Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 13

И11, Р~х) = е ' Ю. 0 ,Й «ЫО. Г«х) = ~ ./1 ~ ~' Й~. «Ы2. Х вЂ” «сов «~ ) Й~ (х > 0). х 1 1513. Найти точки акстремума Функции у а'" д~ в области х > О. Применяя формулу Ньютона — Лейбница, найти интегрально 1 Х И14. ~ —" 1516. е Ф. .Х 1+х 0 -х 15И. 1 '— '. 1517. соа 1 Ф. хе -а 0 6 2. Вь«нноленне определенных интегралов е помощью неопределенных 139 помощью Определенных интегралон иайти преДелы сумм". 2 н — 1'« 1518""'е.

11га 1 — + — +" + —, л,оо ~.и ю лв 1 1 1519'"е 11п« ' ««--со «,и+1 л+2 '" и+у$„« ' 153О Йх х2 — Зх+ 2 1,531. 1" „" а, ~ хе+1 1532. аес а Йа, ,а 3.5 1534. Я+4х — х~ 1~35 д ду ,~де+ 4 1536. соа а да. М37. а1п «р сЬр. 1538. 5 3, Несобственные интегралы +ж и Ф 3. Несобственные интегралы Пример 1. — интегрзл расходится (4) следовательно, интеграл (4) сходится. 15ЗР 81п(1пх) 1540. $а х «1х. '1 1541.

С1д «р др. 1542. — Йх. ,1 1+ез:" 1'. Интегралы от неограниченных функций. Если функция Дх) не ограничена в любой окрестности точки с отрезка (а, Ь1 и непрерывна при а ~ х < с и с < х ~-' Ь, то по определению полагают Если пределы в правой части равенства (1) существуют и конечны, то несобственный интеграл называется сходя«цимся„в противном случае — расходл«цимся. При с = а или с = Ь определение соответствующим образом упрощается, Если существует непрерывная на (а, Ь1 функция Р(х) такая, что Р'(х) )'(х) при х ~ с «о606щем««оя переообразная), то если Ь«х« е Огх) лри о х х х ь и ) огх1 Йх сходитсл, то иитегре ее (1) также сходится (прилива сравнения), Если Г(х) > О и 1пп Ях) ~с — х~ ) = А рь оо, А ~ О, т.

е, Дх) — при д" '«с «с — х~"" х — с, то: Ц при 1п < 1 интеграл (1) сходится, 2) при ш з 1 интеграл (1): РаСХОДИТСЯ. 2'. И н т е г р а л ы с б е с к о н е ч н ы м и и р е д е л а и и. Если функция Дх) непрерывна при а < х < ~©, то полагают Дх) дх 11п« Дх) «)х (3) и в зависимости От су1цестьовапия или несуществования ко1гсчнОГО предела в правой части равенства (3) соответствующий интеграл называется сходя- «1«Уг«««.'я ИЛИ РОСХОдЯЩУМся, Аналогично, Ь Ь ссг Ь 1(х) Йх = Ыш )(х) дх и Дх) ««х = '11п«Д(х) дх.

Если рсхд Х Р(г) и ллтегрел ) Ргхг дх сходитсл, то иитегрлл «Зг тоже СХОДИТСЯ. Если Д(х) 1 О и 11п1 (Д(х)х""1 =А ~О0, А ~ О, т.е. Ях) - — при х- со, д -гоо х Р$. то; 1) при гп > 1 интеграл (3) сходится, 2) при п« < 1 интеграл (3) расходится. — = 11Гп ~ — + 11п1 ~ — = 111п 'à — 1~ 1- 111п ~- — 1 = ср р хд «-0 хз ь — 0 х2 0-0 Ч, 0-0 Я Пример 2, и 111п ~ — 11«п (агс$~ Ь вЂ” агсф О) =; . Йх . ««1т ., я 1+хз ь--~~ " 1+хз ь-о' П р и и е р 3, Исследовать сходимость иншеграла Эйлера — Пуассор«а Первый из двух интегралов в правой части не является несобственнь«м, а Второй сходится, так как е" < е "при х > 1 и л, г рг . ' -Ь Е ««Ххи 11П« ~ Е ««Хил 11«П ~ -Е +Е ~ =Е Ь гтх Ь: ст- Г.паьа У. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Исследоийть сходимость интегралоВ: 67 Йх ,:!5+ 2'.

х+ х' 1568 дх * „2х+ './х~+ 1+ о 1569, с1Х 1573 х 'Я+1 1571. * ~Я- х" 1572. 1о7О хйх сходится, то иаш интеграл ~5) также сходится. П р и и е р 5. Исследоеат~ йа сходимост~ еллиптичес~ий интеграл ох (6) Д-х е Р е ш е и и е. Точиа раарыеа под~~ите~рал~иой функции" .х ~ 1. П~~имевиэ формулу 1 — х = ~1 — х)~1 + х)(1 + х ), получим 1 1 1 1 Л:Р (1 — х)~'2 О сходится, то данный интеграл (б) тактике сходится. Ы -М дх х2+ 4х+9 ып х О.х.

а х)пх 2 Дх х1в -'х х (о > 1). х1пх 1566. 1 ')' (а 1). х)п 2х 1561. сф х дх. 1562. е "Йх (й > О). 156З ~ агс$д х д ха+1 1564. 1 (х2 1)а $4. Замена переменной н определенном ннтеграле Глава Ч. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Преобразовать определенные интегралы с помощью указанных 1 ПОДСтаНОвОК: «578. « *,х-«шит. ~ Я-х« Дх) йх, х = агс«К»- сходится при р > О. указать целую линейную подстановку х=с«»+р, в результате которой пределы интегрирования сделались бы соответственно равными О и 1.

Г(х) Йх - 5у (»)1«р'(») «)», П р и и е р 1. Найти Применяя указанные подстановки, вычислить следующие интегралы: Р е ш е н и е. Положим 1688 ~ (х 2)' йх,х — 2=а. (Х,)2«2,, 1584 е"-1 дх„е — 1 = г х 2 пОИОЩью ПОДХОДЯЩИХ 1574*. Доказать, что зйлеров интеграл 1-го рода (бел»а-фуи»»ция) 1 В«р,ф=) х «1 — х)«6« сходится при р > О и д > О, 1676". Доказать, что эйлеров интеграл 2-го рода (гамма-функция) Г«х) ~х«е «Йх $4. Замена переменной в определенном интеграле Если фуикция»'(х) непрерывна на отрезке а " х ~ Ь и х - «О(») — функции, непрерывная вместе со своей производной «О'(») на отрезке с«<» < р, где а - «р(а) и Ь «р(Я, причем Дд(»)1 определена и непрерывна на отрезке а <» ~" р, то х Тогда» = агсв1п — и, следовательно, можно принять с«агсв1п О = О, а дх =~ав1в» а -а в1п»асов»й=а~з2п»сон»Ю ° 2 2 2" 2 2 2 ' 2 4г .

2 2 0 0 О л «« 2 2 а4 , 2 а4 ~ а4~ 1 . 1~ яа 4 — а1п г» (»= ) (1- 4»)(»= Ь- в1п4Л 8,» 0 0 0 1676. Можно ли интеграл «Д-х«йх О вычислить с помощью подстановки х сов Й «ба7, ~ л— —,"' а*. Л агав ~ Л'-' «х 1679. «« 1680. подстаиовок вычислить интегралы: 1по 1589. ) « '~«1««х. «*«3 О ~ычислить интегральп 3 л 1ЬЫ. ~ 1594. Йх х йх. 1 х 5~+ 5х с 1 2л 1592.

1 дх 3 (1+х2)2 ,1 э — Зсоех -1 О 1о9о. Доказать что если Дх) — четная функция 'го ДХ) Йх = 2 ДХ)йх. Если же Дх) — нечетная Функция, то Дх) йх = О. 1596. Показать, и ли 1о97. Показать, что что ЯВ1п х) дх Если Функции и(х) и о(х) непрерывно ЛВФфереицвруемы иа отрезке ~а, Ь), то Ь и и~и)и'~и) ди и(иМх)(„— ~ Фи)и1и) Йи.

(1)' Применяя формулу интегрирования ио частям, Вычислить интегралы.' 1601. х е "Йх. л 1602, е"ен х дх, $6, Теорема о среднем значении 1603 ВОи, ~ии *ах. Икщ, ~и и1иЬийи(и>й О О 1604, е сов Ьх дх ~О > О) 1606"""'. Показать, что для гамма-функции (см. № 1575) справед- лива формулО юокижВИ иА Х «р + 1) - рПр) (р > 0). Отсюда вывести, что Г(п + 1) = л1, если ц — натуральное. 1607. Показать„что для интеграла 2 % Х = 31п хнах "и сов х Йх 0 с справедлива фщждлй лонижеОВя и — 1 Х = — Х а и л— Найти Х„, если и — натуральное. Пользуясь полученной форму- лой Вычислить Х, и Х е. 1608.

Применяя многократное интегрирование по частям, Вычис- лить интеграл (см. № 1о74) 1 В(р, и1 ~ ии (1 — и)и Йх, О где Р и д — целые положительные числа, 1609 . Выразить через В (бета-функцию) интеграл 2 О если а и л — целые неотрицательные числа. р О ц е и к и и В т е г Р а л о В, Если Дх) ~ Р(х) пРИ а ~ х ~' 1» ™ Ь Ь дх) Дх ~ Р~х) Йх, фх) Венрерынны ВРИ В ~ х ~ о и кроме того фх) ~ О то Ь Ь Ь ~п <р(х) йх л: Дх) фх) йх < М ~р(х) дх, $7. Площади нлоских Фигур где т — наименьшее, а М вЂ” иаиболыпее значение функции )'«х) на отрезке «а, Ь В час~ности, если ~р(х) =- 1„то т(Ь вЂ” а) < Дх) пх < М(Ь вЂ” а).

« Неравенсгва (2) и (3) можно соответственно заменить эквивалентными равенствами." | Дх) Йх = Я)(Ь вЂ” а), где с и ~ — некоторые числа, лежащие между а и Ь. П р и и е р 1. Оценить интеграл й ,/ )' = 1+-е)п х дх. 1 2 2 Р е гп е н и е. Так как 0 ~ нп х = 1, то имеем и к ГЗ 2Ь' т, е, 1,57 < 1 < 1,91. 2'.

Среднее з на чек и е Функ ц ни. Число и- — ~ Дх)пх 1 Ь- называется средним значением функции г«х) на отрезке а ~ х ~ Ь. 1610" ° Не Вычисляя интегралов, ойределить их знак: 2 а 2я 3 1 . б) ~х, ) впрах -1 0 0 1611. Выяснить «не вычисляя), какой из интегралов больше: 1 1 а) 1+ Х2дх или х Йх; 0 0 1 2 . 2 г . 2 б) ~ х в1н хйх или ~ хв1И хйх; 0 0 2 2 Н) Е" 6Х ИЛИ ЕхдХ, 1 Яайти средние значения функций на указанных промежутках: 1612.

)'(Х) х, О '- х '-' 1, 2 1613. Д(х) - а + Ь сов х, — н < х < к. 1614. ~(х) = в1н х, О < х < н. 2 1615,~(х)=в1п х,0<х<к, 1616. Доказать, что заключен ме~кду — = 0,67 и с)х 2 ./22.,„„'г 3 0 =- 0,7О. Найти точное значение этого интеграла. ./2 Оценить интегралы: 1619. 0 10+ Зсовх 1622. Интегрируя по частям, доказать, что х 100я 100а 1". П л о щ а д ь в и р я и о у г о л ь н ы х к о о р д и натах, Если непрерывнаяя кривая задана в прямоугольных координатах уравнением у = Дх) Р(х) ~ 01 то площадь кривОлинейнОЙ трапецииф ог г Раничеиной атой кривой, двумя вертикалями в точках х = а и х = Ь и Отрезком оси абсцисс а < х =. Ь «рис.

40), определяется формулой Глава Ч. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ $7. Площади плоских ФигуР я = ~рщ<р'(г) дх, х = а сов1, у = Ь в1п~. Поэтому Рис, 41. Рис. 46, Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = х 2- прямыми х = 1 и х = 3 и осью абсцисс (ркс, 41). Р е ш е н и е. Искомая площадь выражается интегралом з П р н м е р 2. Вычислить площадь, ограниченную кривой х 2 — у — у и осью Ординат (рис. 42). Р е ш е н и е. Здесь изменены роли осей координат и поэтому иском площадь выражается интегралом 1 8 (2 — у — у ) 6у = 4-, г 1 2 -2 где пределы интегрирования у - -2 и у, = 1 найдены как ордикаты точе пересечения данной кривой с осью ординат. В более общем случае, если площадь Я ограничена двумя непрерывными кривыми у . 1' (х) и у = ~,(х) и двумя вертикалями х = а и х = Ь, где )'1(х) -'. :~'2(х) при а < х < Ь (рис.