Гиперзвуковая аэродинамика идеального газа (Баранцев Р.Г., 1983 - Гиперзвуковая аэродинамика идеального газа), страница 6

Постзнонке вариационной ээдэчн ля фуекционаяе (5.1) содериит дополнитзльныс ограничения. Фиксированными могут быть диане тела, диаметр, площадь поверхности, объем и т.д. Естественно аадаветь канне-либо дзе нз этих величин, В рассмотренном варианте фектвчесив бызн зэдзнн длине и диаметр.Другие верванты мокко найти в анита (15)', з 6.

Окрестность точки торновення Вблизи точки тормокенвн число Меха мело, н многие докаяьные аосяедсванаа опираются нз уравнения неснимаемой квдкоств. Оценим точность зтвх уревненвй на осевой ланки тскз,определен даваевае торзокеыкя при условии,что Р = Г» Х),4» -Л= — — солзь , Из интеграла Бернулли для неснимаемой кидкооти с учетом (1Л.6) змеем 9=: )." „-),а д ~-~ »-1 Отсшдя з+,3 1 ~ (»+д) (6 Л) При эс = 1.4 /Ъ ъ 0„917, что достаточно близко я точному значсвак » 0,920. С уменьшением д точнооть узехичивзетсв, Пред мекке с постоянстве плотности дает возмсаность пояучить ~ые знвкатаческие решения для таких простейших тев, каь 'о (клан) н сфера (цвлнндр) (0.6). Эти решения могут бь: :подьаоввны врв анализе течение около точки тормокениа, ), форне ноева которых близка к простейшей. Пнй )ешевва о постоянной плотностью для сферы и круговогс цвлюдра.

Прв р союз4 от уравнений (1.1) осташтса гФ 1 ГЬ7= Π— = — — е гэзус (6.3) Ро' Переходя я сферачеоивы виа цаавндрачесннм ноорданетаы,в рассматриваемом озчеван псдонвм Х = — с. сед~ » = г агн О (г,4) уравнзние нврззрыннсста в зтах координатных саотамах виват вад л З ~)г г )+ ~ . 6п (я ~гО) (') р=.у вла Я>Е 1 ~20/~ К вЂ” — — — =о р=о Т Р9 (6.6) 'В)$ ЯК Я з 1 Я,о л грл .э зги ~ /~ г99 (6,6) Васином граничные условия для б, Р~, Г .

Нв контура тала: рг=О > (6.6) На ссн: (6.10) Лопуствм, что форма ударной волин такая ва, квк у тала. Тогда на над соглаоао (2.6) )г уо,у я- = =-'.,„д,. ' Исж',9 к=Е.,~ (6 11) Рзсстоянке О остаатся наазлсстмвз. . удем кокать ревенко для компонент скороста в ваде )Гл = ~®и.~У Л =У(Г)л7ЯЭ, Из (6.5) и (6.6) имссм уФ (6.12) (6.13) Исключая р аз (6.7) в (6.6), получввм г ~У'„~(~~ ~ „1 ) О (6.14) Провкцив уравнения дввкевзя з обовх случаях виглвдят одинаково: р — - р. — У вЂ” -в- = — — -Н-, 'Эу 'Зу т .1 'г (6.7) з ЯХ -т лу9 с )*' 'Эг Грзаачяме условия яаходятоа аз (6.9) и (6.11) з ваде ~(4 = О, ~ И+ Б) = -у, ~ (Й е Ь) = — 2=-1 =" (" )' (6 Ю ууазвеавя (6.16) допускает аростые верные вятегрвди ~"" ~~'= с с = - 4~~-':4', )=1; (6.19) .Р~~-~)' ' Иатеграруя далее, лрв ) ~ 1 о учетом второго а третьего уо- ловвй (Б.Ю вол)чаем е Г -рф)~ ~ Ф-.й~р 4 ~ — -.~~' ~~(У ()()' Б)~ ~з ~ (6.19) Первое вв уоасввй (Б,Ю дает алгебреачеокое уреввеяяе латой овааевв дая $~У) .

Раааа его асамототачеока для мелах с, веввдФ$ м-~ 5' я~— ЛД>-ф,) (6.2С Яйй лз м 1,4 (я> 6) отсзща 9' ~ О,1, в то арама аак точвое авачевве о ф - Х = 0.119. В случае г 0 ва (6.16) после зямеям т = г~у-.() %+у), й ~~ двзучаетоа ууавиеяае Бесселя к" -г~~ -(~+) -')л =О, раваава аоторего о учетом граничных уоловай (6.16) пооле возврававая а В в ~ везет лад Подотавоалв лыразеяяя (Б.ХЗ) в (6.1ч) дает одно ууаваеаае третьего ворядна лля / с'г) ~У Р л,г )' ~-~ ~'У" ' У') = О (6.Ю Г Л А В А В.

Аппроксимация по отдельным координатам Боли заввсимость искомого решении от некоторых перемеикых мелет бить о хорошей точностью предсказана„то имеет смысл свести постановку задачи к отысканию зависимости только от остальннх переменных. Прв этом функции нескольких переменных предстввллютоя через функции от меньшего числа аргументов. и для них получаетоя упрощенная постановка задачи на основе исходной. Принципиальные черты такого подхода знализируютси в з 1 на примере квадратичной аппроксимации функции токе по поперечной коордиаате. Различзютса три этапе: выбор аппроксимации, выбор урзвыенвй для новых функций и выбор граничных условий для этих уравнений.

На кевдом атапа возывкает характерная сктуацвв неединственноотк. При пикейной апароксимации т по поперечной координате ($ 2) задача сводится к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравненвю первого порвдка с одним свободным параметром и двумя граничнвма успениями: на оси в в трансэнуковой зоне. В случае тел, образованных воническимв сечениями, ато уравнение интегрируетоя аналитически. В з 3 излагается иавестный метод интегральных соотношений. Внимание обращается на поотановиу апПРозовмецвонной задачи и аналитические аопекты метода.

Аппроксвмеционный подход обладает определенной гибкостью, но, сукна воамокности, монет поровдать особенкоотв, отсутствовавшие н иоходной постановке задачи. Обратнзв задаче рассметрвнаетса в т 4. Обсуккеетсв метод преодолении некорректности путем выхода в вомплековое пространство при аналитическом задании ударной волны. Приведены некоторые результаты аналитического исследования рядов Тейлора для параболической удзрыой волаы с использованием дробей Паде. э 1. К постановке задвчи Зевисвмость искомых функций от отдельнвх коордвнзт имеет, воооще говоря, рвэдвчнуп степень сложности.

Этот факт служит естественным всточником одного лэ наиболее рзспрострзяенных прнблвэенных ввэдитических методов решения граничных звляч. Прозрвчные связи моделируштся простыми Фуннцвэми в эздзчв сводится и отыскании более сложной ззвисимости от остальных переменных. Текой подход особенно важен в многомерных зедэчвх, где приходитсн решать проблему преэстэвленгн Функций многих переменных через Фуницви от меньшего числе аргументов. Но и в эвдзчех с небольшим числом независимых переменных возможность априорного представление некоторых зависимостей дает значительный зф1шкт. Прнолшкенное решение точыо поставленной зедачи с методологячзсяой точкя зрения целесообразно рассмзтрвветь квк точное решение прибликенно поставленной задачи. Прв атом эппроксиизции дополвяшт те упрощения, которые привели к исходной постзноьке зздвчи, и вместо количественных оценок определншщуш роль вгреет их убедительность, обусловленнвн Физическюю смыслом и внутренним соэерпенством.

Существенно также,что зппроксэмация нносит неоднозначность, и вопрос о ээзершеннссти постановки задачи после упрощенгл нужно решать заяово. Полезно рззличеть три этапе постановки задачи в методе предстсэлений. Прехде всего, выбирается подходящая эппроксимэциэ зэзксвмости искомых фуякциЛ от ыекоторых переменных. КоэфРициенты аппроксимацвонных Формул эзвнснт от остальных переменных, твк что эти Формулы представляют искомые Функции через Функция от меньшего числа аргументов. Второй отапвыбор ургпненкй для представляющих Функций. Дело в том, что произвол, допускаемый при аппроксимзпии, не дает воэкоиноств точно удовлетворить всем условиям исходвоЛ задачи.

Поэтому дейстнэтельно приходитсв внбирэть иэ бесконечного числа вариеятоз. Таков же положение соэдаетсн с грвнкчьыми услоьглмв. Таким образом, на кэкдом этапе имеет место свтузцкя неадлн- отъенноотн, в которой ооычно руководстзувтса принципом мзкаамальвой простоты ва принятом уровне точности.

Рзосмотриы более подробно принципиальные черты тзкогс подхода з двумерной эадече для функции тока 7.. Формулировке задачи в области ~ (см. рис.З) содервит кнаэилинойное уренвевве второго порядка С-7. = () (1 1) и граничные условия вз д , Я , Ь . Введем нзрзду с (,~,У ) систему координат ( Б,п ), свезенную с ударной волной тек,что к- 8(р,) ~лжр'~~,) у= ~ -~илу(ь~)т (1.2) Фз ~~ ~(у) = бр.), л - /й~:7Я ~~, (1.2) Прп етом согласно (1.4.7) А' ~оКц (1-лlК)1ь -ру; ы но, (1,4) где К - радиус кривизны ударной волны. Система координат (З,п ) удобна тем, что н вей наиболее просто запвсывзытса основные граничные услонил. Кроме тсг<„ благодаря гладкости ударной волны танке коорквнаты мсвво использовать и в случае негладких тел.

Правда„вознинавт неко* норме неудобства. обуоловленные нзизвестяоотьв функции уу.р В частности, взданный контур теле описнваетса неизвестной фув й п 8~32 Заказам граничные условна аз оси и вонтуре тела и переменных (ь,и]: Ф= О з=О (1*В) > (1 6) Ва ударной волне нз (1А) в силу (1.2А) имеем ез 7" — м У ось 7' — ' = - — У Мю9'. ~д+ м у ~.фа 3 ФФ -х Так как яз сез О' = лаз; , то после интегрирования первого равеаотва вдоль улерно волны получим не ней следующие граничнме условия: у, п Сз ° д (1.7) ~+у з я(я т' г = О ГЗ)1 (1.8) Связь между функциями т(Ъ ) и Егм мозно устааовить, записывая уравнение контуре тела с учетом соотношеаий ( 1.2): (1.9) 7'(5 и) = 'Ь (х) з ь (Я У3 я 7 (г~ /т (1.10) так,что вместо одной функции от днух переменных будем акать дело с тремя функциями от одной персиянкой. Кроме того, в вадсче остзптса неизвестные функции 7'Гу) и ь(х) .

Конечно, гриняг пгиблпченное представление (1.10),невозможно в точности удсвлетвооить всем условвям поставленной задачи. Следоьательно, существуют различные способы определении функций 7; , ч', Е' путем частичного выполнения этих условий. Уравнение для нкх можно получать каг' из уравнения (1.1),так и из условий (1.5)-(1.9), причем (1.1) порождает бесконечное количество урззь ний по нерезанной 0 ч различных сечениях м = я, (з) , к 0,1,2,..., кли после интегрировения по и с весоы гм , я 0,1,2,...

Из зтой бесконечной совокупности урвав.нтв дсстятг ~но забрать тзгььо пять. Стремясь к просто- 55 Такам образом, постановка задача дла "~Уз,я) включает уравнение (1.1), граничные )словия (1.5)-(1.5) и равенство ( 1.9). Функция у в системе координат, связанной с верииыой ударной волн~, определена с точностьи до алдативной постоянной У-Го) = б(о). Перейдеы к аппроксимациа искомой функции и постановке задачи на саответстгуощем уровне.

Пусть, например, )тз,я) предстанленз в ваде (1.11) (1.12) Если (1.1) записать аа удзрвсн толпе, то получим также ')~' (5) = (,- (,~» с' Р ') (1.13) уравнения (1.11)-(1.13) уже разрешены относлтсльно функций т'; (л) , 1 ~ О, 1, В. В случае обратной задачи, когда т)6) задана, эти три равенства вместе с ( 1.10) вполне определяют -) <з и), е форме тела находится из условия (1.6), прнзодяае- го к квадратному уравнению длл Б(л~: '))'(Я) + )~~('Я) й® ь с ~х)В('л) = (7 (!.