Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 14

43). будем иметь З = ~и (х) — К (х)1 а (2) П р и м е р 3. Вычислить площадь Я, заключенную между кривыми у=2 — х иу =х (3) (рис. 44). Р е пх е н и е. Решая совместно систему уравнений (3), находим пределы' интегрирования'. х, = -1 и х - 1, В силу формулы (2) получим 8= (2 — х -х'")дх= 2х — — --х ' 1 =2 — ". Ясли кривая задана уравнениями в параметрической форме х = <р(1) у = р(р), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вер- калями, СОответствующими х = и.

и х " Ье и отрезком Оси ОХ1 выражается тик „, егралом и ~ определяются из уравнений где 1 а = «р(г ) и Ь ° <р(~ ) ~у(~) > О на отрезке ~11, $ Д. П р и м е р 4. Найти площадь эллипса 3 (рис. 45), используя его параметрические уравнения Ре ш ен не. Ввиду симметрии достаточно вычислить площадь одной четверти„а затем учетверить результат. Полагая в уравнении х а сов 1 сначала х = О, затем х ~ а, получим пределы интегрирования 1 - — и $ = О. п 1 -8= ~ Ьв1па (-в1п 1) д~ аЬ ~ в1п ~Й~ паЬ 4 и, следовательно, 8' = паЬ.

2'. Площадь в полярны х координатах. Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением г ~ Я(д), то площадь сек~ора АОВ (рис. 46), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами ОА и ОВ, соответствующими значениям <р, = а и <р р, выразится интегралом При мер 6. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли г = а сов 2у (рис. 47). Глава У. ОПРЕДЕЛКННЫЙ ИН'ГЕГРАЛ ф 7, Площади плоских Фигур Реш е н и е.

В силу симметрии кривой определяем сначала одну верть искомой олощади: 1 1~ — 'Р 4 2~ -8 — и соя 2~до = — "— 31П2~ о 'о Отсвэда 8 - а', 1623. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = 4х— и осью ~бсц~~~. 1624, Вычислить площадь, ограниченную кривой у = 1п х, о ОХ и прямой х = е. 1625+. Найти площадь, ограниченную кривой у = х(х — 1)(х— и осью ОХ. 1626. Найти площадь, ограниченную кривой у х, прямой у =' и вертикалью х = 8. 1627. Вычислить площадь, ограниченную одной полуволной с нусоиды у = вэп х и осью ОХ. 1628.

Вычислить площадь, заключенную между кривой у = т4, осью ОХ и прямой х = ~ . 3' 1629. Найти площадь, заключенную между гиперболой ху = щ вертикалями х = а и х = За (а > О) и осью ОХ, 1630, Найти площадь, содержащуюся между локоном Анье ЯЗ у = — и осью абсцисс. х2+ я2 1631.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у -= прямой у 8 и осью ОУ. 1632. Найти площадь, Ограниченную параболами у = 2рх и х ~ 2я 1633. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = 2х— и прямой у = х* 1634, Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у = 3— От параболы у = х . 2 1635. Вычислить площадь, заключенную между параболами у х Х2 У = — и пРЯмой У = 2Х. 2 1636. Вычислить площадь, заключенную между параболами у ~ х 2 2 ну=4 — -х, з * 1637. Вычислить площадь, заключенную между локоном Анье у ~ — и параболои у = 1 Х2 1+х 2 1638, Вычислить площадь, ограниченную кривыми у - е", У = е " „прямой х = 1.

1639. Найти площадь Фигуры ограннченнон гипербол'э~ о2 о2 „рямОИ х ~- 2Й. «640~ Найти площадь ограниченную астроидой х213 + у2'3 — Й2~3 «641. Найти площадь между цепной линией у = асп-", а осью Оу и прямой у = и (е + ц. 2е 2 2 2 2 2 1642.

Найти площадь, ограниченнувэ кривой а у = х (а — х ). 1643. Вычисли~ь площадь, содержащуюся внутри кривой ®' ®"'=' 2 2 1644. Найти площадь между равнобочной гиперболой х — у = 9, осью ОХ и диаметром, проходящим через точку (5; 4). 1645. Найти площадь между кривой у —, осью ОХ и ординатой х2' хз 1646'. Найти площадь, ограниченную циссоидой у — и ее 2а-х асимптотой х = 2а (а > 0), 1647'"". Найти площадь между строфоидой у = " " и ее 2Й вЂ” х асимптотой (а > О).

2 2 1648. Вычислить площади двух частей, на которые круг х + у 8 2 р~зделЕИ парабОлой у = 2х. 1649. Вычислить площадь, содержащуюся между окружностью х + у = 16 и параболой х = 12(у — «), 2 2 2 1650. Найти площадь, содержащуюся внутри астроиды х = а сов 1; у = Ь з1п 2. 3. = 3 1651, Найти площадь„ограниченную осью ОЖ' и одной аркой цик- ЛОНДЫ х а(2 в~п 2), у Й(1 СОз г) 1652. Найти площадь, ограниченную одной ветвью трохоиды у = а — Ьсов~ "касательной к ней в низших ее точках. $8 Ллина дуги кривой Глава 'Ч. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТВГРАЛ х = а(1 — в|в~), у = а(1-сов~).

г Р (О<а<1), 1+ есов~р в 8, Длина дуги кривой Рнс, о1. 1653. Найти площадь, ограниченную кардиоидой 1654*. Найти площадь петли декартова листа 1655+. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой г = а(1+ сов ~р). 1656е. Найти площадь, содержащуюся и ду первым и вторым витками спирали Архиме г = акр (рис. 48). 1657, Найти площадь одного лепестка кр вой г = асов 2~р. 1658. Найти площадь, ограниченную крив ' Рис, 48. 2 2 у' = Й 81п 4ф. 1659+. Найти площадь, ограниченную кривой г = а в1п З(р. 1660. Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля г 2+ сову.

1661. Найти площадь, ограниченную параболой г = а вес 2 и-и ' 2 лупрямими ф = — и ф = в к 4 2 1662. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом 1663, Найти площадь, ограниченную кривой г = 2а сов З~р и жащую вне круга г = а. 1664"'. Найти площадь, ограниченную кривой х + у = х + у, 4 4 3 $ 1.Длина дуги в прямоугольных координатах. Длина' дуги гладкой кривой у = «(х), содержащейся между двумя точками с а, циссами х ~ а и х = Ь, равна Пример1, Найтидлинуастроидых' + у а (рис.49).

3/3 2уз 2~3 Р с ш е н и е. Дифференцируя уравнение астроиды„получаем у173 у х1~3 ' Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имсем уъ'3 г а1~з 3 -8 = ~ 1+ — сЬ ~ —, Йх'~ — а. хауз ) „.з отсюда з = ба. 2'. Д л и н а д у г и к р и в о й, з а д а н н о й и а р а и е т р и ч е с к и. Ясли кривая задана уравнениями в парамегрической форме х = у(О) и у = Ч(й) (д(~) и и(1) — непрерывно дифференцируемые функции), то длина дуги а кривой равна 1, где ~, и ~ — значения параметра, соответствующие концам дуги, Пример 2, Нанти длину одной арки циклоиды (рис.

ЬО) Решение. Имеем х' — = а(1 — сов Ц и у' = — = > оу дФ Ъ = а яп г. Поэтому Пределы интегрирования ~, = О и г 2я соответствуют крайним точкам арки циклоиды, Если гладкая кривая задана уравнением г ~ «(у) в полярных координатах г и ~р, то длина дуги 8 равна "дс п и р — значения полярного угла в крайних точках дуги. П р и и е р 3. Найти длину всей прямой г = а в1п 3 (рис* Ы). Вся кривая описывается точкой (г, ф при "змененин р от О до Зи.

Глава У. Ой РЕДЕЛЕ1П1ЫЙ ИНТЕГРЛЛ Р е ш е н и е, Имеем г = а в1п — сон —, поэтому длина всей дуги криво > . 2 тР тР 3 3' За зд 3 = азине'а+язв п4'Рсоез"- игр = а а)п 'Р д~р = 2 ЗКО 3 3 3 3 2 1665. Вычислить длину дуги полукубической параболы у = х 2 от начала координат до точки с координатами х = 4, р = 8. 1666"', Найти длину цепной линии у = а сЬ "— от вершины А(0; а до точки В(Ь, Ь). 1667.

Вычислить длину дуги параболы у = 24х от х = О до х = 1 1668. Найти длину дуги кривой у = е, содержащейся между точ ками (О; 1) и (1; е), 1669. Найти длину дуги кривой у = 1п х от х = М до х =,Ж, 1670. Найти длину дуги у = агсв1п (е ") от х = О до х 1. 1671. Вычислить длину дуги кривой х = )п Вес у, содержащейся междуу=Оир= ~. з* 1672. Нанти длину дуги кривой х = — д — — )п у от у = 1 до у = е.

1 2 1 1673. Найти длину дуги правой ветви трактриссы х «ат — ух та!н а""~~ у оту=адоу=в(О«о«а>. у 1674. Найти длину замкнутой части кривой 9ау = х(х — За) . 16>й. Найти длину дуги кРивой у 1в ~е1х -) от х = а до х Ь, (О< а < Ь). 1676+. Найти длину дуги развертки окружности х = а(соМ+ 1в1п2), от 1 = 0 до 1 = T. у = а(Мпла — 1соз1) 1677.

Найти длину эволюты эллипса с2 3 с2 . 3 2 2 2 сов 1; у = — В1п 1 (с = о — Ь ). а Ь 1678. Найти длину кривой Х = П(2СОВ1 — СОВ21)т у = а(2В1п1 — В1п21). 1679. Найти длину первого витка спирали Архимеда г = а~р. 1680, Найти всю длину кардиоиды г = а(1 + сов Ч)) Ф 1681. Найти длину дуги части параболы г = а Вес Й, отсекаемои 2 от т параболы вертикальной прямой„проходящей через полюс.