Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 6

2 $4. Геометрические и механические приложения производной 1'. Уравнен ия касатсл ьной и нормали. Из геометрического смысла производной следует, что уравнение касательной к кривой у = )'(х) или г(х, у) " О в точке М(хо, у ) будет У Уо= У о(х хо) где у'о есть значение производной у' в точке М(х, уо), Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

Для нормали получаем уравнение хо + У о(У Уо) = О. З 4. Геометрические и механические прилоажиия производной 2', У г о л и е ж д у к р н в ы м и, Под углом между кривыми у " Г,(х) в их общей точке Мо(хо, у„) (рис. 12) понимается угол ь между касательными М А и М В к этим кривым в точке М„. По известной Формуле аналитической геометрии получаем ф~ О)— $(хо) — фхо) 1+ ~1(хо) ~2(хо) 3'. Отрезки, связанные с касательной и нормалью, для случая прямо угол ьной системы кооорди нет.

Касательная и нормаль определяют следующие четыре отрезка (рис, 13): 1 = ТМ вЂ” так называемый отрезок ка. сательной, Я, ТК вЂ” подкасательная, и - ФМ вЂ” отрезок нормали, Я = КИ вЂ” поднормаль, Так как КМ ~уо~ и Фа ~р = у', то 4'. Отрезки, связанные с касательной и нормалью, дляслучая полярной систем ы координат. Если кривая задана в полярных координатах уравнением г = 7(у), то угол ц, образованный касательной МТ и полярным радиусом г = ОМ (рис. 14), определяется следующей Формулой: Т Мр =г — = —,. а~ Рнс, 14.

аг Касательная МТ н нормаль ММ в точке М вместе с полярным радиусом точки касания и перпендикуляром к полярному радиусу, проведенным через полюс О, определяют следующие четыре отрезка (см. рнс. 14). ~ - МТ вЂ” отрезок полярной касательной, и МФ вЂ” отрезок полярной кормили, Я„= ОТ вЂ” полярная подкасательная, 3„= ОМ вЂ” полярная поднормаль, Глава П. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 642. Показать, что нормали к развертке окружности х =а (сов»+»31п»), у = а(а(п» - »сов») 2 2 2 являются касательными к окружности х + у = а . 2 643, Найти угол, под которым пересекаются параболы у (х — 2) и у — 4+бх — х, 2 2 3 644.

Под каким углом пересекаются параболы у = х и у = х 7 645. Показать„что кривые у 4х + 2х — 8 и у х — х + 10 2 3 касаются друг друга в точке (3," 34), Будет ли то же самое в точке ( — 2; 4)~ 646, Показать, что гиперболы 2 2 2 2 ху=а их — у Ь пересекаются под прямым углом. 647. Дана парабола у 4х. Вычислить в точке (1; 2) длины от- 2 резков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. 648. Найти подкасательную кривой у = 2 в любой ее точке. 2 2 2 649. Показать, что у равносторонней гиперболы х — у = а длина отрезка нормали в любой точке равна полярному радиусу этой точки. 2 2 2 650. Показать, что поднормаль гиперболы х — у а в любой ее точке равна абсциссе этой точки.

2 2 651. Показать, что подкасательные эллипса — + — = 1 и окружх у 2 12 ности х + у = а в точках, имеющих ОдинакОвые абсциссы, раВны 2 2 2 между собой, Какой прием построения каса*ельнои к эллипсу о~~юда вытекает? 652. Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали у циклоиды х= а (» — в1п»), ~ у = а (1 — сов») в произвольной точке» 653, Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания у логарифмической спирали ЬР г= ае 654. Найти угол между касательной н полярным радиусом точки 2 2 касания у лемнискаты г = а соа 2~р. 655.

Найти длины отрезков полярных касательной, нормали, подкасательной н поднормали, а также угол ~~~ду к~~~~ельной и полярным радиусом точки касания у спирали Архимеда граф в точке с полярным углом ~Р = 2я. $4 Геометрические и механические приложении производнои 656, Найти длины отрезков полярных подкасательной, поднормали, касательной и нормали, а также угол между касательной и полярным радиусом у гиперболической спирали г = — в произвольНОй тОчке 9 ~Рз' г = гз 657.

Закон движения точки по оси ОХ есть х = 3» — » . 3 Найти скорость движения точки для моментов времени: » О, », = 1 о н» = 2 (х выражается в сантиметрах, » — в секундах). 658. По осн ОХ движутся две точки, имеющие законы движения х = 100+ 5» где» > О.

С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в момент встречи (х выражается в сантиметрах, » — в секундах)7 659. Концы отрезка АВ = 5 и скользят по перпендикулярным прямым ОХ и ОУ (рис. 16). Скорость перемещения конца А равна 2 и/с. Какова скорость перемещения конца В в тот момент, когда конец А находится от начала координат на расстоянии ОА = 3 м? 660"'. Закон движения материальной точки, брошенной в вертикальной плоскости ХОУ (рис, 17) под углом а к горизонту с начальной скоростью и„, дается Формулами (без учета сопротивления воздуха) х уо» сов с» у = уз» я1п Π— ~ — „ в'» 2 где у — время, ~ — ускорение свободного падения.

Найти траекторию движения и дальность полета. Определить также скорость движения н ее направление. 661. Точка движется по гиперболе у — так, что ее абсцисса х 10 растет равномерно со скоростью 1 единица в секунду. С какой скоростью изменяется ее ордината, когда точка проходит положение (5„2)? $5.

Производя ьте высших порядков Пример 2, Найти у", если х а СОВА, у -Ьа(п~. Решение, Имеем (Ь 81пг)~ У =, = — . — -СОВ~ (а сОМ)', -а з|п~ а --С1~ ~ ф (и сОВ1),' у, или — „или ~ (х). (л) и д (л) Йх 672. Д(х) = (1 + х ) агс$д х. 673. у = (агсв1п х) .

674. р = а СЬ -" . Ре~пс и ив. и' =; у" = ~ — ~ 1 — х ~1 — х Глава 11. ДИФФЖРКНЦИРОВАНИК ФУНКЦИЙ 662. В какой точке параболы р = 18х ордината возрастает вдвое скорее, чем абсцисса? 663. Одна сторона прямоугольника имеет постоянную величину а = 10 см, а другая Ь изменяется„возрастая с постоянной скоростью 4 см/с. С какой скоростью растут диагональ прямоугольника и его площадь в тот момент, когда Ь = 30 см? 664. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/с. С какой скоростью растут площадь поверхности шара и объем шара в момент, когда радиус его становится равным 50 см? 665. Точка движется по архимедовой спирали г=аф (а = 10 см) так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса постоянна и равна б град/с. Определить скорость удлинения полярного радиуса г в момент, когда г = 25 см.

666. Неоднородный стержень АЗ имеет длину 12 см. Масса его части АМ растет пропорционально квадрату расстояния текущей точки М от конца А и равна 10 г прн АМ 2 см. Найти массу всего стержня АЗ и линейную плотность в любой его точке М. Чему равна линейная плотность стержня в точках А и В? $ б. Производные выс|пих порядков 1', Определен ив высших производи ых. производной второго порядка или второй производной функции у ~(х) называется производная От ее произВОдной, т. е. Ь')'. Обозначается Вторая производная так: 2 у", или — ", или ~"(х).

пх Если х - ٠— закон прямолинейного движения точки, то — есть уси х пг корение этОГО движения. Вообще, производной. л-го аорлдка От функции и = Дх) называют производную От производной порядка (в — 1), Для и-й производной употребляются обозначения П р и и е р 1. Найти производную 2-го порядка от функции у 1п (1 — х), 2, ф О р м у л а л е й б н и ц а. Если функции и = р(х) и О = ~у(х) имеют нрОизводиые дО а-го порядка Включительно, то для вычисления п-й прО- изводной произведения этих функций МОЖНО пОльзоваться Формулой Л'ейбкица (~П)ул) И( 1У + (л" 1) Л(Л вЂ” 1) (л — 2) .

+ (л> ИП =И У+ЛИ и + И О +...+ИО 1.2 3", ПроизВОдные Выс1пих пОрядкОВ функций, заданных и а р а и е т р и ч е с к и. Если Йи ~ да то произВОдные у = —, у —,, последовательно могут быть х Дх - хх х вычислены пО формулам Для производной 2-го порядка имеет место фсрмула Ф ~Ф УР Р х~ у~с хи ус У ..=,з (х,') А. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ЯВНЫХ ФУНКЦИЙ Найти производные 2-го порядка от следующих функций: 667.у=х +7х -5х+4. 671.у=1п~х+ а +х 3 з 2 2' г п.

диефкржнцировлник функций 4 6, Дифференциалы иерв«сго с«высших порядков 2 Б й, у" ~ — у от следующих функций: дх 2 -С 701..2 У=2 у 2 2 «1у Йх 7О8 Ямея уравнение у х + 1п у~ наи™ 2 2 Ь 7О9 Найти у" в точке (1; Ц, если х +Ьху+у — 2х+у — 6 О, 710. Найти у" в точке (О; Ц, если х — ху + у = 1. 4 711. а) Функция у задана неявно уравнение~ х + 2ху + у — 4х + 2у — 2 = О. 6$ Найти — У в точке (1", 1), с(х б)Найти —,еслих +у =а.

ссу 2 2 2 Ссх х=зес2, х=е'соБФ, 699 700' у = е з1п (. у = $Я 2 ° с(й х=1п~, 702. Найти — ", если ж ссх а' У=2 СРУ 703. Зная функцию у = ~(х), найти производные х", х обратной функции х = ~ (у). 2 7О4. Найти у", если х + у 1. Р е ш е н и е. На основании правила диФФеренцирования сложной Функ-: > цииимеемЯх+2уу'=0;отсюдау -- иу ~- — =- —.Подет е вместо у' его значение, окончательно получим у +х 1 2' у' у Определить производные у" ог следующих функций у = )с(х), за-, данных неявно". 705. у 2рх.

2 2 7О6. — + -"- -1. 2 52 707. = х + зад у. ф 6. Дифференциалы первого и высших порядков ду"а "рафика Функции у = ~с(х) (рис. 19), МТ вЂ” касательная в точке М(х, у) и РЯ = Лх ~ с(х„ то приращение ординаты касательной АT=йу и отрезок АФ = Лу.

П р и и е р 1. Найти приращение и дифференциал функции у - Зх — х. Решение. 1-Й способ: Лу = 3(х + Лх) — (х + Лх) — Зх + х 2 2 Следовательно 2-Й способ; у = бх — 1; с(у = у'сЬ = (бх - Цс)х П р и м е р 2. Вычислить Лу и с«у Функции у = Зх — х при х = 1 и Лх = 0,01. Решение. Лу=(бх — Ц Лх+ 3(Лх) = 5 0,01+ 3 (О,ОЦ 0,0503 и ду (бх — ЦЛх = 5 - 0,01 = 0„0500, 2" Основные свойства диФФеренциалов: 1) дс О, где с сопя(;. 2) дх = Лх, где х — независимая переменная. 3) сс(си) = сди. 4)сЦи+ о) «(и+ сЬ 5) «Цио) = иди + ос(и.