2~р (лемниската), 2 2 Вычислить кривизну данных кривых в указанных точках: 1006. у = х — 4х — 18х в начале координат. 4 3 2 1007.

х + ху + у = 3 в точке (1; 1). 1008. '— ", + "— = 1 в вершинах А(а, О) и В(О, Ь). 2 о2 1009. х = 1, у = 1 в точке (1; 1). 2 2 1010. г =2а соз 2эввершинахсполярнымиугламиу Оиру=я. 1011. В какой точке параболы у = Зх кривизна равна 0,128? 1012. Найти вершину кривой у = е . Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных линий: 1013. у = х (кубическая парабола). 1014. ~ + У вЂ” = 1 (зллипс). 2 о2 1015. х = — —— 4 2 1016. х асоз Ф; у = аз1п Ф(асщроида).

3, ° 3 1017. х а(соз 2+ 2 зш 2)~ у = а(з1п ~ — ~ соз Ф) (эвольвента круга). 1018, г ~ ае (логарифмическаз спираль). 1019. г а(1 + соз е) (кардиоида). 1020. Найти наименьшее значение радиуса кривизны параболы у = 2рх. 1021. Доказать, что радиус кривизны цепной линии у а сЬ "- равен длине отрезка нормали. Вычислить координаты центра кривизны данных кривых в указанных точках: 1022. ху = 1 в точке (1; 1), 1023. ау = х в точке (а; а). 2 3 Написать уравнения окружностей кривизны данных кривых в указанных точках: 1024.

у х — 6х + 10 в точке (3; 1). 1025. у = е' в точке (О; Ц. Найти эволюты кривых: 1026. у 2рх (парабола). 2- 1027. — + у' = 1 (зллипс). 2 о2 1028. Доказать, что эволютои циклоиды х = а(г — зш Ф)," у = а(1 — соз г) является смещенная циклоида. 1029. Доказать, и р ф й Фу г=ае' является также логарифмическая спираль с тем же полюсом. 1030, Показать, что кривая (развервка окружности) х а(соз г + 2 з1п ф у = а(з1п г — ~ соз Ф) являегся эвольвентой окружности х = а соз Ф*„у а з1п $.

Л1 а" йх — +С (а ~ О); е" дх-е'+С. 1па ГлйВа 1T неОпРКДеленный ин'ГЯГРАл $1. Непеередстненное ннтекрнрованне 1'. Осн озн ые и рави л а и нте грироп а и и я. 1) Если Е'(х) - Дх)„то Дх) Йх = Г(х) + С, ~де С вЂ” произзолъцаа постоййиая, 2) А~(х) дх А Д(х) дх, где А — постояинак зеличива. 3) ~Г,(х) + ~ (х)) дх = ~,(х) дх+ 1'„(х) с1х. 4) Если 1(х) дх = Р(х) + С и и = с)(х), то Ди) 6и = Р(и) + С.

Пах + о) дх = — Г(ах + Ь) + С (аФ О), 1 2'.Табл и па п рос тейп1 их инте Гр ало з. 11+ 1 х Йх= — +С,ПФ вЂ” 1. И+1 П. ~ — 1п)х~ ~-С. П1. —,' = — агс$з." — + С - --агс1д — + С (а ~ О). дх 1 х 1 х ха+ а~ а а 1Ъ'. 1 —, - — 1п ~х:а + С (а ~ О); — - — 1п ~а+ х + С (а ~ О). Ъ. ~ = )и ~х -~ 4х' ~ а ~ + С 1а а О). х +а 1Ч, = ахсз1п — + С = -атссоз — + С, (а > О), соз х йх з(п х + С. — Фаях+ С, Йх 2 соз х Х1, — — с~~ х+ С, Йх' з1Й' х КП. ~ —, = 1п ~Фд -~ + С 1п ~созес х — с(4; х~ + С. йх 1 х! з(пх 2 ХШ. ~ — 1п Йх $д ~ -+ — ~ + С = 1п ~1д' х + зес х~ + С. ~2 4/~ 1037. ) 1пх) " йх.

2 2 3 1()38. а — х йх. 1039. 1 ~Л + 1)1х —,х + 1) 3х ~:О4О (х" + 1)(х — 2) д у 1041. (" ) дх. )'х 1043.)'<)' "*' 3 . 1032, (бх + Зх+ 3)йх. 1033. 1 х(х + аКх + 3) Йх. 1034. (а + Ьх ) Йх. Х1T. зЬ х дх = сЬ х + С. ХЧ. сЬ х дх = зЬ х .1. С. ХЛ. ~ ~," = Ь х+ С. ) сЬ2х ХУП. 1 — х = — с$Ь + С, ~ зЬ2 х П риз3ер 1. (ах + Ьх+ с)дх = ах дх+ Ьхйх+ сйх = = а х дх+ Ь хйх+ е дх = ах + Ь" — + ех+ С.

3 2 Применим осцоиц~~е цраидда 1) Я) 3) и формулы нитей'рнроиа- Глава 1Ч. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ $2. Метод подстановки атсв(п х+х с) ввс вс 1 сов 2 в ~ 4+сов~ 2х 1188. д 1189. х оЬ(х + 3)дх. Э2вв 2 1190. — Йх. сЬ $2. Метод подстакожкп 1172. е"" 'в1п 2х Йх. ЯХТСОЯ— 1180. йх. 1181- е вес х Ох.

1 182 81п х сов х й:сПЛ з 1+ 1пх ~1 2 2Ы. 1" ~2 ~~ - 2 хдх 81п(х') П54. с2' в -2 1156. 2+ 1157. а"" соя х йх, 1158. " Йх. х +1 116О. $я' ах йх. в1пх — совх «) 31П Я 117О. ~, ах, 4 х — 2 1171. ~ (""), (. 1 х(1+х2) 1175. ~ " (О < Ь <а). ~ (а+Ь)+(а — Ь)х 1176. ~ с Йв. в '-2 2277. в1 и йх соз22х 1178, а1п — + до д(. х у(1), где 1 — новая переменная, ~р — непрерывно дифференцируемаж функция, будем иметь ~(х) 2~х = ЙФ~)1Е'(~) 4~. (Ц Функцию у стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид, Пример 1.

Найти Р е ш е н и е. Естественно поло~нить | = ./х — 1, о~~юда х - 1 + 1 и дх = з 21 Й1, Следовательнов Иногда применяются подстановки вида и = фх). Допустим, что нам удалось подынтегральное выражение 12(х) дх преоб- Разовать к такому виду". )'(х) Йх = я(и) ди, где и - ~р(х), Если я(и) ди известен, т. е. Ди)22и Р(и) + С, Пола! зя х = — 1, получим Решен не, Имеем О-А+В,т.е.л= — 1. Следовательно, Глава 1У. НЕОПРЕДВЛЕННЫЙ ИНТБГРАЛ Э 5. Интегрирование рациональных функций 1 . М е т о д н е о и р е д е л е н н ы х к о э ф ф и ц и е н т о и Интегри рование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби Р(х) Ъ (1) где Р(х) и Щх) — целые многочлены, причем степень числителя Р(х) ниже степени знаменателя 9(х).

Если Щх) = (х — а) ... (х — 1) „ где а, ..., 1 — различные действительные корни многочлена Щх); и, „„Х— натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби (1) на простейшие дроби: р(х) А1 А2 А. Х 2 Ь Ь. ®~х) х-а + + ' +.„+ ' + ',1-...+ ' .12) (х-а)" (х-а) х ~ (х-() (х-)) Для вычисления неопределенных коэффициен2ов А,, А, .