Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 12

„Х;. обе части тождества (2) приводят к целому виду, а затем приравнива2от коэффициенть1 прн одинаковых степенях переменной х (и е р в ы й с и о с о б), Можно такж~ определять эти коэффициенты, полагал в равенстве (2), или ему эквивалентном, х равным подходяще подобранным числам (второ й си особ). Пример 1. Найти х ы А(х + 1) + В (х — 1)(х + 1) + В (х — 1). 2 Р) а) Первый способ определения коэффициентов. Перепишем тождество (3) в виде х =- (А + В )х + (2А + В )х + (А —  — В2). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим: О =А+В; 1=2А+В2;О А — „— В..

А=;В,=-;В 1, 4$ 1 4Ф 2 2' б) Вл2орай способ определения коэффициентов. Полагая х = 1 в тождестве (3), будем иметь $5. Ие!тсгри~юайнве рацвОнальяых функпнй полагая х О, будем иметь 1 О А В1 В т с В1 А В 2$ ' ' 1 2 Д~ .1 ~' 1)х 1 ~ дх 43 :1 41 х+1 23(х+1) 1 1 ) ~ — Ц - -)и 1. + 1~ - . + С -- 1 1 ~х — 1 * 2(х+ 1) 2(х+ 1) 4 ~х+ 1 При реьчении этого примера рекомендуется комбинировать два способа определения коэФфициентов. Применяя второй способ, полагаем х О в тождестве (4); получим 1 = А.

Затем, полагая х = 1, получим 1 - С, Далее, при- 2 меняя первый способ, приравняем в тождестве (4) коэффициенты при х . Будем иметь + ~ пх, = 1п~х~ — 1п1х — 1~- — +С. Если многочлсн 9(х) имеет комплексные корни а + 1Ь кратности й, то в разложение (2) дополнительно войдут простейшие дроби вида х2+ рх+ о = Гх — (и+ !Ийх (и !Ж и М~» Лг1» ", М»» Л~» — неопределенные коэффициенты, определяемы способами, укаэанными вьипе. При Ф 1 дробь ($) интегрируется непо средственно„"прк Й > 1 применяется ие)иод понижения, причем предва. рительно квадратный трехчлен х + рх + о рекомендуется представить 3 и вкде х+-~ + ~р--~ и сделать подстановку х+ р з.

М Пример 3. Найти Р е ш е и и е«Как как х + 4х + Ь (х + 2) + 1, то, полагая х + 1 - в» получаем (в +1) (х +1) (г +Ц » х»х»Вх — — + -ххх»В» — — — —, х»»»х*.» С 1 х+1 1 2(в +1) 2(в +1) 2(г +1) эх х+3 1 — -агс$К(х+ 2) + С. 2(х +4х+Ь) 2'. Метод Остроградского, Еслк Щх) имеет кратные корки, то )аХ хх + — Йх» Р(х) Х(х) г У(х) (6) 9(х) 91(х) ) Юи~Ф) где 9,(х) — общий наибольший делитель многочлена Щх) и его производной Щх); Яфх) Ях): Я,(х); Х(х) и У(х) — миогочлены с неопределенными коэффициентами, степенк которых соответственно на единицу меньше степеней Я,(х) и Щх). Неопределенные коэффициенты многочленов Х(х) и У(х) вычисляются при помощи дкфФереицированкя тождества (6).

Пример 4. Найти Решен не. Йх Ах +Вх+С» Вхх+Вх+В )х -1) х -1 х»» а Э 6. Интегрирование, 'рациональных функций дифференцируя это тождество, получаем 1 11Ах~.В))х — 1) — Зх)Ах ~-Вх+С) Вх»Ехх)» )х -1) Я» (х — 1) а 2 х — 1 или (2Ах + З)(х" — 1) — Зх'(А.х~ + Вх + С) + (Зха + Ех + Р)(х — 1) Приравнивая коэффициенты при соответстнукпцих степеиях х, будем иметь: В = О; ~ — А = О; ~' — 2~ = О; .О + 3С = О; .Е + 2А = О; В + Р = -1», Д)ля вычисления интеграла в правой части равенства (7) разлагаем дробь иа элсмеитариые дроби: 1 х — 1 1 Пслагая х = 1, получаем Хх = 3 Приравнивая коэффициснты при одинаковых степенях х в правой и лсжй частях равейстыа (8), Находим: Х,+М=О;Х,-Ф 1, ~х 1~ ~ Л "'"' ахг 2 з 1 3) х — 1 3,) х""~.х+1 1 .

1 1 2Х+1 3 б ' Я ./З вЂ” 1п ~х — 1~ — -)п (х + х + 1) — — агсф — + С вЂ” + 2 1п~~~-~ + — + С. ~ 4 2$я"-' 2 11х з1п12х 1 . 2 — — з(п бх + С. З Ы 24 1З 1339. з111' х дх. 134О. Я1п х соз х «1х. Глава 1Ъ. НЕОПРЕДКЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ $7. Интегрирование триго22ов2етрических фуикций 1-. Интеграл ы вида | з1п х соз х Йх ~ Х где т и л — целые числа, Ц Если т = 2Й + 1 — нечетное положительное число, то полагают Х,„„= -- з»п хсоз х«1(созх) = — ~ (1 — соз х) соз хд(созх), 22 а Г 2 2 а Аналогично поступают, если а — нечетное полол«ителькое число. Пример 1.

1 З ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 О 11 . 13 з1п хсоз' х«»х = з1п х(1 — з1п х)«»(з1пх) = ' — — + С. 1» 13 2) Если 1п и й — четные положительные числа, то подынтегральпое выражение (Ц преобразуют с помощью Формул: з1п х = — (1 - сов 2х), соз х — (1+ сов 2х), з1пхсозх = — ЯЫ 2х. .2 1 2.

1 . 1 2 ' 2 ' 2 Пример 2. соз Зхз1п Зх«1х = ~ (соз Зхз1п Зх) з»п Зх«1х ~ «»х 2 2 ° 2 4 2 1~ .2,2 1 ~ ~1 — соз12х . 2 8,) = — 1 (з»п бх — а»п бх сов бх) «»х = — 11 — з»п бх созбх йх = — — созес~ х зес х «»(1д х) = ~ З1П" ХСОЗ'Х ~ф 1+ — 1 (1+фи х) «)(фх) = ~ ' д(2~ х), 2~ х,~ 1ф х 8 частности 1«атому слук1аю сводятся интегралы З Т. Интегрирование тригонометрических фупкций Пример 4. ~ ~ ~3 ~ ~ ~ ~ ~ ~ з ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ з ~ ~ ~ з 2 2 и'и'х 2 з1п хсоз "- 2 4)»»нтсгралы вида 2и х дх или с~К х «)х > где 1п жительное число, вычисляются с помощью формулы $а х - зес х — 1 2 2 (или соответственно сМ~ х = созес х — Ц. Пример б.

1д х Йх = ~ (,и х(зес' х — Ц«1х = — — ~ $и х «»х = 4 2 1~х Г З 3.. = ~~' " — 1 (зес' х — ц «»х = ~ " — 1К х — 2К + ' + С ° 3 б) В общем СЛучае интюгралы Х, вИда (Ц вЫчисляЮтея С помощьЮ 1рор- ®ул поиведения ('рекурренлшкх формцл), выводимых обычно интегриро- ванием по частям, Пример 6, ~ созх соз х соя х 1 1 ~ ~~~~ «) ~ ~~ = з1"" 1)11~1д 1- зес~~ С. 2соз х " соз х сов х 9 * д 2соз х 1341. з1п '~ соз — Йх. 2 2 1843. Я1п х «1х. ИЬ9. ~дв" +щ' ' Йх 136О. х 81й х Йх. 2~ Интегралы вида В(81пх созх) сЬ где  — рациональная функ ци я. 1) С помощью подстановки 81ПХ = 2Ф 1+~ интегралы вида (2) приводятся к интегралам от рациональных функций новой неременнои Пример 8.

Найти 261 Х= . = ~ — = 1п~1+ 1~+ С 1п ~1+1а-,~ +С, 1+1 С сй х! 21 1-1 2~ 1+ — +— 1+1 1+1 2'. Интеграл ы В и д а 81п тх сов их дх, 81п тхз1п ях йх и соз тхсов пх Йх. В этих случаях применя1отся формулы: Ц81п шхсоз ях = -(81п(ж + я)х+ 81п(т - я)х); 1 2 2) Если имеет месго то,"кдестзо В(-В1ПХ вЂ” СОЗХ) и Я(81П Х СОВ Х) то для приведения интеграла (2) к рациональному виду мо1кно применить подстановку ф х = 1. Здесь 1 ) 81п 1ях 81п лх = — 1соз (ю — я)х — сов (щ + В)х1 2 Ф 1344. 81п хсоз хЙх, 1345.

ип х сов хЙх. 1346, соз Зх Йх. 1347. 1ЗВ.| '* . ~ 81ПХ 1 3Э) Йх 2 81П ХСОВ Х 1351. ~ 81п хсоз х 1352. зх ~З62. |Вы'хУсовх ах. 1363 Йх 81ПХСОЗ Х И81ЪТИ ИИТЕГРаЛЫ: 1365 81п 3х соз 5х Йх. 1366 81п 1ох 81п 1бх Йх 1367. соз '- соз — Йх. 2 3 1368. ып — соз — х Йх. з з 1369. Соз (ах+ Ь) сов (ах — Ь) Йх. 1370 81п ОМ 81п (ОМ + 1р) Ж.

1371. Сов х соз Зх Йх. 1372, 81п х 81п 2х яш Зх Йх. 2) 8)1" х = -(с»1 2х — 1); 2 Пример 1. Найти Найти интегралы: 1374 дх Я1ПХ + СОЯХ 1375. 1 совх йх. ,» 1+ созх яп х+ — + С. вь х з Найти интегралы: 1394, ЯЬ~х с)1 х йх, 1З95. ~ «««««Ь"« 4 ~~ -4а си И уаражнемил 2 4» ~ ~31 1 ~ Д(»Д) ,2,",+2,2 .2,'1+(»,2)2 (1+»2) 1+ —, 1+» 1 = — агс2К (»,»'2 ) + С = — агсф (./2 1а х) + С.

1 Л Д Заметим„что интеграл (3) вычислнется более быстро, если предварительно числитель и знаменатель дроби разделить на сов х. В Отдельных случаах полезно применять искусственные приемы (см.«например, № 1379). 1382,„6Х 2 381П х+бсов х 2 1383,„, Йх 81П Х+ 381ПХСОЯХ вЂ” Сов Х Йх 81П Х вЂ” 581ПХСОЯХ 81П Х ~ (1 - соах) 2 1386 ~ 81п 2х с) 2 1+81п х 2387 сОЯ2х 4 . 4 СОЯ Х+81П Х 1388 сОЯх 81П Х вЂ” 681пх+ 5 дх (2 — 81п х)(3 — 81п х) 139р~ ~' 1- 81пх+ совх д ~ 1+ 81пх- соех $8, Интегрирование гиперболических Функций $8. Интегрирование гиперболкчес2ски функций Интегрирование гиперболических Функций ~полне аналогично интегрированию тригонометрических функций.

СлЕдует ПОМнить оеновныЕ формулы: 1)с)1 х — 8)1 х=1; 2 2 3)с)1 х = — (с)12х+ Ц 2 1 1397, $Ь хнах. 1398. СМ1 х Йж. 1399. 14О1 . 1 ~ 1)1Х-1 11П1 Я„= 58- 1 Л вЂ” ~Ж 2 ~(х) = а1П 1 сИ. П р и м е р 1. Составить интегральную сумму 8 для функции Д(х) - 1 + х иа отрезке 11, 1О1, деля этот отрезок на а равных частей и выбирая точки ~. СОВпадающИМИ С ЛевымИ концаМИ частИЧных ОтрезКов ~хг х,.

~ 11* Чему равен И1п 8„? ОО Решение. Здесьлх = — = ис.=х =х + ах =1+ —.Отсюда 10 — 1 9 . 91 д и 1 О 1 п' Я,.) 1 + 1 + — - 2 + — . Следовательно (рис. 38), 91 9~ я л Ф'.)~1х,.= ~ ~2+ — ~ = л, + (О+ 1+ +л ц л а и п~ -18+ - 18+ '1--' = 58 81 и(а-1) 81~ 1'~ 1 81 п~ 2 2 и 2 2п' П ример 2, Найти площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугой параболы у = х, осью ОХ и Вертикалью х - а (а > О). Р е ш е н не. Разобьем основание и на и равных частей Ьх = †.

Выбирая значение функции в начале каждого промежутка, будем иметь: У~=О:У2= — "У„= 2 — '".;а (а — 1)- Площади вписанных прямоугОльииков вычисляются умножением каждОгО у на основание Ьх = — (рис. 39). Суммируя, получим площадь ступенчатой О и фигуры 8„— — 11+2 +3 +... +(а — 1)1. $ 2. Вычисление Определенных интегралов с помощью неопределенных 137 ПОльзуясь формулой суммы квадратОВ целых чисел „р п(п+ 1)(2п+ 1) 6 Отсюда, переходя к пределу получим аз(л — 1)в(2п — 1) Оз Я = 11гп 3„= 1ип р-~ ОО а" со бл 3' Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм. Ь 1О 1501. дх. 1504. 2" дх. а О 1502. (ОО + Ф) пг, ИО и а постоянны.

1505"'. х дх. О 1503. х йх. 1506+, Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой $ 2, Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных 1'. Определен н ы й инте грал с переменным верхним и редело м. Если функция Д~) непрерывна на отрезке 1а, Ц, то функция есть первообразная для функции ~(х), т. е, К'(х) - Дх) при а - х ~ Ь.

15ОЗ. Пусть 1533. —,~Р а~, «Хв хйх 3 х2+Зх+2 Пернообразнак Р(х) вычислнетсн путем нахождении неопределенного ин- тегрилй 3 Пример 1. Нййти интеграл х ««х. з ьз Реш-ение. ~ х дх = — = — 48 Г 4 Х 35 ( 1)е 4 Ь 5 5 б Найти: 1) —; 2) —. дХ. ЙХ дп' ЙЬ Найти производные следующих Функций: 1609. Г~х) 1п ~ЙГ (х > О).