Гиперзвуковая аэродинамика идеального газа (Баранцев Р.Г., 1983 - Гиперзвуковая аэродинамика идеального газа), страница 8

Гренвчные условии ве осв а ве тело инпвонвнютсв в ниде и,=б, О-О; (з.й) Не контуре тела — —, ) = о „р = ~р, й), ь lг х Tо оЭ (3~18) Не ударной волне обтоптав условии (3.8), е вмеото (3.9) имеем Реаенотво (3.10) сохревяетоя. Перейдем я построении витеграаьинх соотношений. Область Яя разобьем на /Ч полос, проводя Ф -1 раваоототоящих по ~ линий « = у;.М = ~ Я)+~ О®> ~ = Ф-"4l "у, '=лЯ",Л) (3.20) Прв 1 1 получается удзрнаа волне. Неявном уравнения (3.14), (3.15) в общем вице ЗД 33 — =А. (3.21) '3,3 '3 « Проинтегрируем (3.21) вдоль произвольного луча Э = соялч.

от теле до катдой из линий « = «хре), внлшчав УдзРаУп волнУ. В реаультате получаем г;„49) 'М Я вЂ” "-А -„5. ФФН+~ 4= "('НФ~' (3 22) Щ ПЯ где Д =Я~д ?,гр)~=,4®, ~ =1,2,...,Ф', В отличие от 9 1, где рассуадевие начинелооь о яппроксамецив, здесь до сих пор все соотаошеная били точннми. Необходимость в аппрокоимапии воанинает в связи с пельш замануть онотему уравнений на уровче функций, зависящих только от Э , Ллн атого Функции 4(,'р «) а Ь(Э х) в (3.22) еппрокошеируштся ннтеряоляцаоаянми волияомами отепена 4/ по ~: фд ~) = -" ы- у ~~)~ ~= — г Ж'~ (3.23) с узлзмв внтерполяцви нз грвняпех полос. КсзФрацленты а ~Ф) путем рзаенвя лвнейяой алгебреичесвой слотеын вырелептся через Д,(9~ , з внтегралы в (3.22) легло берутся.

Ззпзвем еае рзвенстве (3.12) в (3.13) вдоль аевдой аз внутреннвх лапай -~л =и (~,.аю)(т — ' — у, ьЦ о~у, Р (3,24) Д) = Я® г З.З,....К Састемз (3.10), (3.22), (3.24) оолеравт „( .2Л~+Лф)'-.~~~ = 9Ф-1 уравневай для 4Ф -1 Фувяцнй: 8, Ч, бее М», ())) ; 1 2,3,...,)у. Из (3.17) следует, что прв ~ 0 и, = (), +. = о, дэ = У, Ф), 1 - 2,3,... У.(3.26) Нроме того, адесь т"=О, )Я =О.

(3,26) Значения о в )Уе;, с 2,3,...,ДУ, пра Э ~ 0 Ф)взвеотны. В (3.25) ° (3.26) оодеравтоя 34-1 услопнй, тав что длв задача Исав не хватает л/ услозвй, Чтобы сохрвавть вваамоавввоямоать реиенив в облвста «й„ , нуьпо стенать эта уоловва в трзнозвуловой зоне. Резрзазя уревненвя (3.22) отвооатеаьно Производных от неизвестных фувлцай, асано ззпвсеть вх в следуанем вппе:(2,3) ~У4о Е М~ Е Эе П'~ )е (3,27) А, Е;. Яг ' )с = 1 ~ 4 2аЗа ° ° вЛ (3 М) гле Ее, Ет, Еу, Е,', Ое, З регулярные в облеота вытегра роееная пункции от 9 в поповых величав, првчсы м) ~ Ю- сб- решаются э а)ль н окрестности звуковой линии. Для ограниченности производных необходимо потребовать, чтобы в этих точках обрашалвсь в нуль такке Е,, Е„, Е, . Равенство Ет = О является оледстввем Е, = О в О,= 0 , поэтому шееем Ф независимых услонвй Е, = О при В, = О; (3.29) Е. = О при Ю.

- О, с ~ ",3,..., 4 , (3.3О) которыма обычно замыкают постановку аппрокскмацконвой задачи. Точен, где ставятся зти уолокия, оказываются содзккныыи особымл точками тяпа седла. В случае М = 1 остаютоа три неизвестные функции: с . 9', ))лс ) тРв УРавненил: (3.10) в,вла вз (3.22); и тРи гРаничные условия: (3.26) врв Э = О в (3.29) и особой точке. уравнение (3.22) сраикмает зад ~Д4. ф= ~(Ь, Ь,~ .О~В„-В~+ (~~~~А (Е у,ф~У (~~ (3.31; где А=Я$ Рз(ГРМО~ в слрчае(3.14)вМ-ф ~~-Уз)" з(гШльЗ) в случае (3.15).

Найдем Я, , огрзничнвзяоь для простоты круговым контуром, когда х = сеяаС , ~„ = () и произэопная а~~э„ /яЪ появляется только в (3.15) прк диФФеренцированин эыракевия зг ('( и-е )л~~'" х) . Так как то 6 1- )~ Р обрашаетса в нуль в звуковой точке иа я/г теле. Полезно проанализировать метод интегральных соотношений о точек зрения излоиенных з э 1 сообракенпй о неепннстзенностн выбора на трех этапах аппровсимационнсй постановки задечв. Следует отметить, что овачалз здесь пишутся уравнения, а затем пелаетса аппроксимация, В сзязв о зткм аппроксамируются не замп искомые фувкпяв,а образованные аз нвх комплекоы. обо значенвые в (3.2Х) через 4 а Ь ; Провзвол в выборе предста- С влеывй с ходу рзарепзетов в пользу полиномов.

Способ выбора аппроксамврумцих урааненвй, давший название матоку, оставляет некоторую свободу комбвнарованвя слоев в весов пра интегрвровении уразвевяй (3.211, которая тоже ве обсуидаетоа. Граничнме уоловиа ые теле и ударной волне фактичаскв вопользуштса для аоклшчзквя функций у~р, ~~пя, ° '3р и Пе,, 1р, ф Ф,, я Невболее внтересен вопроо о выборе дополнительных условий в транозвуковсй зоне, Еак и в в Х, заточником этих условна являштся не палноотьш иопользованаые уравнения исходной постановки задачи. Однако в методе интегральных соотношений выборе кек будто яе оотается, вбс требование огранкчевнсста гредвентоз однозначно определяет дополнительные уолсвия.Но, вопервых, можно аппроксимировать а разрыввнми функциями. Кроме того.

взк видно иа (2.Х21, ограниченность градвеатсв связана о точным зыполненкем уравнений на звуковой линки,Позтсму если интегральные ооотношенвя отровть путем внтеграрвенаа не по заданным коордянетннм линзам, а по ливням равной онороств, то возможноств выбора расширятся и в нляосе непрерывных фувкцвй. лппрсксиыацвовыая поотановка задачи обладает определенной гибкостьш а даве допусиает оообенноста, отоугствовавшае в асходной постановке задачи. Исследование всзмокноотей как прв выборе аппроксимации, так в при выборе уравнений в граничных условий несбхолвмс для полного повышения опсйств мо дели и отыскеыал оптимальных численных и заалвтпчеоквх вариантов.

узкий взгяяд аа ети 1ещв может породнить оиаптнчесшуш криты ч тапа (ХП1 и тормозить развитие метода. при численной реелазации методе интегральных ооотношеаий ооновные трудвоста связаны о прохожлениам особых точен.В (91 в (4( предложен опособ устранения особенности ве дшХфереашвльных уравнений путем введевва опвциальных перемаванх„ в частности т = зк ('( Н )~"" жх вместо $~ . При шшвз оообеавооть переходит в алгебравчеовпз урзявениа, которые праходвтсн решать попутно, Склейка вх решений дает Л~ уочоикй В трзнсзпуковой вове ° Этот способ иопольаовелсяц ивврвкюр> к (12) ари ревекка задача обтекааия выпуклых а вогнутмх эатупленных тел с угловой звуковой точкой.

Методом ввтегрельных оостношенкй получено большое количество чвсленных результатов (ом.(2, 3, 0.1, 0.8~). Иопользовэлкоь эппрскоамзцвп кэк по поперечаон коордввете, тек к по продольной, е телке по обеим срезу. Например,н (11) однополаовый пг заречный варвввт дополняется аппроксимациями ь' = о, +Н Ф'+ с, ()', ~~,, че тээ е' . Хоровая точность практвческк доствгеетоя прк Ф 3 лля У О а пра Ф ~ 2 для 9 .

1, а в раке задач а прв й) 1. Точность одноволпсного верванта метода ннтегральямх ооотношевкв еотеотвенно выше, чем прв лкнэеркзэцвк функцвн тока, так кэк в (3.23) появляетоя шесть функций от продольной коордкнаты вместо двух в (2.1). Одняко анелкткчеокого ревекка, в стлачые от Э 2, кейта не удаетсв.Не стыке этах вариантов цзлеоообреэно дальнейшее рзэввтае методе в певеках аввлвтаческого решения прнемлемой точноста.

т 4. Обратная задача Постановка обрштасй задача содеравт те ле уревненвя а гранатные уоловыя (1.2.2)-(1.2Л),но в ней ударная волна счатается заданной, а форма тела долкяа определятьоя в ходе решения. С прикладной точки зрения такой подход мокко рэоценввать кек обратный метод ревекка реальных п)шмых задач. Однако обратная задача Представляет антерес н с теоретвческой точки зренвя, поскольку это задача Коши для свотемы уравнений смеванного эллкптпко гааарболвчэского типа. Гранпчные условия (1.2.5) определяют значения всех газодназмнчеонвх велачан на заданной ударной волне, а ураннанка (1.2.2) псвноляшт кейта нормкльаыэ производные.

Если ударная волка задана вналптшчеокой шункцвей, то мокно поотровть ревенве в вада радов Тейэсра, штодвмость которых в аеноторой окрестнсста гвршнтаруэтся теоремой Еошв - Новалевокой. Редвус сходкмоотп определветсв расстоянием до блвкзйпвй оообой точкпю врачам надо рвсоматрввэть не только область '2„,, но к аналитическое ародслкенвэ решения эа ударнуш волну вверх по 70 Еслн сссбев тесне рессслсневэ блнне чем Всвтур те ле, то ОрэХОднтоя Обрэцеться н мвтодем енелвтнчеокого вродолВенве степенных рядсл ° Е сснэлению, точных решенвй тэннм путем доне не нейдено.

л В чнслсыВых метелях, точность ноторнх неведомо Огрвнячевн, существенно нроявляется веустайчвность ввдвчв Коан длл урнннеыыл еллвнтвческсго твлв. Так, в (16) Орн решеывн обратной ЕЕДВЧН С пяуебоЛнчЕонсй уДерной ВОЛНОЙ вэ 11 вес ОЛ Оюлблэ Лое)мотеле в 180 рез, ае 34 нега ове мотне бн рнспроотрвнвться ыэ 8 еяячещвх щэбр. Сущестнует нраснвый метод нреодолеыия неуотойчнноотв,ооЫСНЭЫЫОй ИЕ ВЫХОДЕ В ВСНОЛЕКСЫОЕ НРОСтРеыотно (63.

Рнсомотрлн ВДЕЮ Этого Мэтоде нн ВРнмере еядвчв Еовн для уревненвя Леллвое е с Ьссм — е — О . ,ус~ '3 и (4.1) шле 'Зул (4.6) Еводл номшееноную переменную У У ес'У ° дродоллвм Еуннщнв у в т не вою вомнлзловую нлоонооть, ' М = .'~~ А М с /е А 4 ) ° (4.3) ~ (У, т с У ) = ф, (У, У) + С ~~~Ус У~ ) (4 4) КОЛИ В НРоотуеыстне (Х ° 4', ° У,) бысть СЕЧЕНИЯ У ш ОЕЮС)с тс В Вэх уренненве (4.1) имеет гисерболвчесвнй тнн, л'и я с 0 сьХ сЛУ г (4,6) в эедэчэ Коши решветсв норрентно. Зэотровв Все ВРоотревство тенями сечениями, получвм В честяоотв решение В в юлооноотн О. Одеево столь летное превращение ввуотойчввой аедечи н уотсйчняую выенвеет нремольный вопрсо - ыо оущеогву лл тогдв неэнореэтвооть в постановке чедвчв (4.1), (4.И), ианеотнмй пример Адемвре убеадвет в существенности етого свойстве.