Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 2

Для наглядности часть задач иллюстрируется чертежами. Сборник сложился в результате многолетнего преподавания авторами высшей математики в высших технических учебных заведениях г. Москвы, В нем кроме оригинальных задач и примеров помещены общеизвестные задачи. Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ $1, Понятие Функции 1'. Действительные числа. Числа рациональные к кррацнОнзльвые носят название действительных клк вещественных чисел. Пад абсол)атмай величиной действительного числа а понимается неотрицательное число ~а~, Определяемае условкямк: 1а~ а, если а > О, и ~а~ — а, если а < О.

Для любых вещественных чисел а и Ь справедливо неравенство ~а + Ь| < ~а~ + 1Ь!, *) 2'. Определение функ цик. Если каждому значению переменной величины х, принадлежащему некоторой совокупиостк (множеству) Ж, сООтветствует одно и только Одио конечное значение величины у, то у называется 4уммцией (Однозначной) От х илк зависимай неремеммой, Определенной ка миожвстве Е; х называется аргументом нлн независимой леремеммай. ТО Обстоятельство, что у есть Функция От х, кратко выражают записью: у = ~(х) илк у = 7(х) к т.

и, Если каждаму зиаченкю х, принадлежащему некоторому множеству Ж, соответствует одно кли вескалько значений переменной величины у, то у называется многозначной фуммцией От х, Определенной ка множестве Ж. В дальпейшем под слОВОм «функция» мы будем понимать толькО О д н О- з н а ч н ые функции, если явно ве оговорено противное. 3, Область существа вав к я функция. Совокупность значений х, для которых дакпзя функция определена, называется областью существования клк Областью Определения этой функции.

И простейп)кх случаях область существования функции представляет собой; клк Отрезам (сегмент) (а; Ь1„т. е. множество вещественных чисел х, удОвлетворяющих неравенствам а - 'х < Ь; или промежутам (интервал) (а ь), т, е, множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь. Но возможна и более сложная структура Области существовввкя функции (см., ввнркмер, задачу 21). П р к м е р 1.

Определить Область существования функции 1 ° Ф Р е ш е н и е. Функция Определена„если х .-1>О, г. ч и далю)ейшем вее раеематриваемые значения величин будут предполагатьея ве~цеетвеннь)ми, если явно ие ОГОвореиО иретивнОе, Глана 1, ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ $1. Понятие Функции 24~. Доказать, что всякую Функцию ~(х), определенную в интервале -1 < х < 1, можно представить в виде суммы четнои и нечетной функций. 25.

Доказать, что произвеДение Двух четных функций или Двух нечетных Функций есть Функция четная, а произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная. 26. Функция Ях) называется периодической, если существует положительное число «' (иериод Функции) такое, что Дх + Т) =- Дх) для всех значений х, принадлежащих области существования Функции ~(х). Определить, какие из перечисленных ниже функций являются периодическими, и для периодических функций найти наименьший их период 7'.

а)ЯХ) = 10з1пЗХ; г) Ях) = з(п х; б) ~(Х) - аа1П АХ + ЬСОЗ АХ; д) Йх) = з1п ( Й). в) 1(х) = Я~ х; 27. Выразить длину отрезка у = М«У и площадь 8 Фигуры АМЮ как Функции от х АМ (рис, 1). Построить графики этих функций. Рис. 1. 28, Линейная плотность (т. е. масса единицы длины) стержня АВ = ~(рис.2) научасткахАС ~1, С0 = ~ нов ~, Р1 + ~2+ ~з = И) равна соответственно д1, дз, д . Выразить массу т переменного отрезка АМ = х этого стержня как функцию от х. Посгроить график этой функции.

29. Найти «р~«р(хЦ и ~фр(х)1, если «р(х) х и «р(х) = 2 . 30. Найти И ~Д(х)3, если ~(х) =— 31. Найти 1'(х + 1), если Ях — 1) х2, 32, Пусть |(и) есть сумма л членов арифметической прогрессии, Показать, что 1'(и+3) — 3~(п + 2) + 3~(а + 1) — Я(а) = О. 33.

Показать, что если 1'(х) = йх + Ь и числа х1, х2, хз образуют арифметическую прОгрессию, то числа 1'(х,), ~(х ), 1'(хз) также образуют арифметическую прогрессию, 34. Доказать, что если 1(х) есть показательная Функция„т. е. Ях) а (а > О), и числа х,, х, хз образуют арифметическую прогрессию, то числа 1(х ), «(х ) и Дх ) образуют геометрическую прогрессию. Зб. Пусть 1(х) = ~К 1 — х ! Показать, что ««т + ю - (-,*-;"Щ. Зн Пусть «р(х) = 1(а" + а "') и «р(х) = 1(а' — а '), Показать, что 2 «р(х + у) «р(х)«р(у) + «р(х)«р(у) и «р(х + у) = «р(х)«р(у) + «р(у)фх). 37. Найти 1".(-1), ДО), Д1), если агсз1пхпри-1< х<0, агс$д х при О < х < +оо, 38. Определить корни (нули) области положительности и области отрицательности функции у, если: а)у= 1+х; г)у = х — Зх; 2 2х б)у=2+х — х; д) у 1К вЂ” ° 1+х в)у 1 — х+х; 39.

Для функции у найти обратную, если: а)у =2х+3; ) у 1 х б)у= х — 1; д)у = агс1аЗХ, .)д= К-.': В каких областях будут определены эти обратные Функции? 40. Для Функции ~ х, если х "-: О, ~х,еслнх>0, г) у агсз1п -3 найти обратную. 41.

Данные функции записать в виде цепи равенств, каждое звено которой содержит простейшую элементарную Функцию (степенную, показательную, тригонометрическую и т. п,): а) у = (2х — 5) в) у = 1д ~~ -"; $2. ГраФики злементарных Функций Построить графики (параболы)' 2 47. у ах, если а =1,2, —,-1,-2,0, 2 второй: 59.у = 60.у- "—,. х+2 Построить графики 63.у = х+ —. 1 х у = Б1п х-'-, ф,1 65Ф у= 2 х 66.у= ' 3 х' 42. Сложные функции, заданные цепью равенств, записать в виде одного равенства: 2 а-)у= и б) у = агс(.я и, и = ./о, о = 1я х; ~ 2и, если и < О, ~О, еслии >О; 43. Записать в явном виде функции у, заданные уравнениями: а) х — агссов у = я; б) 10" + 10" = 10; в) х + ~у~ = 2у.

Найти области определения данных неявных функций. $2. Графики элементарных функций Построение графиков Функций у = ~(х) в основном производится путем наметки достаточно густой сетки точек М',.(х., у,), где у,. = Дх,,) (1 = О, 1, 2, ...), и соединения последних некоторой линией, характер которой учитывает положение промежуточных точек, П~~троен~е ~рафик~~ облегчае~ знакомство с графиками основных элементарных функций (см, приложение У1). Исходя из графика у- Дх), (Г) с пОИОщью прОстых геометрических по- строениЙ получаем графики Функций: 1) у = — )'(х) — зеркальное отображение графика Г Относительно оси ОУ; 2) ут - Я вЂ” х) — зеркальное отображение графика Г относительно оси Рис, 3, ОУ", 3) у, = Ях — а) — график Г, смещенный Вдоль Оси ОХ на Величину а; 4) у4 = Ь+ Дх) — график Г, смеЩенный ВДОЛЬ оси ОУ на величину Ь (рис, 3), П р и и е р.

Построить график функции Р е п1 е и и е. Искомал линна есть синусОида у = з(п х„сдвинутан вдоль оси ОЖ вправо иа величину — (рис, 4), н Цостроиты рафики линейных функций (прямые ликии): 44. у = Фх, если Й = О, 1, 2, —, -1, — 2, 1 45.

у = х + Ь, если Ь = О, 1, 2, — 1, -2. 46.у = 1,бх+ 2. целых рациональных функций 2-й степени 48. у = х + с, если с = О, 1, 2, — 1. 2 49, у = (х — хо), если х, = О, 1, 2, — 1. 50, у = уо + (х — 1), если у„= О, 1„2, -1. 51*. у = ах + Ьх + с, если: 2 1)а=1,Ь= — 2,С=3; 2) а — 2, Ь = 6, с = О. 52. у 2+ х — х . Найти точки пересечения этой параболы с осью ОХ. Построить графики целых рациональных функций степ~ни выше 53+. у х (кубическая парабола).

56, у = х . 3 54. у=2+(х — 1). 57. у = 2х — х . з 55. у = х — Зх + 2. Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы): 58'". у 61" у=у + — если хо 1 уо= Х х-х дробных рациональных функций: 67*. у = — „(локон Акьези). х +1 1 70. у = х + — (трезубец Ньютона). 14 Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ $2, ГраФики элементарных Функций Построить графики иррациональных функций: 71'".у = /х. 72.

у.= Чх. 73а. у = 4х (парабола Нейе). 74. у = +Х,Гх (аолукубимская парабола). 75+. у = +- 25-х (эллипс). — 3 б 76» у = + х — 1 (8ипе~эбола). 2 77.у = 1 — х 78"'. у = +х —" (циссоида Диоклеса). 4-х 79. у +хХ2~-х . Построить графики тригонометрических функций; 80:". у з(п х, 83а, у =: С$ф'х. 81»'. у = соз х. 84а. у = зес х.

82а'. у = $$ х. 85"'. у = созес х. 86. у = А з1п х, если А = 1, 10, —, -2. ' 2' 87"', у В1п пх, если и = 1, 2, 3, —. 1 88. у = В(п (х — «р), если ср = О, ~ „— ~, к, — ~. '2" 2' 4 89'". у = 5В1п(2Х вЂ” 3). 90, у = а з1п х + ь соз х, если а ~ 6, Ь ~ -8. 91. д = з1п х + соз х. 96. у = 1 — 2соз х. 92'*, у = соз х, 2 97. у З1П Х вЂ” — з1п Зх. 1 3 93"'. у = Х + з1П Х, 98. у = соз х + — соз 2х, 1 2 94+.

у = х з1п х. 99". у соз "-, х 95.у=$а х. 2 100. у =+Яах. Построить графики показательных и логарифмических функций: 101. у = а', если а = 2, —, е (е 2,718...) . ' 2' 102"'. у = )од, х,если а 1О, 2, -, е. 1 х -х 104'"" у = сЬх ГДе сЬх = — (е + е ) 105 ° у = сЬ х, ГДе $Ь х = —, зЬ х сЬ х 114, у = 1~(-х). 115. у = 1оа'. (1+ х). 116. у 1а (соа х).