Гиперзвуковая аэродинамика идеального газа (Баранцев Р.Г., 1983 - Гиперзвуковая аэродинамика идеального газа), страница 2

Метод зппроясимацвк искомого решения по отдельным координатам, излагаемый в главе Ш, в значительной мерв янляется аналитическим. Приближенное решение точно поставленной задачи о методологичеовой точки зрения целесообразно расоматривать квк точыое резание првбликенно поставленной задачи.

Исследование поотеновка задачи на вппроксвмационнам уровне оказннаетсв очень показным длв открытия аналитических ыаделей. Выделяотов три этапа: выбор авпрокоимвции„ выбор уравнений для новых функций и выбор граничных условий длв этих уравненвй. Все эти вовросы обоуждаштся в решащтса на првмере нвадратич- ной в линейной аппроксимации функции тскв по поперечной координзте. В линейном варианте находится анэлитичеоиое решение для нироиого плевое контуров.

Извеотный метод ннтегряльннх ооотноюений анализируется с точки зрения неедннстиенности выбора не трех этапах аппронсимзцковной поотеновкн задача. Рвосматривзется текке обратнея звднча, для которой метод еппрокснмзции является некорректным. Обтекание эаостренннх тел монет провсходить кен о првооедивенной, так и с отделенной ударной волной. В первом олучае зедеча оушественно упролветсн, особенно когдв течение полностью снерхзвуковое. В главе ТУ сначэля рэссыэтрилеется специвльный класс воничеоквх течений и решается зедечв оюеметричного обтекания кругового конуоа. Далее излагается метод еппроксзмяции по координатам, который применяется при любом полонении ударной волны.

В конце главы ден обзор результатов по несаветричным коническим течениям. Теория тонких тел излагается в глене У. В этой аовмптотической теории малый парвыетр ь .опязвн с относнтельной талшиной тела. Врекде всего, определяются порядкл зоэмулений гззодинамкчеоких функций и их производных в гиперзвуковом потоке. Упрошенная яостяновва задачи остается нелинейной, но обладает такимв эамечзтельными свойствами как закон плоских сечений и енвлогия о нествцианкрным двикеяием.

Рзсомзтрнввютсн тзкхе эффекты тупого поена, больиие углы атаки в правиле плошэлей для трехмерных теченвй. Г Л А В А 1. Постановка задачи Теоретическое излохение гиперэвуковсй азродинамвкв пслазно начать с обсуждения состановки задачи. Это тем болев ванно, что вопроси сушествованин и единственности еще нз решены и в общей сверхзвуковой газсдвнвмвке (5 1). Гиперзвуковаз постановке задачи получзатсв вэ обшей путем асимптотичесного разлохевка при М вЂ” , равномерного в некоторой ограниченной облаотв Я 2).

Ввд асвмптотнки говорит о том, что во многих случаях достаточна предальнее постановка задачи. В Р 3 детально рассматриваютсв гранвчнне условие на головной ударной волна. Взучаютоя локальвне свойства ударной волны и поведение газодинамических величин прв больших И . В т 4 вослед)итон воамокнссти упрошениа уравнений газодинемвкв, обусловленнне ангес)алом знергив, и формулнруетсл вариант поотановки двумераой авдечи с уравнением длн фуницви тока. $ 1. Обман постеновка задача сверхзвуиовозо сбтеканив тел Рассмотрим уотановввюееов обтекание конечного тела с кусочно-гладкой поверхностью 8 равномерньм свзрхзвуковнм потовом идеального газа ',рвс.2).

Стационарное движение идеального Газа опвсннаатсн урелнзнннмв (1.1) где )о - плотность, К - скорость, р — давление, э — с„г„- отвоиевле удельнмх теплоемкостей, В набегающем погоне задзютсн значение ~~ ~ ю ; на поверхности обтекаемого тела 10 (1.2) н'=С Г~,зв сВ е Будем считать, что плотность отнесена к ю , сяорость— к ~~ , давление к о ~~ , координаты м у р - к характерному размеру тела )( .

Тогда условие на бесконечности запишется в ниде ы у =(1 о о) р- ','.,'.юру" ': х- -с, (1.3) где г) = Ь,, Фс, - число l Маха в набегающем потоке, й - скорость знука. Прн этом нспользонано известное соотношение а = ~ о,'р С физичссьсй точки зранвя услозне (1.2), (1.3) на Рис.2 верный нзгляд закутая достаточными для одноэначнсго определения того решения уравнеыий (1.1), которое описывает течение около данного теда в рамках модели идеального газе.Но какому классу функций долкыо принадлекать это репенлеТ 3аая о наличии ударных полн, естественно скидать, что в классе непрерывных функций искомого репения ае существует, и рассматривать класс разрывных функций, понимая решение в обобщенном смысле. Известная в газодвнамике теорема Пемплена (3) утверкдает, что в силу второго закона термодинамики возмо-ны тольно скачки уплотнеьвя.

Однако зто с)-ение еще не гарантирует едиьственности. Математические нсследованвя нэ модельных уравнениях покаэывают,что нувны доаолнлтельные ограаичен.я. Итак, класс непресывных функций узок для теоремы сущестзован.м, а клаос разрывных функций широк для теоремы единстненности. Очень заманчиво было бы иметь условия, обеспечивающие единственность обобщенного решения задача (1.1)-(1.3). в получать из зтнк услонвй однозыачно структуру разрывов.

Но, к сокалению, такие условия пока не сформулированы. Поиска их ведутся от болев сб их постановок задач: с исчезающей вязкостью кли установлением но вреыенн (0.4) . Искомое решение рассмат- 11 ризается как предел днссаоативного либо нествционарного течение. При етом класс единстненнссти связыгаетсв с путями предельыого перехода . Оба подхода требушт решение соответствующих вопросов длз более слокных уравнений. Тем не менее введение вязкости позволило рвзвкть методы сквозного счета разрывних решеняй в широко развернуть численный эксперимент, Продолкаштся в аналитические исследования на модельных уревнениях.

Некоторые результаты исследований единственности обобщенного решеавя вадачи Коши для квазилвнейных уравнений отмечены в обзоре [0.1). Ао тех аор, пока класс едвнственноста обобщенного решения задача (1.1)-(1.3) не найден, приходится дополнять постановку задача предсказаыием структуры разрывов и услоивямв совместности на них.

В газодинамкке извеотны два типе поверхностей свльыого разрыве: ударные волны и таыгенцвзльные разрывы ( 3). условия ые ударной волне звавшем, выраяая гезадиязмическке велкчани за скачком черев вх значения перед скачком (1.4) Нормаль я к ударной волне считается неправленной вныз по потоку На таагеапаальном разрыве условие совместноста имешт более простой ввд (1.5) Прв М ,> 1 равномерный поток сохраняется вплоть до головной ударшой иолам 5 . Псвтому имеет смысл рассматривать только.область ва головной ударной волной а вместо (1.3) ставить ооотватствушшве усдовив вв Я . Эта условия получвштся из П.4), воли пслокить )о .( ~ ~,Ч„ = И а = а 12 ' ~д~ '~о, ~ с .

Опуская иыдекс 2, змеем 4 Х ' Р= 'и — — 2 — — ','я'-)~(~) мl л, с л х и е ' ( (1.6) -л ~ М '., 265 г — — ('и я Я Р =- кэ„' В области Л мелду Я и 5 возмокно появление ударных волы а тангенциальных разрывов, конфигурация которых зависит от формы тела. Вне этих поверхностей разрыва де ствуют уравнения ( 1.1).

Задача состоит в том, чтобы найти решение ураныений ( 1.1) а Я , удовлетвсряюлее условию ( 1.2) на З , услоьзям (1.6) на 5 и услазияы совместности (1.4), (1.5] на внутренних ударных нолнах и твыгенцнальных разрывах. форма поверхностей разрыла, нключая Я , подлехит опраделенню в ходе решения. 6 ".

Предельная постзнонкв задачи При фиксксоненной форме тела задача ( 1.1), (1.2), (1.4)— (1.6) содерклт дза безразмерных параметра: зе и И .В гиперзнуконой аародинамике 1 » Е . Поэтому целесообразно рассмотреть предельный случай Лу -е оо . Параметр ,~', входит явно только в услонзя на головной ударной волне (1.6). формальный переход к пределу сслокняется тем, что произведение )(, Лу нооб гоэоря, пороыдает неопределенность тапа (р сз .

Действительно, при удалении от тела сильный разрыв ныроядается н слабый, на котором г) = Л~ -' ~ 3„). Следовательно, укаэанная неопределенность на различных участках головной ударной волны раск -ызаетсв по-рваному. Однако, воли интересоваться не всем течением, а лишь той его частью, которая оказывает влияние ыа тело, то нет необходкьюсти уходить пс головной ударной волае далеко накз по потоку. В конечной области, ограниченной неко- торсу. характеристыческой поверхностью С ,имеем Л„ ш Ш „„„ >О, и равномерный переход к пределу становится воэыокнмм ЕО.41 .

Поверхность (: , оставляющую тело выше по потоку, для определенности будем считать такой, при которой область мому,звклю- 13 чевнея между Я , 5 и Д , минимальна (см. рис.2). Возможные дозвуковые к зестойные зоны долины входить в ЛГ ~ . Переходя в (1.6) к пределу прк /"~ сс,,э области йк получаем — 2 У =,ц=у.— — и п с= —,п;,,у~05 м у о;г~-~ к, э 1 к, Оотальные элементы зздечи при предельном переходе формально ые изменяются. Если рпссмэтривзть аскмптотическую постановку задачи при больших Д(„ , то нэ основении ( 1А) естественно окидэть,что Пг попрзвочные члены решения в Як будут юаеть порядок РУ Это предположение практически опревдывзется, и в гнперзвуковой аэродинамике обычно достаточно решзть предельную задэчу, вводя при необходкьюстк асиыптотические поправки. Текел необходимость возникнет прежде всего при обтекании тонких тел, когда и„ ,„ стеновитсв очень малым.

Оцеыка попренки вида () (',~у ') озыачает„ что приближение к предельному состоянию с ростом Ж„ происходит довольно бистро. Этот факт называется принципом гиперзвуиовой стабилизации или принцтлом веэависимости от числе Маха (0.8, 0.2). Около носка тела в общем случае имеется дозвуковзя облвсть, у ззтупленного теле оне есть всегда. Сдвигея замыкающую хврчктерастическую поверхность вдоль тела вверх по потоку до предельно возможного положения С , получим мвнвмэльыую область влияния Я ,, течение в которой трансзвуковое 1 1~.