Гиперзвуковая аэродинамика идеального газа (Баранцев Р.Г., 1983 - Гиперзвуковая аэродинамика идеального газа), страница 3

Здесь.какдая точке влияет не вое остальные. Построение решения в етой области нвляетсв наиболее трудной частью задаче. Однако с яев првходктся начинать. Сверхзвуковое продолжение потоке молью отроить послойно методом хэрэктериотвк [ЗД Сформулируем предельную постеновну задачи в Я в двумерном случае плоской или ооевой оимметрии (рио.З).Нужно ыэйтв решение оистемы уравнений — ~уу„,у)» — „~рК 9)=(.) ('к = 0 1), (2.2) х -)Х )з», удовлетворявшее следушшвм гренгчным уоловвям: ~Г„() (х л)~ 3; = О !хл)~„4 (2.2) (2.4) л Р - ~ =.( — — с« ~', ~- ~ ьгз~сет~ 1 к„/.,з —;„у (2 5) ,с = ~ С ~'У,'Х,у,'Е Я Ч-.Х (я Р.) Если в сверхзвуковой части .й особенностей ыет, других уолозгд не требуется.

С математической точки У зрения задача (2.2)-(2.5) Ьле С есть креевая аадача для ско- л темы вазилвнейннх уравнений в частных производных смешан- ы ного зллипткко-гигерболичес- Р кого типа со свободной грани- Я пей. Нелинейность, смешанный Рис.З тип и неаззестность границы основныс компоненты слокности атой задачи. Отсутствие условвй на предельной характеристике (: , физически понятное, является типичным для смешанных краевых задач трансзвуковой газодинамики 11). Сверхзвуковая часть области ~~ выглядит по-разному в 15 з 3. Головная удернея волна Исследуем граничные условия (1.6) ые головной ударной волне, зеписыввя их в плосиоотв (Р,,я) в вида — — — [' 7 чУ ) 2 -В )з м-ч1 зс -~-с (3.1) (3.2) )у = ~ ипРс х'Р— — 17У с'7" У мч.у зсч1 м (З.с) 2 л л у (3 ° 4) Последние одигеемые прв больных Я являптся малыми поправками и предельным граничным условиям (2.5).

Яля нормальной и иасатедьвой компонент скорости имеем е = У' сеьт'- 'У хсясст -~=-~- сссю9сч -мс- =,лу (3.5) сс с У зс ей ссз ссс с'с, (3.6) Вычисляя величину окорости с точностью до ()(М ), получим 16 зависимости от формы тела [0.7, 0.61. Общяя точка знуновол линни и предельной херектеристикн монет находиться: 1) на ударной волне, 2) внутри потока, 3) на теле. С рос~он с"7 эте точка двинется по направление к телу, При больших )с( и плоском случее реализуется нторой тнп течения; з осеснмыетрнчном, как правило, — третий (см. рис.З).

Основные результаты исследований формы 12 при нсех Я ч 1 подернется в [2,41. Численный ансперныент поизвел, что в сверхзвуковой части ь,с могут появляться вторичные свечки уплотнения. С анелнтичесиой точки зрения атот вопрос исследуется н реботех [2,71, Нейдем звуковую точку 5„ на ударной волне. Величине критической снорости О„ в принятых безразмерных единицах монет быть определена вз интеграла Бернулли )3 ) в' а, а„м,1 — — = полай = —" — ' = =.

м= ЛУ (3.8) ы — 1 ~ з х Г Отсюда Л лая (3.9) приранвивая зыракения (3.7) и (3 лу), получаем то значение угла Ч' = 9'„, при котором за головыой уларной волной достигаетсв звуковаа скорость, .', = — "'- — '- Лу'-О Л7 ). (3.10) с" м Исключив из (3.2), (3.3) угол 'Р, найдем ударную попару, связывапвую компоненты скорости ве годовной ударнсл волной (3 ): Ркс.4 1? для Л." = ос, зс = 1,4 имеем сивость ~Л от зс при ЛУ Полокение звуковой точки на головной ударной полне зависит от йюрмы тела, но угол наклона ~» вполне определяется параыетрамн зс и Л(„.

у"ол поворота потока ь определяется вз соотноыенгя 1ту = ~~~~~„. В предельном случае — . (3.П) х~я29' к — сел ~Ф' сез(' = /б/7 и 9,' = 22с13'. Зави- 5 и Лу = с с показана на рис.4. Таким образом, в гвперзвуковой азродинамнке ударная поляра с точноотьв до 0 (м ~) являетсн онрукностьв. Па рвс.4 изобрзкенв ударам поляра прв Я = о . Лвнкение вдоль ударной волан соответствует з плосксстй годограФа перемещению ндоль поляри, Прв давлении от неравны ~Г и И; монотонно возрастают, а у и , каи виино на рис.5, проходят через максимальные значении ~„, = у Я„) ° ~» = У (т") .

С помоиьп (3.12] полу- чаем — () у —,с М '+ () (лу ')) (3,13) ~~и ~с..м~и зе (х ~У~а ('оь)7 (3,14) оо, х 1,4 имеем яъ у , 5/7 в у„ ~ 45о35'. Зависимость у от л прв л) = 5 и М = ао показана аа рас.4. Значениа О" определяется аз раиенства з '~Р ) ~ — ь як~' Согласно (3.15) и(3.16), Рис,б л(е (л «:~ /ч ~ („) ('Ф~,) ~ б, (3.16) Сладоватедьно, точна мекоимадьвого понорота потока при конеч- вых гУ находится в дозвуковой областа, а пра /Ч - слввается сс звуковой точкой.

Зввчеыае ~' определяется аз равенства б('р') „в,ф., у) Ф сеьр". = =. /у (3,17) Эта точна авходзтся обвчяо вве области Я Иытересыо проследвть, что провсходат, котле часло мрректввных степеней свободы увеличивается к м - 1. Еен'ванно вз (3.1), (3.4), (3.9), (3.7), (3.10), (3.14). (3.19), прв етом .)'- Р'-' '7', ~ - "..

— ~.Ь~' ), лв'7' О.'М ) с 5 ('„— ~- Я ч б~~М,) (Э.уй) > 5Ь~ -~~-Я .>0(/~~~~: Сея ~~-~ 1 — Ю~ ~-О~'~~) В чаотвоств, для ру ~ю прв;е -~ е Р-, '„'-(, ~--О У ---й,~„-О, (3.19) Эт» соотвовенкя послутят фундаментом теоркз тонкого ударного олов. Наряду с велвчанемв, зеввсяшвмк от угла наклона ~ ,предстевляют вктерес тезке векоторые свойстве головной ударной полны, связанные с ее крвввзаой. В работе (3) не ударной волне, кясые 3„, выделяются точка К , где крыевзне ланка токе равна нулю, а точка 0:, в котоРой обращается в нуль градиент сксроств, Ло точка К ланка тоав на выпуклой ударной волне являются вогвутымк, после нее — выпуклымн. В плоском случае зта точка дозвуковая н о ростом /~ првблккеетсе к 5», в осесаеметрнчном случае она, вообае говоря, сверхзвуковая а с ростом М отделяется от Я„ .

В точке (~- нзолывнв основных газодвнвмаческвх величав вмеют одавеконый угол наклоне, скорость и. вей всегда меньве, чем в К . 0тыоаенке крвввзнн лакан тока к кривизне выпуклой ударной волны в плоском случае с ростом угла прв любом М убывает от нуля до отрапетельного минимуме, 19 затем увеаичнзается. В з~уковой точке отношение кривизн с ростом г7 увеличвзеетоя до максимуме, затем асвмптотачески убывает до нуля. Выпуклость ыачального участке головной ударной волны перел выпуклым профилем строго доказана попе только для огреывченных И !83 пра условии, что уцернвя волна глацкая и грэавпа дозвуковой обдаств не содеркит вторичных скачков упдотнения. Кроме того, предполагается, что в случае гладкого профиля критичеокая точка единственна, е в случае заостренного прсфкла обтевавве провсходит с присоединенной ударной волной. Оощие формулы для производных гэзоцинемнческнх величин эа головыой ударной полной о взвой зависимостью от Ь( и главных арввизы поверхности раврыве получены в 1Ь) .

Для определения формы сверхзвуковой чести области <Л„ имеет значение угол 3' меиду звуковой линией н вектором скорости нз ударной волые. Прв большых Й этот угол, как правило,остры(Ь Подробные сведение о з длв плоских и ссеовазтричных течений мокно найти в (0.8) в '(2). ч 4. Уравнения и функпвя токе Уравнения гезщцинемвки ( 1.1) ые оодерзат явно параметре М,,, в предельваа постановке задачи в области ь '„ не вносит упрощений в етв ураваенва. Энтропвя аа криволинейной ударной волне мевлетоя существенно, теа что тачанке в общеы одучае вихревое.

Иззвтрапичеокве еппроясвмецвв вовмокны при обтекании ве- СстраывНХ тед а МЕЛОй арыВИВВОй, ЛибО Вдэцв От тЕда, Гдэ кравиана в ввтеноввнооть овечка утаоают. Однако, поовольку энтельпвя ва овечее не рветон и набегающий поток равномерный, то во всем течении имеет место интеграл Бернулли (3.8) (Э). Это ксначыое соотношение позволяет оннзить порядок оиотемн двфференпвальных уравнений (1~1) ва едилзпу Реализуем эту эозмоавсоть пу тем воипачанвн ив системы неизвестной~> .

Иэ (8.8) о учетом соотношения а = м оф при РУ = имеем Р~~= й-'б% -4~Ь .). ( ) Эапиаем первое уравнение сиотемн (1.1) в виде 4Х = (1 б~) "-~~ у) М =(у-Ф') ~ У . (4.6) Эд ' 3,У Обмене з гзеодвнамвке вводится фуякцвя токе .>. ия основе верного уравнения <1.1) — =-ока' (4 7) ьк е ° зэ Обе функоли востсяням вдоль левки токе, яо врв оерелоде от одной ливка токе к другой меняется ко-разному (9). Это винно из интеграле Бернулли. ааввоенного е Форме р <ч) ~1 б~) с-~ (4.8) гдеу,~Ф) » плотность тормовевкя ве данной лкивв тока '(3). В отличие от обнчвой $уякцив токе ч. величине 'К' ваэмвеетоя йункцкав токе Ераис, Последнее ууезнензе оаотемн (1.1) легко вроввтегрврсветь вдоль линли тока. Следуя [3), звякнем результет в виде А =з"® (4.9) уЫ у нде 95~~ свезено о ввтроявей 5 яростям ооотиовеввем Я а,6г)р.

С всмовьн (4.9) ворядои 'сястемн ионввеетоя еие нв едийвоу, в в двумерном случае минно ямвучить одно урявневве второго ворядня дли вялой-либо йувщнв токи. Более вроотнм оиазмееетоя уравнение дли фующии токи Кровно (9). Получим его уревнеивя. дийрерявцвруи ооотнойеиви (4.6) во Х в по у, имеем четнре равенстве: тр~ и-л у Р ~~ .й~ф Ьф ф, (4,10) ~ ~~,~я~и-а ~- ~~ Ь)2Й йа~26.„2.)Г ,-~ ы.,~*-.

у- (( к ( аа' ~'о щ ек - са,~ -,рк — ак эк (4.1г) ,( ~~) н=уу~, ~~')')$ К,~~ З$~ р „- Уу' се 'ел у э ыоторых, согласно (4.1), а'=-УСТ- '.). (4.14) Найдем теаеръ вырекенве длэ внхрн. Нолаауыоь вэвеотной в аекторноы анклаве формулой ассс/~ = — -с- Рк гс1 37 вэ второго уранненке овстамы (1.1) с учетом (4.1) мкаучам х г-,, со~ (~ ~ = у ксфо — часа~-ЯТак как р/'Р =,О р' )' тс х е„~/9 = — — .~ — «ю(.сл.9 — й-л /» ~ =угас~5 =— н раосмвтранаемак дауюрэлм случае го1Р выест толаао нану Е -комаовенту, Поэтому аэ наследного векторного равенства о учетом (4.6) солучаетса Искомое ураэневве длл '$' найдем, исключав вз антк )аневств (4.10)-(4.13), (4.1с) четыре нровзвсдныхЭК~Ф)е дФ„~у> М,'Ь,36„,4».

Умноыэл равеыство (4.10) ае (л- У'„',га'),е (4.И) на ~' — К *:а',) в вычитав первое аэ второго, энеем +ф ~ь) у ~ц) х;уф б'~~~;, и'~гкх~ Внреюаив во вторвх хвалретавх ахобхах ореобрезувтол о вомо- имв (4.11), (4 32) в валу а.)'Вл -(( -«) — -" =,о ~ ( ~~):~-~ у „ б'о'ФъЬ ЯБ~ч Р но' (, хх гу/ Собирал воэрфвцаевгм арв ввхре 6~~г (5 Мф ф ~,-С о учетов (4,16) в (4.6) в итоге юлучю он тмин (4,16) йдеоа а~ эмравээиоэ чарва б' ю (4,14), е б„° б„' - черве ".~„', 'хл ве (4 6); эаавэимоота Я® овределается ав головной удврюй ээлве. Тюам ебюэам, (4.16) еотывазвлаверное уравнение вюйого юраинв диа фринами тона кровна, Вааимем грвввявво уоляпю длв у' ва ударнод волне.