Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 10

Поэтому: Ц кривая вог- 1 1 нута вверх при -ОО = х < — — и — < х < +~'~; Д Д 2) вогнута вниз при — — < х < —. Точки 1 . 1 Л Л с + —; — — точки перегиба (рис. 30). 1 1 Д' Уе Заметим, что ввиду симметрии относительно оси ОУ кривой Гаусса ис~~~д~~а~~~ ~~~~~ вогнутости этой ~р~~ой достаточно было производить лишь на полуоси О = х < +со. П р и и е р 2. Найти точки перегиба графика Функции у- э,/х+2.

гю 2 -2 у" = — — (х+2) 9'Б+2)' Очевидно, у'" в пуль нигде не обращается. Приравнивая нулю знаменатель дроби в правой части равенства (Ц, получаем, что у" не существует при х = -2. Таккаку >Оприх< 2иу <Оприх~ 2 то( 2 О) есть точка перегиба (рис, 31). Касательная в этой точке параллельна оси ординат, так как первая производная у' при х = -2 бесконечна. Найти интервалы вогнутости и графиков функций: 891. у = х — бх + 12х + 4. 892. у = (х+ 1), 893. у =— х+3 894.

у = х +12 895. у = ~/4х — 12т. 1'. Определение. Если точка (х, у) непрерывно перемещается по кривой у = »'(х» так, что хотя бь1 одна из координат точки стремится к бесконечности„и при этом расстояние точки от некоторой прямой стремится к нулю, то эта прямая называется асиматотой кривой, 2'. Верти вал ьк ыс аси и п таты. Если существует число а такое, что то прямая х = а является асимптотой (вертинальнал асимптота). 3'.

Н а к л о н н ы е а с и и и т о т ы. Если существуют пределы 11п~ — й йх) х-1~ х то прямая у - л х + Ь будет асимптогой (правая нанлоннал или, в случае А1 - О„ав ор . Ьн аси. о а). Если существуют пределы Найти асимптоты кривых: Ип(ем наклонные асимптоты Ь 1пп 1 ~ — +~~ х Ь= йп т.

-са Ь - 1пп (у+х)= О. 906. у /х ~3 +1 913, у - 1п (1 + х). Ряс. 32. 914. х =. 1; у = Ф + 2 агсФД; 1, Р е ш е н и е. Так как 1пп у х +О Ь 1пп У 1, х- +<~ х Ь = 1пп (у — х) Йт 1пх= со. х +с~ у-* фС,Ю 83 Глаза Ш. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ то прямая у = Ь х + д — асимптота (левая наклоннал или, в случае й = О, левал горизонжальнал асимитожа), ГраФик Функции у = /(х) (функция предполагается однозначной) не может иметь более одной правой (наклонной или горизонтальной) и более одной левой (наклонной или горизонтальной) асимптоты, П р и и е р 1.

Найти асимптоты кривой 2 у Р е ш е н и е, Приравнивая знаменатель нулю, получаем две вертикальные асимптоты: х -1их=1. При х +со получаем: з 1ип = 1, +ОР х~4х — 1 3 2 х -х~х — 1 +ж следовательно, правой асимптотой является прямая у = х. Аналогично при х ' — ~ имеем Таким образом, левая асимптота есть у = — х (рис. 32), Исследование на асимптоты данной кривой упрощ»- е*ся, если учес~~ симметрию этой кр~~~й. П р им е р 2. Найти асимптоты кривой у х+ 1пх. то прямая х О является вертикальной асимптотой (нижней). Исследуем кривую только на наклонную правую асимптоту (так как х > О). Имеем: Следовательно, наклонной асимптоты нет, Если кривая задана параметрическими уравнениями х - ~р(Ф у ~у(О, то сперва исследуют, нет ли таких значений параметра 1, при которых одна Э 4.

Построение граФикоз Функций во характерным точкам из функций ~р(~) или ~г(1) обращается в бесконечность, а другая остается конечной. Прн Ч(~„) - «~, а у(1„) = с кривая имеет горизонтальную асимптоту у = с. При у(~р) о~, а (рЩ = с кривая имеет вертикальную асимптоту х = с. ЕСЛИ Ф(й,) ~у(~,) со Н ПрктОМ 1пп ~~~~ й; 11м ~у٠— Ьр(~)1 = Ь, ~- ~„ф(1) ~-ю то кривая имеет наклонную асимптоту у = Йх + Ь. Если кривая задана полярным уравнением г ~(~р), то можно найти ее асимптоты по предыдущему правилу, преобразовав уравнение кривой к параметрическому виду по Формулам х = г соэ (р Д~р) сов е; у = гз1п ~р = ~(~р) в1п ~р.

915. Найти асимптоту гиперболической спирали г = ~, (~) в 4. Построение графиков Функций ио характерным точкам При построении графика Функции следует прежде всего найти область определения этой Функции и выяснить поведение Функции на границе ее области определения, Полезно также предварительно отметить некоторые ~~обенности функции (если они имеются), как-то: симметрия, периодичность, постоянство знака, монотонность и т.

и, Далее, нужно найти точки разрыва, точки экстремума функции, точки "ерегиба, асимптоты и т. д, Найденные элементы позволяют выяснить обгднв характер графика Функции н получить математически правильный эскиз его, 91 Таблица 1 1 — 1пх .«21пх-3. у 2 у 1 х х* 90 Глава П1. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ Прим ер 1. Построить график функции у = Р е ш е н и е.

А) Функция существует всюду, кроме точек х ~ ~1. Функция — нечетная, поэтому график функции симметричен относительно точки 0(О", О). Это обстоятельство упрощает построение графика. б) Точками разрыва являются точки х ~ — 1 и х 1, причем 11П1 у ~ 1Х«.х« =+~ ~ и 11П1 у = +со, следовательно, прямые х = й1 являются вертих -1Т-«х« кальными асимптотами графика. в) Ищем наклонные асимптоты.

Имеем 11, = 1пп — О, у х-1'х следовательно, праной наклонной асимптоты нет. Из симметрии граФика следует, что левая наклонная асимптота также отсутствует. г) Находим критические точки 1-го и 2-го рода, т. е. точки, В которых обращается в нуль или не существует первая или соответственно вторая производная данной Функции.

Имеем х — 3 з6Т-и' 2х(9 — х ) 3 у м« 9И:7 П1юизводные у' и у" не существуют ~о~~ко при х " +1, т. е. голько В тех точках, где не существует и сама функция у, поэтому критическими точками будут лишь те точки, где у' или у" обращается в нуль, Из (1) и (2) следует: у''-Оприх= ~ ~3; у" - О при х = О и х = +3. Таким образом, у' сохраняет постоянный знак в каждом из интервалов (-оо, —,ГЗ ), (- ГЗ, — 1), (-1, 1), (1,,/3 ) и (,.ГЗ, +со), а у" — в каждом из интервалов (-~"з, -3), (-3, — 1), (-1, О), (О, 1), (1, 3) и (3, +оо). Для того чтобы выяснить, каковы именно знаки у' (или соответственно у") в каждом из указанных интервалов, достаточнО Определить знак у (или у ) в какой-нибудь одной точке каждого из этих интервалов.

Результаты такого исследования удобно свести в таблицу (табл. 1), вычислив также ординаты характерных точек графика функции. заметим, что Вниду нечетности Функции у вычисление достаточно провести лишь при х ~ О; леВАЯ пОлозина графика Восстапавливвется по принципу нечетнОй симметрии. $ 4. Построение графиков Функций но характерным точкам д) Пользуясь результатами исследования, строим график функции (рис.

33), П р и м ер 2, Построить график Функции 1пх у «ю Р е п1 ен не. А) Область существования Функции: О < х < +сх. б) В области существования точек разрыва нет, но при приближении к граничной точке (х = 0) области существования имеем 11пь у = 111п — - — оо. 1пх -а х-"о х Следовательно, прямая х = О (ось ординат) является вертикальной асимп- ТОТО Й. в) Ищем правую наклонную нли горизонтальную асимптоту (левая наклонная асимптОта отсутствует, так кзк неВОзможно, чтОбы х « — оо): л = 111п — =О, Ь= 11П1 у=О. х-" 1'«««Х х -«+~> Следовательно, правой горизонтальной асимптотой является ось абсцисс: у=О. г) Находим критические точки. Имеем Й» при Й» > О; х+ в1п х, агсв1п (1 — л»х ).

зГ2 979 м с»$ х 98О. у = 1п е1п х. 98~. у = 1п (,а ~"--"-1, (,4 2/ 982. у = 1п х — агсф х. над (1п х). агап 1п(х + 1), В полярных координатах АгсЬ х+— К = 11п1 лп да ль. О Лз пз В= —. 1к1 94 Глава П1, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ х агс(д' х, х агс$$ — при х Ф О 1 Оприх О. х+ 2 агс(4;х. 2 + агссФф х, 1п е11 х.

Рекомендуется также построить графики функций, указанных в М№ 826 — 848. Построить графики функций, заданных параметрически.' 988.х» — 2»,у=» +2». 2 2 989.х асов»,у=ав1п»(а>О). 3 990. х = »е, у = »е . 991. х = » + е, у = 2» + е 992. х = а(вЬ | — »), у = а(СЬ | — 1) (а > 0), Й 5, ДиФФеренциал дуги. Кривизна 1'. Дифференциал дуги. Дифференциалдугиз плоской кривой, заданной уравнением в декартовых координатах х и у, выражается форму- Ф - 4ж0'~ию7'; при этом, если уравнение кривой имеет вид а) д»'(х), то дз = 1+( — ~ дх при дх ~ О„. (Ду~» ох б)х=~,(у),жсЬ= 1+1 — ~ 4р р Йу О; ду р2 рд Р',. + 7' г)Р(х, ф О.

то дз *, " ~йх~ ', " Щ. Т~Л 1Ю Обозначая через й угол, образованный положительным направлением касательной (т. е. направленной в сторону возрастания дуги кривой з) с положительным направлением оси ОХ, получим: Обозначая через р угол между полярным радиусом точки кривой и касательной к кривой в этой точке, имеем 2'.