Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 3

117. у = 2 з1п х. 109. у = 1н х . 110. у 1~ х. 111, у = 1К(1ц.'х). 112. у = 1 1д х обратных тригонометрических функций: 122. у ~ а1'сз1п —. 1 123. у = агссоа —, 1 124. у = х + агсс$д х, 120"'. у = агс$д х. 121+. у = агсФд х. Построить графики функций: 12о. у = ~х~, 126. у = — (х + ~х~). 2 127, а)у х~х~; б)у = 1од — ~х~. 128. а) у = а)п х + ~з1п х~ б) у = зц1 х — ~з1п х~ 3 — х при~ха<1; 129,у~ 2 ,„1х1 — при 1Х~ > О.

130, а) у = ~х~, б) у = х — ~х~, где ~х~ — целая часть числа х, т. е наибольшее целое число~ меньшее или ранное х. Построить графики функций в полярной системе координат (г, у) (г "- О): 131. г = 1 (окружносжь), 132~. Р. = (Спираль Архимеда). 2 $ 3. Пределы Рис. Ь, 1пп х„= и, Д Ж 133+. г = е' (логарифмическая спираль). 134+. г = ~ (гиперболическая спираль). Ч 135.

г = 2 соз е (окружность). 136. г = —. (щымая линия). ашф 137. г = зес У (парабола). 2 138+, г 10 з1п З~р (трехлепестковал роза). 139"'. г = а(1 + соз ф) (а > 0) (кардиоида). 140+. г = а соз 2~р (а > О) (лемниската). Построить графики функций, заданных параметрическим способом: 141"'. х = 1, у 1 (полукубическая парабола). 3 2 142+. х = 10 соз 1, у = з1п 1 (эллипс). 143*.х - 10соз 1, у 10зш 8(астроида). 3 3 144*.

х = а(соз 1 + 1 з1п 1), у а(зн1 ~ — Ф соз ~) (развертка круга), 145'"'. х ~ ~, у = ", (декартов лист). 1+~ 1+г 146. х = —, у — (полуокружность). Я йг ~~+' Ь+' 147. х = 2 + 2, у = 2 — 2 (ветвь гиперболы). 2, 3 148. х = 2 сов Ф„у = 2з1п Ф (отрезок прямой линии). 149. х = ~ — ~, у = ~ 2 2 3 150, х = а(2 соз г — соз 21), у = а(2 жп 1 — пп 21) (кардиоида). Построить графики функций, заданных неявно: 151"'. х + у = 25 (окружность).

155. у = х (100 — х ). 2 2 2 2 2 2 2 2 152. ху = 12 (гипербола). 156", х + у = а (астроида) 153'. у = 2х (парабола). 157~. х + у = 10 1д у, 2 154. —" + ="- = 1 (эллипс). 158. х = сову. 100 64 Агиг г 159""'. х + у е (логарифмическая спираль). 160"', х + у — Зху 0 (декартов лист). 3 3 161, Составить формулу перехода от шкалы Цельсия ('С) к шкале Фаренгейта ('Е), если известно, что 0' С соответствует 32 Г и 100 'С соответствуют 212 'г. ПострОить График полученной функции.

162. В треугольник, основание которого о = 10 и высота и = б, вписан прямоугольник (рис. 5). Выразить площадь этОГО прямОугОльника у как функцию От Основания НГО Х. ПОстроить график этОЙ функции и найти наибольшее ее значение. 163. Б треугольнике АСН сторона ВС = а, сторона АС Ь и переменный угол ПАСВ = х (рис. 6). Выразить у = пл. Л АОС как функцию от х. Построить график этой функции и найти наибольшее ее значение. 164. Решить графически уравнения: а) 2х2 — бх+ 2 О; г)10 =х; б)х +х — 1=0; д) х = 1 + 0,5 з1п х; в)1Ях = 0,1х; е) с$~ х = х (О < х < л).

165. Решить графически системы уравнений; й 2 а)ху=10,х+у=7; г)х'+у=10,х+у =б; б) ху = б, х + у = 13," д) у=з1И х,у=сов х(О < х<2к), 2 3 в) х — х + у = 4„у — 2х = 0; 1'. Предел по ел ело зател ь ноет и, Число а иазьшается пределом последовательности х,„х, ..., х„, „.: если для любого е > О существует число Ф = Ф(е) такое, что ~х„— а~ < с при и > Ф, П р и и е р 1, Показать, что 2п+ 1 1ии — = 2, л ~ а+1 Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ $3, 11ределы Р еш еп не. Составим разность 2В+1 1 — 2 и+1 я+1 Оценивая эту разность по абсолютной величине, будем иметь 2я+1 2 1 если и > — — 1- М(е). 1 а Таким образом, для каждого положительного числа е найдется число Ф - — — 1 такое, что при и > М будет иметь место неравенство (2).

Следо- 1 'с вательно, число 2 является пределом последовательности х„- (2п + 1)4п + 1), т. е. справедлива Формула (1). 2'. Предел Функци и. Говорят, что функция «(х) — > А при х -+ а (А и а — числа), или 1пп «(х) = А, если для любого е > О существует Ь - Ые) > О такое, что ~«(х) — А1 < е при О - ~х — а~ ~ Ь. Аналогично, 1ип «(х) А, если ~«(х) — А~ < е при ~х~: г«(е). Употребляется также условная запись 11ж «(х) = ~, х — а которая обозначает, что ~«(х)~ > .Е при О < ~х — а~ < ЬЩ, где Š— произвольное положительное число. 3'.

Односторонние и редел ы, Если х < а и х -+ а, то условно пишут х -~ а — О; аналогично, если х > а и х — ~ а, то это записывается так: х — х а + О. Числа «(а — О) = 11т «(х) н «(а + О) = 1пп «(х) х а-О х — а+О называются с~~~~~~~~~е~но пределом слева Функции «(х) в ~~~~с а и пределом справа Функции «(х) в точке а (если этн числа существуют). Для существования предела Функции «(х) при х — ~ а необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство «(а — О) = «(а + О). Если существуют 1пп «,(х) и 1пп «(х), то имеют место следующие тео- Ж-~0 Ж вЂ” 'й рамы: 1) 1ип 1«,(х) + «.(Х)1 1пп «,(х) + 1ип «2(х); х-~й х я х ~О 2) 11гп («,(х) «е(х)) 1пп «(х) 1пп «(х); х Й х е х я 3) 11ш ~«,(х)~«(хЯ = 1пп «(х),~11т «(х) (11т «(х) ~ О).

х а х-Ф ' х-В х й Частое применение находят следующие пределы: 11п~ — 1; э1пх х О Х 1 1~ х 11ш ~1+ — ~ = 11ш (1+и)" = е = 2,71828... ° оо ~. Х О--О П ри и ер 2. Найти пределы справа и слева функции «(х) = агс$д— 1 при х -+ О. Р е ш е и и е. Имеем: «(+О) = 1нп агсМ~ -~ =— 1~ я х -О Я-0) - 11т ~агах -~ = --. 1О я х--е., х, 2 Предела же функции «(х) при х -+ О в этом случае, очевидно, не существует. 166. Доказать, что при и -+ со предел последовательности 1 1 1 1, 4 9 2 равен нулю, Для каких значений п будет выполнено неравенство 1 (е — произвольное положительное число)? Произвести численный расчет, если: а) в 0,1; б) е = О,О1; в) е = 0,001. 167. Доказать„что предел последовательности х = " (я=1,2, ...) л.+1 при п -~ со равен 1.

При каких значениях и > Ф будет выполнено неравенство ~х„- 1~ < е (г. — произвольное положительное число)? Найти М, если: а) в = 0,1; б) в = 0,01: в) е = 0,001, 168. Доказать, что 1пп х --4, 2 х — 2 подобрать для заданного положительного числа в какое-ниложительное число о, чтобы из неравенства ~х — 2~ < о $3. Пределы следовало неравенство 1пп 1 = 1. 10 31+†3 х г) 0,2; 0,23; 0,233", 0,2333; .... Найти пределы: 171. 11п~ — + — + —,+...+— 1 2 3 и — 1 и и и и (и+ 1)(и+ 2)(а+ 3) Ф оо и 3 7+ „. + (2и - 1) 2и+ 1 и+1 2 175. 1ип ~ ™ 2" +3" 1ип— Р(х) .

®~) 174. 1ип находится непосредственно. Р(х) рекомендуется сократить Один Щх) с 1 1 1 1 -+ — + — +...+ — ° 2 4 3 176. 1ип (х — 2)(х+ 2) 1. х+ 2 х-2 (х-2)(х — 1) -2 х-1 х — Зх+ 2 .3 х — 4х+ 3 х — (а+ 1)х+ о 2 2 2 2 2 17811+2+3++и л оо П,а 195. 1пп 196. 11п1 197. 11п1 180 1 и Я1п в1 2 и +1 179. 1ып (,/и+1 — ./и). 198. 11тп 1 3 х- ~ 1 'х 1 — х3 1х~ — 4~ < е7 Вычислить о„еслю а) е = 0,1; б)е = 0,01; в)е = 0,001.

169. Выяснить точный смысл условных записей: а) 1ип 1д х = -сх»; б) 11п~ 2 =+ос; в) 1ип Д(х) = оо. х +о х +о оо 170. Найти пределы последовательностей: 1 1 1 (-1)"' а) 1т е в ~ ° Ф ~ ~ 1 2 3 4 и 2 4 6 2и б) 1' 3 ' Ь ' '"' 2 — ' '"' 177. 11п1 1--+-- — + ...+ 1 1 1 (-1)" ' 9 27 * Зе — 1 При отыскании предела отношения двух целых многочлеиов относительно х при х -~ со оба члена отношения полезно предварительно разделить на х, где и — наивысшая степень этих многочленов. Аналогичный прием во Многих случаях можно прииенять и для дробей, содержащих иррациональности. 2- — 3+- 4 —— Ып~ (2х — 3)(Зх+ 5)(4х — 6) 1..

х х ° х 2 - 3. 4 11п1 — $ Зх +х — 1 3 8 1. (х+ 1) 186 1 2х — Зх-4 хсо /4 182. оп 187. 11п1 х -1 х- ~о Х+ 2~~ 183. 11п1 188. Ытп х- оо Зх+ 7 .-- 10+ .6 2 184 ] 2Х вЂ” х+ 3 189. 11Щ +1. х-' х'-Зх+Ь х- оо х+1 (2х+ 3) (Зх — 2) 190 1 Б х +б Если Р(х) и Щх) — целые многочлепы и Р(а) а 0 или (Ка) ~ О„то предел рациональной дроби 11п1 2 х -Зх+2 2 3 191. 1йп х +1 192 Г х'-бх+10 х -25 193. 1пп ' ""~ х +Зх+2 2 194 1* х — 2х х -4х+4 ,2 Гл((ве 1. ВВКДЕНИЕ В АНАЛИЗ 217. Ихп 2 О 218, 1пп 230. 11ш 231. 11п1 201.

11ш Ч"-~ х 1 4~я И-2з "+1 (х -1) 199. 11ш ./~ -1 х-1 х-1 сов ш х — сов и х 219, оп х-«1 220. 1нп 221. 11гп 222. 11П1 Б1й ЗЯХ и в1й 1 - соях агс31п х х 223 1 соь х — сОБЯ СОЕ— лх 2 1 — /сов х Б1п(х+ Ь) — Б1пх Л О Ь 212. ))т ((х -М~~б — х) Вь(ражения, содержащие иррапиональности, приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной.

Пример 4. Найти Д+х-1 е ЧГ+х — 1 3 2 11п2 Д+х-1 . у — 1 у +~+1 3 = ))т — !1т — = —. х езД+х 1 (( 1у -1 У 1 У+1 Другим приемом нахождения предела от иррационального выражения является перевод иррапиональности из числителя в знаменатель или, наОборот« из знаменателя в числитель.