Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 4

При мер 5. 11п( '-" 1пп ,6- Га х-а . 1 1 !!т — — (а > О), ~-2 х -а --а (х - а)(-Гх+./а) х- ./х+ Га 2./а 6 2 — ./х — 3 !» -2»«6 — !» «2»вЂ” х -49 ) * з х -4х+3 204. 1ип 211. 11па (./х+ а —,5 ). х-В З~х Х -"+<!т 205. оп 2»2. )!т (./х(х + а) — х). '" 26-~ х +!х! 3-Д+х (-4 1-„/5 — х х -«+О!! 207. ))т ~ +» '«». 214. ))т х(./х + ! — х). х О х х +(х! 208, 11 ~'"-~. 2И. 1ип (х+ '5-х').

Л-«О Ь х — «ст 209 1 фх+Ь вЂ” з(х й-о Й При вычислении пределов во многих случаях используется формула 11п) — = 1 и предполагается известным, что 11п( Б1пх = Б1па и 11п1 соах = сова. Пример 6. 1ип — ' = 11(п ~ — 5 = 1 5 = 5. а)п 5х . )' Б1п 5х х — () Х х З х 216. а) 11гп а'и"; б) Ихп в'"х, 229. 11гп СФд 2х с1~ ~"- — х х- 2 Х х — хх! Х 2 О )Х 232.

1пп 233. 1ып 234. 11т 235. 11пт 236. 1ип х-1 237. 11гп х- О 227. а) 1пп хоп —; б) 11п~ хв1п —.240, 11т 1, х-"О х х --~. !'~ Х х-«О 228. 1пп (1 — х)$д "— ". х-«1 2 При нахождении пределов вида 11п( 1(р(х)1')'("~ = С следует ~меть в виду, что: 1) если существуют конечные пределы 11)п (()(х) = А и оп ~г(х) = В, з 4. Бесконечно малые и бесконечно болыине 285.

Катет а прямоугольного треугольника разделен на п равных частей, и на получившихся отрезках построены вписанные прямоугольники Ь (рнс. 8). Определить предел площади образовавшейся ступенчатой Фигуры, если и -+ Оо. 286. Найти постоянные Й и Ь из уравнения 3 1цп йх+ Ь вЂ” " + = О. (1) Рис, 8. х+1, Выяснить геометрический смысл равенства (1). 237", Некоторый химический процесс протекает так, что прирост количества вещества за каждый промежуток времени т нз бесконечной последовательности промежутков (гт, (г + 1)т) (г = О, 1, 2, ...) пропорционален наличному количеству вещества, имеющемуся в начале этого промежутка, и величине промежутка.

Предполагая, что в начальный момент времени количество вещества составляло 9„ определить количество вещества 9, через промежуток времени г, если прирост количества вещества происходит каждую и-ю часть промежутка времени т = — . Найти 9, 1цп 9',"~ . х $4. Бесконечно малые и бесконечно болыние 1'. 8 е с к о н е ч н о м а л ы е. Если 1пп а(х) = 0„ т. е. если ~а(х)~ < е, при 0 < ~х — а~ < Ь(е), то Функция а(х) называется бесконечко малой при х — ~ а.

Аналогично определяетск бесконечно малая а(х) при х — ~ О~. Сумма и произведение ограниченного числа бесконечно малых при х -> а есть также бесконечно малые при х — ~ а. Если а(х) и р(х) — бесконечно малые при х — + а и 1ип — = С, а(х) а р(х) где С вЂ” некоторое число, отличное от нуля, то Функции а(х) и р(х) называются бесконечно малыми одного и того же порядка; если же С = О, то говорят, что Функция а(х) есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с р(х).

Функция а(х) называется бесконечно малой порядка п по сравнению с Функцией Р(х), если 111п а(х) - С, " ф(х)1 где 0 <: ~С~ < +с, 1(т — = 1, а(х) ;-д р(х) о Функции а(х) и р(х) называются равносильными (эквивалентными) бесконечна малыми при х -~ а: а(х) — р(х). Например, при х -~ 0 имеем: з1п х - х; $ф х - х; 1п (1 + х) - х и т. и. Сумма двух бесконечно малых различных порядков равносильна тому из слйгаемых, порядок которого ниже. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если члены отношения заменить равносильными им величинами. В силу этой теоремы при нахождении предела дроби 11~й а(х') х-а ~3(х) ' где а(х) -> 0 и р(х) — ~ 0 при х — > а, в числителе и знаменателе дроби можно откидывать (или добавлять) бесконечно малые высших порядков, подобранные так, чтобы оставшиеся величины были равносильными прежним.

Пример 1, з з зГз 1пп 3 х +2х з~„ 1пп —" ~-з 1п(1+2х) х-э 2х 2 2'. Е ес ко печно большие. Если для любого сколь угодно большого числа Ф существует такое 5(Ю), что при 0 < ~х — а~ < 6(Ф) выполнено неравенство 1ЛхМ > ж то Функция Дх) называется бесконечно болыиой при х -~ а. Аналогично определяется бесконечно болыпая Дх) при х — > ~с.

Подобно тому, как это сделано для бесконечно малых, вводится понятие бесконечно больших различных порядков, 288. Доказать, что функция Д(х) = ~~~~ х является бесконечно малой при х -+ сО. Для каких значений х вы- полнено неравенство ~)'(х)~ < е, если е — произвольное число? Произвести расчет для: а) е = 0,1; б) е = 0,01„в) з = 0„001, 289. Доказать, что функция Дх) = 1 — х 2 Глава ?. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ~ б, Непрерь»вность функций где Л~ -+ 0 О, мсмкно переписать условие (1) так." ?»»»» Л~© = ?»и» (Я~+ Л~) -ЯЦ= О, т. е. Функция Дх) непрерывна В точке с, тог а точке бесконечно ке тогда и только тогда, когда в это" но малому приращению арг мента и малое приращение ф функции.

у а соответствует бесконечно Если ф функция непрерывна в каждой точке ла, сегмента и ..) й точке некоторой области (интерви т. и.), то она называется нел е ваПример 1 ° Д РЕРсваВНОМ В ЭШОЙ О6ЛОСти. р . Доказать, чте Функция у а?п х непрерывна для любого аргумента х. Р е»цен не. Имеем 1 зш Ьх 2 ?? =1 ~со.~х+Ы ~1 2 Д+О) = ?»и» — +1в 81ЙХ х-!О то при л»обом х и~е~м ~(-О) - ??ж з»пх р--О Х ?? р и и е р 4.

Функция у - Е(х), где Е(х) обозначает целую часть числа х (т. е. Е(х) есть целое число, удовлетворяющее равенству х Е(х) + д, где О 4' д < Ц, разрывна (рис. 10, 6) в каждой целочисленной точке: х = О, +1, ~:2, ..., причем все точки разрыва 1-го рода. В самом деле, если я — целое, то Е(п — О) и — 1 и Е(п + О) = и. Во всех остальных точках эта Функция, очевидно, непрерывна. Точки разрыва Функции, не являющиеся точками разрыва 1-го рада, называются точками разрыва 3-го рода.

К точкам разрыва 2-го рода относятся также точки бесконечноео разлива, т. е. такие точки хо, для которых хотя бы один из односторонних пределов Мо О) или йхо+ О) равен '(см. пример 2). Пример 5. Функция у =сов — (рис. 10, в) вточкех=Оимеетразрыв 2-го рода, так как здесь не существуют оба односторонних предела: ?»и» соз- и ??п» созй Я .р- -О Х .а- +О Х Л =в? зп»вЂ” Лх у = а?п (х + Лх) — в?п х 2 з»п — сов х+ — ~ сов х+ 'Гак как 1ип Лу = О. вх 0 С ., Фу ц я в?пх непрерывна при — оО < х <+х>.

Следовательно, ф нк ия з? ТОЧКИ РаЗРЫВа ФУНКЦИИ. ?ОВОРЯтвЧтоф НК ИЯ разрыв непрерывности при значен , что функция ~(х) тераит области определения Ф значении х хо(или вточкех ), и ин л О, р адлсжащем если в этой точке на НИЯ УНКЦИИ ИЛИ ЯВЛЯЮ ИМС щ я граничным для этой области, ке нару»лается условие непрерывности ф ти функции, ц ривар р. 'руссика,ав1 а 1 срис. 10, а) раарывиа ири в = 1. Эта Ф Функция не определена в точке х = 1, и как бы мы Л1) Ч Г б Если ч кция (х) не удет непрерывной при х 1. сли для Функции Дх) с е ч,~р )»щ ствуют конечн ые пределы ?Ьп Дх) )(хо — О) и 1»п» Дх) = Дхо + О), х-х,+о причем не все три числа Дх ), х о). Лхо О) йхо + О) равны между собой, то х назыВается точкой разрыва 1-8 Од .

В СО ОИ тО ТО -го р а. частности, если '(ХО О) а(ХО + О)' то х, называется устранимой точк О»а РОЗРИВЯ. очке ХО необходимо и Для непрерывности функции Дх) В точ .. б Функция дх) з»пх имеет разрыв 1-го рода при х !зсмк В самом деле, здесь С в о й с т в а н е и р е р ы в н ы х Ф у и к ц и й. При исследовании и на непрерывность нужно иметь в виду следующие теоремы: мма и произведение ограниченного числа Функций, непрерывных в юй области„есть функция, непрерывная в этой же области; ф 5. Непрерывность Функций 324, у ~: 1п (я "~, 325. у агс$а 1 326. у = (1+ х)агс$д 1 1-х 1 327. у = е"''. 320.у- ', 1х1 ' 321.

а)у=з1п";б)у-хзш х' х 322. у = 81пх 1+с 330 х п1эи х ««3, ° у = 2х + 1 при х > 3. Построиты рафик этой функции. 323 у 1п (сов х) 2) частное ет деления двух непрерывных в некоторой области функций есть непрерывная функци~ при всех значениях аргумента нз этой области, не обращыощих делитель в нуль; 3) если функция Дх) непрерывна в интервале (а, Ь), причем множество ' ее значений содержится ъ интервале (А, В), и функция фх) непрерывна в ' интервале (А, В), то сложная функция ф~(х)1 непрерывна в интервале (а, Ь).

Функция ~(х), непрерывная на отрезке [а, Ь1, обладает следующими свойствами; 1) ~(х) ограничена на (а, Ь), т. е. существует некоторое осло М *акое,,: что ~Дх)~ < М при а < х ~ Ь; 2) Дх) имеет на 1а, Ь1 наименьшее и наибольшее значения; 3) Дх) принимает все промежуточные значения между двумя даннымн, т.

е. если ~(а) = А и ~(р) В (а < а < р < Ь) и А м В, то, каково бы ни было число С„заключенное между числами А и В, найдется по меньшей мере одно значение х = у (а «у < р) такое, что Ду) ~ С. В частности, если Да)~(р) < О, то уравнение Ях) =О имеет в интервале (а, р) по меньшей мере один вещественный корень.

3 304. Показать, что функция у = х непрерывна при любом значении аргумента х. 305. Доказать, что целая рациональная Функция Р(х) = азх + а,х + ... + а„ непрерывна при любом значении х. 306. Доказать, что дробная рациональная Функция В й-1 аох +а,х +...+а, ж м-1 Ьвх + Ь1х + ... + Ь непрерывна для всех значений х, за исключением тех, которые обращают знаменатель ее в нуль.

307*. Доказать, что Функция у = ./х непрерывна при х > О. 308. Доказать, что если функция ~(х) непрерывна и неотрицательна в интервале (а, Ь), то Функция Г(х) = ,фх) также непрерывна в этом интервале. 309'. Доказагь, что Функция у = сов х непрерывна при любом х. 310. Для каких значений х непрерывны Функции: а) 1дх и б) сна х? 311в'.