Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 7

С)Д~Р~ Уй» вЂ” мй» ( О) ~о. 7) Ф(и) = Пи)с(и. ,3 а» " " " У~РаМЕСКИа 1'. Дифференциал первого поря дк а, ДиФференци«слом ссай. вою порядка Функции у - Дх) называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения Лх ссх независимой переменной х. дифференциал Функция равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной: Йу = у'ссх. Главе П. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 3', Применение дифференциала к приближенным вычислениям, Если приращение Лх аргумента х по модулю мало, то: дифференциал йу функции у Дх) и приращение Ьу функции приближенно Равны между собой: й ~(х + Лх) — Лх) = Г(х)~ откуда дх м Лх) = У(х)+ Пх)Ьх. (1) П р и м е р 3, Басколько приблизительно изменится сторона квадрата, 2? если площадь его увеличилась от 9 до 9,1 м .

Р е ш е н и е, Ясли х — площадь квадрата, у — сторона его, то у = ./х. По условию задачи, х - 9; Лх 0,1. Приращение Лу стороны квадрата вычисляем приближенно: Лу = йу у'Ьх. = — 0,1 = 0,()16 и. 1 гЛ д и ф ф е р е н ц и а л ы и ы с ш и х и о Р я д к о в',4иФФереицио второго лорлдка называется дифференциал от дифференциала первого порядка: й у = й(йу), Аналогично определяются дифференциалы третьего и т.

д, порядков. Если у ° Дх) и х — независимзл переменная, то й у = у"(йх), й у = у'"(йх), й у=у (йх). Бслн же у = ~(и), где и ~р(х), то й у = у"(йи) + у'й2и, й у = у"'(йи) + Зу"йи й и+ у'йзи и т. д. (Здесь штрихами обозначено дифференцирование по и.) 3 712. Най приращение Ау и дифференциал йу функции у = 5х + х при х =2 и Ьх= 0001. 713. Не вычисляя производной, найти О(1 — х ) при х = 1 и Лх = — —. 1 3' 714. Площадь 8 квадрата со стороной, равной х, выражается по формуле Я х .

Найти приращение и дифференциал этой функции н выяснить геометрическое значение последнего. з 6 ДифФерснпиелы первого и высших порядков 715. Дать геометрическую интерпретацию приращения и диффеенциала следующих функций: з 3 а) площадь круга 8 = ях; б) объем куба и х'. 716. Показать, что прн Лх -~ 0 приращение функции у = 2, соответствующее приращению х на величину Ьх, при всяком х эквивалентно выражению 2 Лх 1п 2. 2 717. При каком значении х диФФеренциал функции у = х не эквивалентен приращению этой Функции при Лх — Ф 07 718. Имеет лн функция у = ~х~ дифференциал при х = 07 719. Пользуясь производной, найти дифференциал функции и = сов х при х = -" и Лх = — ".

6 36' 720. Найти дифференциал функции 2 ,й прн х =- 9 и Л х = — 0,01. 721. Вычислить дифференциал функции у =" $я'х при х = —, н Лх = —. я Л 3 180 Найти дифференциалы следующих функций для произвольных значений аргумента и его приращения: 722,у = 1 727, у = х1п х — х. 724. у = агсып х и 725. у = агс1Я 730. 8 = агсс(а е". 726.у= е", 2 3 731. Найти йу, если х + 2ху — у" = а . Р е ш е н и е, Пользуясь инвариантностью Формы дифференциала, полу- чим 2хйх + 2(уйх + хйу) — 2уйу = О, Отсюда йу=- уй .

х+. х — у Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно: 732, (х + у) (2х + у) = 1, 733.у =еу ТЗ4.!в /х +у = агеФд И. Глава П. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ $7. Теоремы о среднем 735. Найти ду в точке (1; 2), если у — у = бх . 3 2 736. Найти приближенное значение а1п 31'. Р е ш е н и е. Полагая х - агс ЗО" - — и Ь х = агс 1' = — „из Формулы (1 6 180" (см. 3') имеем в)п ЗР = в1п ЗО' + — сов ЗО' = О,ЬОО + 0,017 " — = 0,515 180 ' ' ' 3 737. Заменяя приращение функции дифференциалом, прибли женно вычислить: а) соа 61', б) (а 44'", в) е '," г) 1н 0,9; д) агсМ~ 1,05. 738.

Насколько приблизительно увеличится объем шара, если его радиус В = 15 см удлинится на 2 мм? 739. Вывести приближенную формулу (для ~Лх~, малых по сравнению с х) Г н с ее помощью найти приближенные значения для Д; Я7;,/70; 740. Вывести приближенную формулу Чх +*к - 8,5 + — '"' зИ и нанти приближенные значения для зЯ0 „970, Ч200. 741. Найти приближенные значения функций; а) у х — 4х + 5х + 3 при х = 1,03; 3 2 б) Пх) Д+х при х 0,2; в) Дх) з:" при х 0,1; Ч1+ х г)у = е нри х 105, 742.

Найти приближенное значение ф 45'3'20". 743. Найти приближенно агса)п 0,54. 744. Найти приближенно 4Я7. 745. По~~зат~, ос~~~ыв~~сь на фор~у~~ закона Ома Х = —, чт малое изменение тока, обусловленное малым изменением сопротивления, может быть найдено приближенно по формуле ЬХ = — — ЬЯ. 1 В 746. Показать, что относительная погрешность в 1% при определении длины радиуса влечет за собой относительную погрешность и иблизительно в 2% при вычислении площади круга и поверхности псаря. 747. Вычислить д у, если у = сов бх.

2 Решение. д у д"(дх) = -25совбх(дх) . 1 — х, найти Й и. 3 3 агссоа х, найти й у. 2 в1п х 1пх, найти Й у, —, найти д г. 1пх . з х ' 2 -х,. 3 х е, найти Й г. з ° 2-х За1п(2х + 5)„нанти Й и. е в1п(х а1п и), найти д у. $ 7. Теоремы о среднем 1". Теорема Ролл я. Если Функция Дх) непрерывна на отрезке а < х < Ь, имеет производную ~'(х) в каждой внутренней точке этого отрезка и Ф~) = 1(Ь), то для аргумента х существует по меньшей мере одно значение "„где а < ~ < Ь, такое, что Г(1) = О. 2'. Теорема Лагранжа. Если Функция Дх) непрерывна на отрезке а < х 4 Ь и имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то ЙЬ) — Йа) (Ь вЂ” а)Г©, вдел<~<Ь, 3"'. Те о ре и а Ко ш и, Бсли функции Дх) и Г(х) непрерывны на отрезке а ~ х ~ Ь при а < х < Ь и имеют производные, не обращающиеся в нуль одновременно, причем Г(Ь) ~ Г(а), то ЙЬ) -йо) Г(с,) „<- г(Ь) — г(а) Р'(~) 756. Показать, что функция Дх) = х — х на отрезках -1 < х < 0 3 и 0 '--." х < 1 удовлетворяет условиям теоремы Ролля.

Найти соответствующие значения ~. Р с ш е н и е. Функция Дх) непрерывна и дифференцируема для всех зиаче"ий х; кроме того, Я-1) = ДО) = Д1) = О. Следовательно, теорема Ролля Глава 11. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ а 9. Правило Лопиталя — Бернулли рйскрытия неопределенностей 73 771. Показатье что а1п (а + в) отличается от а(п а + Ь сой а не более чем на -Ь, 3 2 772. Выяснить происхождение приближенных формул.' а)Я+х =1+1х-1х2,~ 4 -1, 2 8 б) Д+х =1+ 'х — 'х',~х~<1, 9 ' з — и оценить их погрешность, 773. Оценить погрешность формулы Еоз2+ — + — + 1 1 1 81 41 774. Тяжелая нить под действием собственного веса провисает по цепной линии у = а сЬ -".

Показать, что для малых ~х~ форма нити приближенно выражается параболой и=а+— 2а Ттье. показать, что при ~з~ 'к о е точностью ио '1-1 имеет место приближенное равенство 5 9.Правило Лопиталя †Бернул раскрытия неопределенностей 0 сю 1'. Раскрытие неопределен костей типа — и —, Пусть од- О оа нозначные функции 1(х) и 1р(х) дифференцируемы при О < ~х — а~ < Ь, причем производная 1р'(х) не обращается в нуль. Если 1(х) и 1р(х) — обе бесконечно малые или обе бесконечно большие при х -> а, т. е. если частное — представляет в точке х = а неопределенЙх) 1р(х) О ность типа — или —, то О О0' е 1(х) . ~(х) ь. »а 1Р(Х) и-"а ф (Х) при условии, что предел отношения производных существует (вравило Ло- виталя — Бернулли). Правило применимо и в случае, когда а ° о0.

Если частное, ~~о~~ дает нео~ред~~~~~ос~~ в ~о~не х а ~д~ого из 1'(х) 1Р (х) вух упомянутых типов и Г'(х) и 1р'(х) удовлетворяют всем требованиям, рй11ее сформулированным для 1(х) и 1р(х), то можно перейти к отношению вто- рЫХ Производных и т д Однако следует помнить, что предел отношения — может существо- 1(х) Ч(х) вать в то время, кйк отношения производных не стремя гся ни к какому пределу (см. М 809). 2'. Прочие неон реде лен иост и. Для раскрытия неопределенностей типа О ОО преобразуем соответствующее произведение 1 (х) ~„(х), )'1(х) ~ 6~ )'з(х) где 11п1 11(х) = 0 и 1пп 1з(х) = х~, в частное — ~тип — ~ нли— х и «-»й 1 ~~(х) )'1(х) ТИП— И случае неопределенности типа оΠ— со следует преобразовать соответ- Г (х) ствующую разность |' (х) — ~ (х) в произведение 7 (х) 1 — — и раскрыть 1 2 ~1(х) ~з(х) .

~~(х) сначала неопределенность —; если 1пп — = 1, то приводим выраже- Г1(Х) ' к - ~1(Х) ние к виду г2(х) ~ (тиа ~) . ~1(х) 0 0 Неопределенности типов 1, О, со раскрывают с помощью предвари- тельного логарифмирования и нахождения предела логарифма степени . ~з1к) У1(х)1 (что потребует раскрытия неопределенности типа О со). Б некоторых случаях правило Лопиталя — Бернулли полезно комбини- ровать с нахождением пределов элементарными средствамн, Пример 1. Вычислить 1пх 11п1 — ~неопределенность типа — ~ .

и ОСАХ Р е ш е н и е. Применяя правило Лопиталя — Бернулли, имеем 11п1 — = 1пп, = -1пп —, 1пх . (1пх)' Й1п х -0 с~~ х . — 0 (с$~ х)' .-0 х Получили неопределенность типа —, однако применять правило Лопиталя— О О' Бернулли нет надобности, тйк как 11п1 — = 11гп — - е)п х 1 . О = О. Я1п"Х . Й1пх и 0 Х и-0 Х 3 р. Правило Лопиталя — Бернулли раскрытия неопределенностей 7Ь При мер 2, Вычислить 1 — 81п— * Йх 2 сЬх — 1 ф х — 81пх х «О Х 81ПХ 785. 1ип х О ~~ц 1 зес х-2(Я х 3 1+ соа4Х 4 786.

1пп х О 787. 11п1 (1 — соа х) с(,д х. х О Решен ие. 11ж (1 — сов х)с(~х = 11ж х- 0 х- О 81ПХ По правилу Лопиталя — Бернулли, = 111п, ° 11ж соах = 11ж — ' * 1 О. 1 — соах ашх х-О 81ПХ 3-0 х — 0 СОаХ 791. 1пп ха1п —. х Далее, элементарным путем находим 792.

11п1 х" 81п о, и > О. 789. 1пп агса1пх сФа х. 790. 1пп (х"е "), н > О. 793, 11п1 1п х 1п (х — 1), 794. 111п 1 —" х — 1 1х-1 1пх~ 1 1 1. х1пх-х+1 1пх! х - 1 (х — 1)1пх Решение. 11т х х-1 х'-+1пх-1 1 = 11ж 1пх+ -(х — 1) х - 11ж "" - 11ж х 1 1 х 1 1пх — -+ 1 х 79Ь. 11 х-а х — 3 797. 111п ~ 1.01~ х 2созх~ ' 796. 1па 1 1 2( 1 — .Б) 3(1 Гх) Таким образом, окончательно находим 11ж — = О. 1пх х ОСС1фХ 1 1 11ж — — — (неопределенность типа Оо — ~"~), -0 81пх х Р е ш е н и е.

Приведя дроби к общему знаменателю, получим 11ж — — йп ~неопределенность типа -) . 1 1 . х~-81пх / х-О 81ПХ Х х-0 2 2 2 . 2 Прежде чем применить правило Лопиталя — Бернулли, заменим знаменатель последней дроби аквивалентной ему бесконечно малой (гл. 1, $ 4) 2 . 2 3 х 81п х — х * Получим 1 1 . х~-81п~х ~ 11ж — — - 11ж ~неопределенность типа — ~ . х-О 81пх х ' О х 1 1 .