Гиперзвуковая аэродинамика идеального газа (Баранцев Р.Г., 1983 - Гиперзвуковая аэродинамика идеального газа), страница 7

(4) В драмой задаче 'ф~,) неизвестна, но задана форза тела,фагурврующзя в равенстве (1.9) . Решая уравнение (1.14) относительно Б('5) и подставляя результат в (1.9), о учетом (1.11)- (1.13) в (1.3) получаем уравнение заде СР~Й,Е (",(") =0 (1. ) Таким образом, в нечестна пати требуемых уравнений длз пяти фуажпай, зависящих от продольыой координаты, использованы граанчаые уолоннз (1.6)-(1.8), соотношение (1.9) и урзнненне (1,1) в сечении гт ~ О.

Вта система свелась к одному обыкновенному дифферевнваяьному уравнению второго порядке для ГЯ), Теперь аужао поотззить надлежзщве граничные условия длз решаывя уравнения (1.15). В точке У, О прв отошедшей ударной волне змеем ь' ~ О, о' О. Но этого недостаточно для однозначного решения уравнения (1.15), так как оно содержит неопределенный параметр ~(0). Вроне того, можно показать, что точке х,' О янняется оообой точкой уравнения ( 1.15) и требуетон еще одно дополнительное условие. 56 те, воспользуемсз, прежде гоего.

граничннми услонаями не уда- рввй волне. Из (1.7) и (1.8) змеем Источником постановки залаяв длл б(ы,.) слукит исходная постановка задачи для ~'-('г,х), Однако в ней уоловия (1.5)- (1.9) полностью использоваам, в (1сй) автоматически выполняется в силу (1.11)-(1.13). Неиспользованным оотается уравнение (1.1] вне ударной полны.

Следонательно, дополяительныв условия для решенгя уреззения (1.15) мокно черпать только из ураэнвния (1.1) при пг О. Где ставить оти условия - вопрос принципиальный, або для достяхвния улоэлетаорчтсльной точности необходимо сохранять основные качественные свойства искомого решения. Одним из сушестввнных свойств точного решения яьляется взвимозанисимооть его ао всех точках области влияния Х2 . Ноатому для ураннения ( 1.15) еотестиенной булат не задача Коши, а такая граничная задача, решение которой н каппой точке долано зависеть от поведения функции у на псе« антерэале н области нлияния.Иными слонами, по«кюо условий э точке у.

= 0 долкны быть еще условия, сбеспечизаюлие обратное элэяаив треьсзвуковой зоны ла область тормокеная. Такие услоэпя мохко полу ить, записывая уравнение (1.1) в точках трзасзвукоаой зоны или интегрируя его по поперечным сечениям отой зоны или даше по всей области С2,„ . Выбирать из мнсхостэс возмскяых варкантсэ прпходится а на этом , эгэершаюше~ этапе вппрокслчационной постановка задача. На первый взгляд кэл.ется парадоксальным, что уравнения аппрокскмацаокной задачи получаются аз граничных условий исходной задачи, а гран: чны.

)словил — яз уравнений, С другой стор ч, анзчс было бь неясно, откуда брать условия в трансзвукочой зоне для аппроксямациоккых уравнений, так как л исходной псстапсэке зэдгчз эта сторона области свободна от гранпчных условий. Всо зтк аопрооы разрешаются при анализе поотачг:ки задачг на аппроксамацлонном уровне, Существует много различных попыток прибликенного аналитического рсшенгя рассматрээеемой задачи методом представлений. В (5) псгользуется линеЛная аппроксгмацкз плотности и скорости по незазксимой переменной ).

, в (7,131 - разложение по степеням 6 , а (91 — разлохекив пс степеням кэвдрата с~пупа гллярного угла, отсчитываемого от оси симметрия. Сас- тема обыкновенных дибференцианьных уравнений замыкается с по мошьв дополнительных аппроксимаций. В некоторых случаях удалось получить аналиткчесиое решение, однако гоатановке залечи на зппроксимационном уровне н работах этого направления уделалось недостаточно внимания. т 2. Поперечная линеараэация функции тока Исследуем возмсаности зналиткческого решения задачи в олучае линейной аппроксимации функции тока по поперечной координате ~1) )'(о м) = 4.~з) у ('з),) (2.1) Функции э';('з) и "Ф;(х) определим из условий (1.7), ( 1.8) в виде (1.11) .

(1.12). Вместо (1.14) из условии (1.Б) кме м (2.2) )",(и) ч„('г) с(к) = О Отсюда с учетом (1.11) и (1.12) аслучзеы (2.3) Подставляя ато выраиение в (1,9), приходим и дифференциальному уравнении первого порядка длв Йыз): (2.4) где Длл тел с отошедшей ударной волной вз (2.3) вли (2.4) прв П () вытекает простое равенство (2.6) которое оаначает, что отношение отхода ударной волны к радиусу ее кривизны в восае рвано конотанте (2Л).

Любопытно такая,что ВВ ЛЗВЗЯ Чяотз УРЭВНЯЯаа (2.4), ЗИ~НСЛЯВМЗЯ З тОЧНЗ Уз, ОПРЗ- деляэтся знзчзназм Г з точно, сдвинутой вниз нз нелнчнгу а„ У . Рзвзнотвз (2.3) н (2.4) допускзют простуш гзометрическуя нптзрвретзцвш. Онн прэдстнвляшт собой злементнрннв ооотноазвая мзнду сторовамн прямоугольного трзугольникз с варшиннмн ю~~х (ЕО4) н~~ (у(~-я„ц),~ -~„ц), (' г ~з„), т -и„ У, ) , Суть нппроковмзцаа гзомзтрнчзскв внршзеетоя в том, что нормаль к ударной волнз достигнет а нтура тзлз в точке с ордвнвтой ,Уу = (.У- Р,,) У (2.7) Перепашем уравнение (2.4) з звдэ (2.8) Прн выводе его нспользоззны только условия (1.6)-(1.9) н оовершзнно пз нсвсльзовавс гзмо урэзнзннз ( 1.1), кстороз оотззтся здннстленним нсточником граничных условна для урзвненка (2 8) .

1отл это уравнения первого порядкз„ очзвндных условна Г(п)= О . 4Уб) О нздоствточво для однозвзчвого поотрозння раненая, таа ааа атаров условна вры ~((рзь О внтзкззт аз первого в сану урзвнзяая (2.8), а Р~~ОУ содзрант веопредзлзыянй параметр у(0) . Требузмое дополвнтзльноз условна моннэ вввлэнзть из урзвнення (1.1) во-рвзыоиу. В выборе зго снова проявлязтсв естественный для метода проаввои.

Сохраняя зллкптачэонаа харнзтзр зздячк, пулью отввнть дополннтзльнсз узловая а трзвсзвуноной облзс а. Простой заразят пслучзэтгч, еслв запасать ураввзназ (1.1) в звуковой точка нэ ударной волвз. Ввздэм с этой цельп вектор (2.9) Из (1.4) с учэтсм (1.4.8) нмзэм с~ у р,(э) р) 'дя (2.10) (2 11) е о~э,)уф яд) гьч Фуикпэя )„!~) определяется с помощьв (1.2,6), (1.3), (1.7) в ниле Ии4ференцкруя с по б и по и и дейстзун делез как в $ 1.4, получим ( Д") 'Э~„ Рд д„ (~~~, З1~) (~ ~л (2.13) В ээуковык точках првзея часть этого равенстве обрнщеетса в нуль.

Подставляя в (2.13) вместо Р и Г„ выреяеввя (2.10), (2.П) в пользуясь предстявлеввем (2.1), в звуковой точке не ударной волне неходвм (а.з> Этот результат воино получить и вз уравнения (1.4,16),используя соотнощевае l+ — дя /'.Е'. (2.15) Еонечно, менсимельвуи точность в тренсавукоэои области некиее обеспечить нз теле, чем ва ударной волне, особенно для контуров с взломом. Именно в этом случве удается неписзть костеточво простое дополнительное условие, так кек углозея точке является звуковой, еоли до изломе скорое:ь била доззуковэн. Зная полевение звуковой точки не тела, нетрудно найти угол 9'Е„ той кормели к,ударной волне, которая прих3дит в эту точву. Из (1А) и (2,1) имеем 60 Лейотвительно, прв атом Iр у-с' г ф /р ~,~~ ~з))А( = 0 (2.22) В случае г, ~ 0 у = гиль| в нонтур являетоя пврвболическям. Прв сяО имеем (2.2З) Р' = 0 У + С, ~ = — ~а Ф-~ 0 + С з э т.е.

все оотельные конические печенев. Следоиетельно, уравнение (2.В) легко ивтегрируетоя, когда контурн являптоя криннми второго порядке. Реоомотрим для примере задачу обтекания торна. Пуоть у( фг) = у(('Ц, ~~ 6 ('(7,(/ (2 24) Ревея уревнение (2.6) при уоловив (2.19), получаем еллипо ('Г- ~~О))г г О, ~" = ~ ((7) (2.25) Пвреметр ~(0) определяетоя из условия (2.17) в виде ~.ф) (2.2Б) 0 /1-р) ) Ру При х = 1,4 ~(0)= 0,671 для 9 = О, и -~(0) = 0,47Б для 7) -1. Нв контуре тала кз (2.1о) и (2.25) алеем г - гр Ф Я))4 =(1~У) (л -04) гв ~(Д-Иу)~(0)- Р У ~ (2.27) , Ж-4) Тек квк о; = р,(0) (л — ф ' ) , то отсидя опрелеляетоя завиоимооть ц ~ус) , после чего нвходвтоя р-. з р у~~)я/Г"-л) . На рио.11 показанм кривые ~~я;) г р~()7> 'р, при г' 1 в сревник о точении, взятнми нэ (3) и ь1У.157.

Видно, что еппрокоимвция (2.1) неоколько зевнвеет ь и эенаквет ру . Зля орерн и зллнпооидов соотзатстгуюиее ранение, полученное в 11)' с использованием уолоьия (2.14),нвоборот, зенвиеет 4'(К). Б2 Текам обреэом, поперечник линееркэецаа Функции токе длл многих контуров лает воэмокность получать приплаканное севение э энвлиткчеокой йс1июе. Полее высокэл точиость на том ие уроэне простоты, по-видимому, достииэмэ путем оптимизации вн- Рас.1Х бора на канцон аэ тРех эталон аппроковмеционвой постановка еевича. Пра наборе представлении целесообраапо иопольэоэевь ликерные вора другах гаэ данемачеоких валвчвп, в чеотноств, Функций токе оспрянеаннх течений ~1.9~.' э 3. Метод антеграаьаах соотвэавввй Поланомавльвея епароксюецив неноторих э»лачин по тем алв инна координатам ловит в оонове мароке распространенного методе интегральных сосен»мекай ~2,3~.

Ркосмотрям одну аэ охем этого методе, оправки эьээмнкк ва вост»новку енпрокоамацпонной эклечи и эыелктическаэ эспентв метод». юлярных коорцинатех (Э,в ), овязанынх о ( х °,у ) соотх= — т ж, э=хи,„,д (3.1) .сне уравнений ( 1.2 2) приннвеет вид ,;~,М( ° л,вД Щ~.('~х а)'3=О (3.2) "и 9ф~ ~ Яф~ фхЯ .( Яо ФР и~Эх 2. ух ЭЭ (3.3) Ф, Яр,)- зк, )) ~ ЯГ., 'ЭЕ л Э2 ~ ~'Зн (3.Е) е не ударной волив и;, = ла~Р- — "г ьТыи~О-у~ ' (3.3) М = - осу 9 — секр'сел~о-(~~~ ° Ф в+у у)в) Рис.12 ые1 осд не иривеа о и 9с связаны ссотновеннем сй ~~4-т — = ('г,+У)ф(',()- с)- „—,— . (3.2) (3.10) Контур теле задастое уравнением г = ~;~О), е ударны волне г у~в) ГЯ+Е~д), гле функцинЩ~) ваизвестне(рве.12).