Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 5

Показать, что Функция у = ~х~ непрерывна. Построить граФик этой функции. 312. Доказать„что модуль непрерывной Функции есть Функция непрерывная. 313. Функция задана формулами х — 4 д — п1эих Ф2, А при х 2. Как следует выбрать значение Функции А = Я2), чтобы пополненная таким образом функция Дх) была непрерывна при х = 27 Построить график функции у = Дх). 314. Правая часть равенства Дх) = 1 — хз1п— 1 теряет смысл при х = О, Как следует выбрать значение ДО) для того, чтобы функция Йх) была непрерывна при х = 07 315. Функция Ях) = агс(,д— 1 х-2 теряет смысл при х 2, Можно ли так определить значение Д2), чтобы пополненная Функция была непрерывной при х = 2? 316.

Функция ~(х) не определена при х = О. Определить |(О) так, чтобы Дх) была непрерывна при х = О, если: (1+х) — 1 ). „) ~( ) е -е х х б) Ях) = д) Д(х) = х з1п -; х' х' 1п(1+ х) — 1п(1 — х), е)~(х) = х с(,дх. Исследовать на непрерывность Функции: 317. у = 318 1+ х 1+х ./7+ х-3 х -4 331. Доказать, что функция Дирихле у(х), равная нулю при х иррациональном и равная 1 при х рациональном, разрывна для каждого значения х.

Исследовать на непрерывность и построить графики функций: 332. у = 1пп — (х 1 О). 1+ х" 333. у = 111п (х агс1а пх). 334. а) у=вап х, б) у = х вдп х, в) у =вап(в1п х), гдефункцияар~ х определяется формулами ф 1. Непосредственное вычисление производных +1, если х > О, вапх ~ О,еслих О, ~ — 1, еслих< О, 335. а) у = х — Е(х), б) у хЕ(х), где Е(х) есть целая часть числа х. ' 336, Привести пример, показывающий, что сула двух разрыв- ных функций может быть функцией непрерывной.

337"'. Пу~~ь с~ — ~ранил~на~ положительная дробь, стремя1цаяся к нулю (О < а < 1). Можно ли в равенство Е(1 + а) Е(1 — а) + 1, справедливое для всех значений а, подставить предел величины и? ' 338. Показать, что уравнение х — Зх+1=0 3 имеет в интервале (1, 2) действительный корень, Вычислить приближенно этот корень. 339, Доказать, что любой многочлеи Р(х) нечетной степени имеет ао меньшей мере один действительный корень. 340.

Доказать, что уравнение $~х= х имеет бесконечное множество действительных корней. 1'. Пр яраще н ив аргумента и приращение функции. Если х и х, — значения аргумента х, а у = ~(х) и и, = д(х,) — соответствуняцие значения Функции и = Дх), то Лх=х -х *1 У называется приращением аргумента х иа отрезке ~Й~'У.) 1х,хД,а Ф 'Ьф Лу Лц = Ях1) — Ях) = Ях + Л х) — Лх) (1) — вриращением Функции у на том же отрезке 1х, х 1 (рис.

11, где Лх МА и Лу АМ). Отношение Ли Рис. 11. Лх представляет собой угловой козффициенг секущей ММ графика Функции у = Ях) (рис. 11) и называется средней скоростью изменения Функции у на отрезке (х, х + Лх1. Пример 1. Для Функции у=х — 5х+6 2 вычислить Л х и Л у, соответствующие изменению аргумента: а) от х - 1 до х = 1,1; б)отх Здох=2. Решен не. Имеем: а)Лх=1,1 — 1=01, Лд (1 1 -- 5 . 1 1 + 6) — (1 — 5 . 1 ~ 6) = --0 29 б)Лх = 2--3= — 1, ЛР = (2 — 5 2 + 6) — (3 — 5 " 3 + 6) = О.

Р и м е Р 2. Для гиперболы у = — найти угловой коэффициент секу- 1 Х 1цои и ° проходящей через точки с абсциссами х 3 и х = 10. Р 1 1 1 '1 7 ешение, Здесь Лх = 10 — 3- 7, у —, у, = —; Лу 3' ' 10' 10 3 30 З 1. Непосредственное вычисление производных 2'. Производная. Производной у' - —" от функции у =- Ях) по ардх гумеиту х называется предел отно~~ния — „когда Ьх стремится к нулю, т.

е. Ьу Лх 11п1 г . Лу ьх ОЛХ если этот предел существует, Ве~~~и~а производнои дает у2ловой коэффициент касательной МУ к графику функции у = Дх) в точке х (рис. 11): у = Щ~р. Нахождение производной у' мазываюе дифференцироваяиех функции. Производная у' )"(х) представляет собой скорое~ив изменения функции в точке х. При мер 3. Найти производную функции 2 у х . Реш еи и е.

По формуле (1) получаем: Ьу ~(х+ Ах) — х = 2ХЬХ+ (Ьх) 2 2 2 Следовательно, у' = 1пп — = 1ап (2х +Ах) = 2х. ~~у Ох О Ьх м-"О 3', Одн о с тор он н не ирои вводные. Выражения ~(х+ Лх) — ~(х) Ьх '-О Ьх ~(х+ Ьх) — Д(х) М--О Лх называют соответственно левой или яровой производной функции Ях) в точке х, Дли существования )"'(х) необходимо и достаточно, чтобы 1'"(х) = Г'. (х), Пример 4. Найти ~'(О) и ~'(О) для функции л.) = 3-$ Реп1 ение. Имеем по определению Г (О) = 11пь — — 1, ~,(О) = 11п1 — = 1.

~Лх1,, ~Л~~ Лх — -О ЛХ Ьх--+О ЛХ 4'. Вес ко н еч н яя производи ая. Если внекоторойточкеимеем Дх+ Лх) — ~(х) Лх- О Лх то говорят, что непрерывная функция Дх) имеет бесконечную производную в точке х. В атом случае касательная к графику функции у Дх) перпендикулярна оси ОХ. Пример 5, Найти)"(0) для функции у Чх. Решение. Имеем Г(О) - 1пп — 112п — - со, Ях, 1 ~х- О ЬХ Лж О2Г 2 ~Ах 2 341. Найти приращение Функции у х „соответствующее пере- ходу аргумента: и) от х = 1 До х, = 2; б) от х 1 до х = 1,1; в) от х = 1 до х, = 1 + Ь. 342. Найти Ьу для Функции у = Чх, если: а)х = О, Лх 0,001; б)х 8, Лх = — 9„ в)х а, Лх Ь. 343.

Почему для Функции у = 2х + 3 можно определить прира- щение Лу, зная только, что соответствующее приращение Ьх = 5, а 2 для функции у х этого сделать нельзя? 344. Найти приращение Лу и отношение —" для Функций: Гх а)у= прих=1иЬх 0,4; 1 (х -2) б) у,~х при х = О и Лх = 0,0001; в) у = 11, х при х = 100 000 и Ьх = -90000. 345. Найти Ьу и — ", соответствующие изменению аргумента от х до х + Лх для Функций: а) у = ах + (»; г) у = Гх; б)у х„' д)у = 2"", в)д = 1 „ е) д = 1п х. 346. Найти угловой коэффициент секущей к параболе д = 2х — х, 2 если абсциссы точек пересечения равны: а)х,=1,Х =2; б) х 1, х = 0,9; в) х, = 1, х = 1 + Ь.

К какому пределу стремится угловой коэффициент секущей в пос- леднем случае, если Ь -~ О? 347 Какова средняя скорость изменения Функции у х в про- 3 ме2кутке 1 < х < 49 $2. Табличное дифференцирование или в других обозначениях 1 +21 1пх х х у' Зи сов и 4 = 12зш 4х сае 4х.

2, 2 2 Ь '875.у Зх — 2х +х зи.р-~И. 404 — Зса1х 1пх 377. у =— хЧ 380. у = — — —, 2 1 2х — 1 х Главе 11. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 3'. Правило диФФеренцирования сложной Функции. Если. у = Ди) и и ~р(х), т. е. у - фр(хД, где Функции у и и имеют производные, то у =у„и„ (1) Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа диФФеренцируемых Функций.

При мер 1. Найти производную Функции у =(х — 2х+ 3). $ Р е ш е в и е. Полагая у и, где и - х — 2х + 3, согласно Формуле (1) будем иметь у' = (й)„'(х — 2х + 3)„' = 5и (2х — 2) = 10(х — 1)(х — 2х + 3), П р и и е р 2. Найти производную Функции у = к(п 4х. 3 Решение.

Полагая 3, у~и; и=е(пп'„п=4х, Найти производные следующих функций (в М№ 368 — 408 правило дифференцирования сложной функции не используется): Б. ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ КРУГОВЫЕ 382, у = 581пх+ Зсовх. 386. у = агфа х + агсс(а х. 383, у = $д х — сна х. 387. у = х с1ц х. 384,у= 388. у х агса1п х.

81п х — соах 385„у = 21в1п ~ — (~ — 2) сов 1. 389. у = ( 2 В. ФУНКЦИИ ПОКАЗАТЕЛЬНЬИ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ 392. у = — ',. 393,у=" —, 394. Дх) = е сов х. 395. у = (х — 2х + 2)е . Д. СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ Байти производные следующих функций (в №М 409 — 466 необ- ходимо использовать правило дифференцирования сложной функ- "ии с одним промежуточным аргументом): 409"". у = (1 + зх — 5х')'е. Р е ш е н и е, Обозначим 1 + Зх — Ьх - и; тогда у = и .

Имеем. у' = ЗОи, и' = 3 — 10х", у'„= 30и . (3 — 10х) = ЗО(1 + Зх .- бх ) * (3 — 10х), 453. у = атэц; (1п х) + 1п(асс(,а х). 464. у = Дпх+1 +!21./х + Ц. Е. РАЗНЫК ФУНКЦИИ 455" '. у 456. у = 436, Дх) = ас1д -". 437. у = — — соа (бх ) — — соа х . 1 3 1 2 20 4 Глаа22 П, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ 411. )2(у) = (2а + ЗЬу) . 412. у = (3+ 2х ), 41З.у = 3 1 1 Ьб(2х — 1) 24(2х — 1)' 40(2х — 1) 414.у= Б — х 416. у = х/а+ух . 416 ( 2/'3 2,~'3)3,~'2 417. у = (3 — 2я1пх) .

Ь Решение. и' Ь(З вЂ” 2а1пх) Р— 231пх)'- 5(З вЂ” 2а~пх) ( — 2соах) = = -10соа х (3 — 2йп х), 3 ° 2 1 Г а1п х + Л+ ыов1ах. аахссух — 1сгсь111 х1 . 1 ЙГс$ях хб" + х, Р о ш е н и е, у' = соа Зх (Зх)' — а1п — ~ — 1 + — (.Б ) 432. у = а1п (х — бх + 1) + 1а "- .

435. у = 1 — соа Зх 438. у = ахса1п 2х. РсЯссас. У' .12х1 1 — (2х1 . 2 1 — ах 2 439. у = эхса1п —, х 2 447. у = агссоа о, 448. у = 1п (2х+ 7), 449. у = 1а з1п х. 45(у. у = 1п (1 — х ). 451. у = 1п х — 1п (1п х), 452. у = 1п (е'+ 5а1п х — 4агса1п х).

= а(п Ьхсоа 3 2 х 3' 11 4 2( -2)' 15 10 1 4(х — 3) 3(х — 3) 2(х — 3)" а 4 8(1-х ) /2х — 2х+ 1 1 — у = о 1п и +».ь- и ь 1 у И отс»ода у =у ю 1пи+ -и у'= и' а'1п и+ -и' . то у1 у х'' 567. у = (х+ 1) (х+ 3) х(х-1) х — 2 ~х=исоз~ь у =аз1п 1, Глава 11. ДИФФЖРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ П р и м е р. Найти производнун» ело»кно-показательной функции у = И', где и фх) и в = »у(х). Р е ш с н и е.

Логарифмируя, получим 1пу = и)пи, Дифференцируем обе части последнего равенства по х: (1п у)' = и'1п и+ и(1п и)', Р е»п е н и е, 1п у — 1п х + 1п (1 — х) — 1п (1 + х ) + 3 1п з(п х + 2 1п сов х", 2 з 3 — у' — — + — — — + 3 —,созх — —, 1, 2 1 -1 2х 1 2и'пх 3 х 1 — х 11+ха з(пх созх ' »2 1 2х откуда у' = у ~ — — — — — +Зс(;фх — 21фх '»3Х 1 — х 565. Найти у', если у = (Ып х) . Р е»н е н и е. 1п у = х1п а(п х; — у 1п з1п х + хс(д; х; 1 у у' = (з1п х)"(1п з1п х + х с(3 х). Найти у', применяя предварительно логарифмиронаине Функции у=йх): $ 3. Производные функций, не явля»ощихся явно аадвннь»ми 6 3.

Производные функций, не являи»щихся яано заданными 1', Производная обратной функции,Еслидляфункцииу=1(х) производная у' ~ О, то производная обратной функции х = ~ (у) есть Д р и м е р 1. Нанти производну»о х, если. у=х+1пх. 1 х+1, х Решение, Имеем у' = 1»- — = —; следовательноь х х х х+1 2', Производные фуп кци й, заданных параметрически.

Если зависимость функции у и аргумента х задана посредством параметра ~ у =а? 2 2 от неявных Функций у.* Найти производную у' 601. 2х — Ьу + 10 = О. 602. "— + У вЂ” ' 1. оз 603,х +у =а. з з з 604. х + х у + у = О. 3 2 2 611. ху = ы'саф — ° у 612. агс$а(х+ у) = х. 613. е" х + у. 2 614.1пх+ е = с.

615. 1пу+ '-" = с. у 616. агс1~ — = — 1п(х + у ). у 1 2 2 х 2 617. х + у = с агсф~ — . 2 2 у 618. х" = у'. ~ - ~'М - — "'„/~~~д,~'~; уо и УМ ~до~~+(у') ~; 8 ТК Уо Уо ' 8„" ~узуо~ ° Глана П. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 600. Пусть у = а — х . Можно ли почленно дифференцировать 2 2 равенство 2 619. Найти у' н точке М(1; 1)„если з 2у=1+ху. Решение. ДиФференцируя, имеем 2у' = у + Зху у'. Полагая х = 1 и у - 1, получим 2у' = 1 + Зу', откуда у' - — 1, 620. Найти производные у' заданных Функций у в указанных точ- а) (х + у) = 27(х — у) при х = 2 и у = 1; б) уе" = е" при х = О и у = 1' в) у = х + 1п у при х = 1 и у - 1.