Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 9

822. у агсе1п (1 + х). 815, у = — '", . 823, у = 2е" х-2 $1. Экстрежумы Функции ОднОГО эргументв Исследовать на экстремум следующие функции: 826. у = х + 4х + 6, Р е ш е н и е. Находим производную данной функции у' 2х + 4. Приравняв у' нулю, получаем критическое значение аргумента х ~ — 2, Так как у ' < О при х ~ — 2 и у' > О при х > -2„то х - -2 является точкой минимума данной Функции, причем у,, - 2. Тот же результат мы получим, используя знак второй производной в критической точке.

у" = 2 > О. Приравнивая производную у' нулю, получаем критические точки х - — 2 и х 1. Для определения характера экстремума вычисляем вторую производную у" = 6(2Х+ Ц. Так каку"(-2) < О, то х - — 2 есть точка максимума Функции у, причем у„,„„- 25, Аналогично имеем у"(1) > О," поэтому хз = 1 есть точка минимума функции у и у „.„= -2. 82 Глава Ш. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ф 1.

Эко гремумы Функции одного аргумента Определить наименьшие и наибольшие значения функций на указанных отрезках (если отрезок не указан, то следует определить наименьшее и наибольшее значения функции во всей области существования): 853. у = х на отрезке (-1, 31. 855. Показать, что при положительных значениях х имеет место неравенство 856,Определить коэффициенты в и о квадратного трехчлена 2 ц = х + рх + д так, чтобы этот трехчлен имел минимум у = 3 при х = 1. Объяснить полученный результат геометрически. 857.

Доказать неравенство е > 1 + х при х ~ О. Р еше н не. Рассмотрим Функцию Пх) - е — (1 + х). Обычным приемом находиме что эта Функция имеет единственный минимум Г(0) = О. Следовательно, Г(х) > ~(0) при х ~ О, т. е. е' > 1 + х при х йб О, что и требовалось доказать Доказать неравенства: а 858.

х — — < э1п х < х при х > О. 6 859. соэх > 1 — —" при х ой О. 2 860, х — "— < 1п (1 + х) < х при х > О. 2 861. Данное положительное число а разложить на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. 862, Кусок проволоки данной длины ~ согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей, х 1+х ббо.л- „ГхДО-Х). 851. р = в1п х + сов х.

852. у агссоэ х. 854. у = 2х + Зх — 12х + 1; а) на отрезке 1 — 1, 51; б) на отрезке (-1О, 121. 863. Какой из прямоугольных треугольников с заданным периметром 2р имеет наибольшую площадь? 864. Требуется устроить прямоугольную площадку так, чтобы с грех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к длинной каменной стене. Какова наивыгоднейшая (В смысле площади) фОрма площадки, если имеется 1 погонных метров сетки? 865. Из квадратного листа картона со стороной а требуется сделать открытую прямоугольную коробку наибольшей вместимости, вырезав по углам квадраты и загнув выступы получившейся крестообразной фигуры.

866. Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен вмещать у литров. При каких размерах на изготовление бака потребуется наименьшее количество жести? 867. Какой из цилиндров с данным объемом имеет наименьшую полную поверхность? 868. В данный шар вписать конус с наибольшим объемом.

869. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью. 87О. В данный шар вписать конус с наибольшим объемом. 871. В данный шар вписать прямой круговой конус с наибольшей боковой поверхностью, 872. Около данного цилиндра описать прямой конус наименьшего объема (плоскости и центры их круговых оснований совпадают). 873. Какой из конусов, описанных около данного шара, имеет наименьшии объем? 874, Полоса жести шириной а должна быть со- О-, гнута в виде открытого цилиндрического желоба «Р (Рис.

26). Каков должен быть центральный угол «р, чтобы аиеетииооть лоелоба была наибольшей? ЧЩ'ЯЯф' 875. Из круглого листа вырезать такой сектор, а чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости. 876. Открытый сосуд состоит из цилиндра, заканчивающегося снизу полусферой; толщина стенок постоянна. Каковы должны быть Размеры сосуда, чтобы при данной вместимости на него пошло минимум материала? 877. Определить наименьшую высоту 6 = ОВ двеРи вертикальной башни АВСО, чтобы через эту а с дверь в башню можно было внести жесткий стер'кень ММ длины 1, конец которого М скользит вдоль О горизонтальной прямой АВ. Ширина башни д < ) (рнс. 27).

М 878. На координатной плоскости дана точка О(ХО' Уэ)' ЛЕжащая В ПЕРВОЙ ЧЕтВЕРтн ПРОВЕСтн Рис. 27, 84 Глава 1П. ЭКСТРЕМУМ Ы ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 4 2, Направление вогнутости. Точки 11врегиба через эту точку прямую так, чтобы треугольник, образованный ею с положительными пОлуОсями координат, имел наименьшую плО- щадь. 879. В данный эллипс вписать прямоугольник наибольшей площади со сторонами, параллельными осям эллипса. 880. В сегмент параболы у = 2рх, отсекаемый прямой х = 2а, вписать прямоугОльник наибольшей плОщади. 881. На крив~й у — ~айти ~о~~у, в которой касате~~~~~ со- 1+ х~ ставляет с осью ОХ наибольший по модулю угол.

882. Гонцу нужно добраться из пункта А, находящегося на одном берегу реки, в пункт В, находящийся на другом. Зная, что скорость движения на берегу в й раз больше скорости движения по воде, определить, под каким углом гонец должен пересечь реку для того, чтобы достичь пункта В в кратчайшее время. Ширина реки — Ь, расстояние между пунктами А и В (вдоль берега) — д. Скоростью течения реки пренебречь. 883, На прямолинейном отрезке АВ = а, соединяющем два источника света А (интенсивность Х,) и В (интенсивность 1 ), найти точку М, освещаемую слабее всего (освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света). 884.

Лампа висит над центром круглого стола радиуса г. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая? (Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.) 885. Из круглого бревна диаметра а требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина х и высота ц ~~о~о ~~~е~и~, ~~~б~ ба~к~ ~~азы~а~а ~а~боль~~~ сопротивление; а) на сжатие, б) на изгиб? Примечание. Сопротивление балки на сжатие пропорционально площади ее поперечного сечения, а нз изгиб — произведению п1ирины этого сечения на квадрат его высоты, 886.

Однородный стержень АВ, который может вращаться около гочки А (рис,28), несет груз а 8 массы М на расстоянии а от точки А и удержива- ~) ется в равновесии вергикальной силой Р, прило- женной к свободному концу В стержня. Погонная Рис. 28, плотность стержня д. Определить длину стержня х так, чтобы сила Р была наименьшей, и найти Р .. 887*. Центры трех упругих шаров А, В, С расположены на одной прямой.

Шар А массы М со скоростью и ударяет в шар В, который, получая известную скорость, ударяет в шар С массы л1. Какова должна быть масса шара В, чтобы скорость шара (' оказалась наибольшей? 888. Имея Ф одинаковых электрических элементов, мы можем различными способами составить из них батарею, соединяя по и элементов последовательно, а затем полученные группы числом — ~— М1 параллельно.

Ток, даваемый такой батареей, определяется Формулой где Ж вЂ” электродвижущая сила одного элемента, г — его внутреннее сопротивление, Л вЂ” внешнее сопротивление, Определить, при каком значении п батарея даст наибольший ток. 889. Определить, при каком диаметре у круглого отверстия в плотине секундный расход воды Я будет иметь наибольшее значение, если Я = еуЯ-у, где к — глубина низшей точки отверстия (Ь и эмпирический коэффициент е постоянны). 890, Если х, х, ..., х„— результаты равноточных измерений величины х, то ее наивероятнейшим значением является то, при котором сумма квадратов погрешностей имеет наименьшее значение (принцип наименьших квадратов).

Доказать, что наивероятнейшее значение величины х есть среднее арифметическое результатов измерений. 5 2. Направление вогнутостн. Точки перегиба 1', Вогнутость графи ка функции, Говорят, что график диффсренцируемой функции у - Ях) вогкул1 вкиз на интервзлс (а, Ь) (ввзкут вверх на интервале (а,, Ь )), если при а < х < Ь дуга кривой расположена ниже (или соответственно при а, < х < Ь, — выше) касательной, проведенной в любой точке интервала (а, Ь) (нли интервала (а,Ь,)) (рис, 29).

Достаточным условием вогнутости вниз (вверх) графика у = ~(х) является выполнение на соответствующем интервале нсравснствз Вместо того чтобы сказать, что график вогнут вниз, говорят также, что он направлен выиуклосл1ью вверх. Аналогично график, вогнутый вверх, называют также направленным выпукло. СЛ1ЫО ВКЦЗ. $3. Асям птоты точки перегиба 896. у = сов х. 897. у = х — в1п х. 898. у х 1пх.

2 Р е ш е н н е. Имеем 899. у = агс(,д х — х. у" = (4х — 2)е ', Ф 3. Асимптотц )цп )(х) = оо, О 7 Ж Рис. 30. 1пп (~(х) — й х| = Ь,, Р е ш е н и е. Имеем 86 Глава П1. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 2'. Т о ч к и н е р е г и б а. Точка (хе, Дх,)), в которой изменяется направление вогнутости графика функции, называется точкой перегиба (рис. 29). Для абсциссы точки перегиба х, графика функции у = ~(х) вторая производная Г"(х„) О или )' '(х„) не существует. Точки, в которых Г'(х) = О или )"'(хе) не существует, называются критическими точками 2-го рода. Критическая точка 2-го рода хз является абсциссой точки перегиба, если ~ (х) сохраняет постоянные знаки в интервалах хе - о < х < х н х < х < < х, + о, где Ь вЂ” некоторое положительное число, причем этн знаки противоположны, и не является точкой перегиба, если знаки ~"(х) в указанных выше интервалах одинаковы.

П р и м е р 1. Определить интервалы вогнутости и выпуклости, а также точки перегиба кривой Гаусса Приравняв вторую производную у" нулю, находим критические точки 2-го рода: 1 1 х|= — — ихэ = „й ' Д Эти точки разбивают числовую ось — с ~ < х < +~ э катри интервала: 1(-сО, х ), П (х, „х.) и Ш (х, +сО). Знаки у" соответственно будут+, —, + (в этом можно убедиться, взяв„например, по одной точке в каждом пз указанных интервалов и подставив соответствующие значения х в у").