победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 10

Обобщенным решением задачи Б назовем симметричный тензор и, удовлетворяющий для всякого гладкого симметричного теизора т интегральному тождеству ~ Е~м (о) тим(У + ~ (Аонатмд + Вп; и.тмиь) дЕ = Ф (т). (3.6) Отсюда видно, что определение обобщенного рсшения задачи Б совпадает со слабым решением задачи Б (т. с. решением вариационного уравнения (3.4)). Про характер стационарной точки оператора (3.3) в силу предположения о «заморожениости» потоков ничего сказать нельзя. Условия единственности решения задачи Б совпадают с условиями единственности решения задачи А ввиду эквивалентности постановок обеих задач. й 4.

Вариационный принцип Хашина — Штрикмана Р(чп(и, х) =О, и=- К(е, х), (4.1) и(х = и«, Будем считать, что оператор йг в (4.1) является потенциальным: дзг (е) а = К (е, х) = (4.3) Пусть, кроме того, для той же облаоти Р с той же границей Е и теми же граничными условиями решается задача теории упругости для однородной среды (среды сравнения) Р1ч У'(й х) = 11 Ус(е') — С': е' (4.4) (4.2) й(з = и».

(4.5) Очевидно, (рс (е«) е« ° ~е - ес 1 2 (4.6) 57 Вариационный принцип Хашина — Штрикмана является обобщением вариационного принципа Лагранжа. Он был разрабатан авторами для исследования неоднородных упругих материалов. Наряду с исследуемым (неоднородным) телом рассматривается некоторое однородное упругое тело (тело сравнения). На основе лаграижиана строится функционал, который имеет минимум в положении равновесия, если тензор модулей упругости исследуемого тела «меньше» тензора модулей упругости тела сравнения и имеет в положении равновесия максимум, если тензор модулей упругости «больше» тензора модулей упругости тела сравнения. (Слова «меньще» и «больше» понимаются здесь в смысле определений, данных в 3 1 гл.

1.) Здесь мы несколько расширим область приложения этого вариационного принципа. Пусть требуется решить квазистатическую задачу МДТТ для неоднородного тела, определяющие соотношения которого имеюг вид (1.1.1) Представим решение задачи (4.1), (4.2) в виде пе + н' (4.7) (4.8) Я7(е) — 1Р(з) = (РР(з). Из (4.10) и (4.6) следует дУе (е) Р Ре (е) — = о' — С': е = о — о', де где р — симметричный тензор второго ранга, названный Хашнном и Штрнкманом тензором поляризации.

Предположим соотноше- ния (4.11) обратимы относительно деформаций и существует та- кой скалярный оператор й(р), что дее (р) з= "й (Р)= д (4.12) т, е. операторы У'(е) и З(о) взаимно-обратны. Как следует из (4.10) и формулы (1.1.6), %'(е) — — з: С': з + э (р) = р: з, (4.10) (4.13) В'Р(е) + га(р) = р: з. Заметим, что лагранжнан Е задачи (4.1), (4.2) имеет вид е-~е~аа', (4.14) 58 где й — решение задачи (4.4), (4.5). Тогда, очевидно, и з = з'+ е'.

Будем под записью а понимать, что тензор напряжений выражен через деформации по формулам (4,1), а под записью ое, что определяющие соотношения выбраны в виде (4.4): о = У (з, х), о' = С', з. (4.9) Мы предполагаем, что тензор С' положительно определен, так что задача теории упругости (4.4), (4.5) имеет единственное решение. Кроме того, тензор С' имеет обратный Р, который также положительно определен. Будем предполагать также, что оператор У (а, х) имеет положительный «касательный модуль», а потому и задача (4.1), (4.2) имеет единственное решение. Обозначим и если «касательный модуль» оператора Я' (4.9)' положителен, то лагранжиан в положении равновесия имеет минимум. Сформулируем теперь задачу (4.1), (4.2) для векторного поля и', используя определение (4.7).

Как следует из (4.11) и (4.8), о р 1 Сс е р+Сс.е~+Сс.ес (4.15) Учитывая формулировку задачи (4.4), (4.5) получаем Р(ч(р+ С': е') = О, (4.15) и'1з =О. (4.17) Таким образом, решение задачи (4.1), (4.2) по формуле (4.7) разбивается на сумму нс — решения задачи (4.4), (4.5) и и' — решения задачи (4.16), (4.17) при условии, что тензор поляризации р определяется, формулой (4.11). Упражнение 4.1. Применяя теорему Остроградского — Гаусса, доказать, что для всякого тензора те=Те в силу граничных условий (4.17) выполняется тождество т:е'Жс'= О.

(4.18) Упражнение 4.2. Доказать, что тождеству (4.!8) удовлетворяют тензоры о и С': е'. й) Запишем лагранжиан (4.14), используя тождество (4.18), в виде 1 . 1 Х. = ~ ~В'(е) — — о: е + — (о: е — о: е')1 г(У. (4.19) Используя определения (4.8) и (4.11), преобразуем выражение, заключенное в (4.19) в круглые скобки: о:е — о:е'=о ес р ес-1 ос'ес о .е р.ес ос ° ес 1-2р.ес — р: е'+ р: е — р: е = о': е' -1- 2р: е' + р: е' — р: ш (4.20) Подставляя (4.20) в (4.19) и используя формулы (4.15) и (4.9), получим с ° — )Гс'(е) е ° Сс ° е р . е + (ос.

ес + 2- - 2- - 2 т (4.21) + 2р: е' -~- р: е' — р: е)] ~Ю. 59 Воспользовавшись формулой (4.13), получим 7. ~(ос ° ес + 2р ° ес+ р. е' 2иг(р))г(1/ (4.21') Если теперь в формуле (4.21') отказаться, от условий (4.11) и считать р неким независимым от о и о' тензором, то в задаче теории упругости (4.16), (4.17) член бйгр играет роль объемных сил.

Для этого случая обозначим (4.21') через зс: Р ~(ос ес г 2р ° ес с р е 2ге(р)) г(У (4 22) Докажем теперь, что решение задачи (4.16), (4.17) при выполнении условия (4Л2) является стационарнои точкой функционала (оператора) Р, т. е. ОЯ (р, Ьр) — О. В самом деле, считая величины о' и е' неварьируемыми, получим из (4.22) Иу'(р, Ьр) = — Д2Ьр: ес, Ьр: е'+ р: Ье' — 2 — ~: Ьр1г((г = к (4. 23) 1 с г =- — ~ ~2 ~ е — — ): Ьр + р: Ье' — е': Ьр ~ г(1г. (4.24) Но по сделанному предположению выполняются условия (4.12) .

Поэтому П3'-' (р, Ьр) =- — ~~ (р: Ье' — е': Ьр) г()'. 1 (4.25) Упражнение 4.3, Умножая скалярно векторное уравнение (4.16) на Ьи' и интегрируя по объему К, доказать, что после применения теоремы Остроградского — Гаусса и использования граничных условий (4.17) получится равенство 1)(ч (р + Сс: е').

Ьи г1)г = — ~ Ье': (р + Сс: е) с(1г = О. (4 26) 60 Упражнение 4.4. Доказать, что, проделывая выкладки, указанные в условии упражнения 4.3, после скалярного умножения векторов и' и Ьи' на вариацию вектора (4.16) получатся соответственно равенства ~ Р! ч (Ьр + С': Ье). йА' = — ) е': (Ьр + С': Ье) А' = О, (427) к Г 1)1ч (бр + С«бе') . би'й) — — ~ бе' ' (бр — ' Сс ' ба) г()г =- 0 и (4 28) У р Используя формулы (4.26), (4.27), получим ) (р: ба' — е': бр) г(г' = ~ (а': С': ба — ба': С': а)йг.

(4.29) В силу симметрии тензора С": с!,~ =- с~,, (4. 30) интеграл, стоящий в правой части (4.29), равен нулю. Поэтому равен нулю и интеграл, стоящий в левой части (4.29) и в правой части (4,25). Таким образом справедлива формула (4.23), что и требовалось доказать. Сформулируем теперь вариационный принцип, являющийся обоощением вариацпонного принципа Хашина — Штрикмана.

Этот принцип состоит из двух утверждений. 1. Функционал (4.22) в положении равновесия имеет максимум (т. е. стационарная точка функционала (4.22) является точкой максимума), если оператор У» (4.11) имеет положительный «касательный модуль». 2. Функционал (4.22) в положении равновесия имеет минимум (его стационарная точка является точкой минимума), если оператор У» (4.11) имеет отрицательный «касательный модуль».

Сначала докажем первое утверждение. Для этого от выражения (4.24) возьмем функциональный дифференциал: 17«" (бр) — 1 (бр: ба' — бр: —: бр) «У, (4.31) дрдр -/ или, используя равенства (4.28) и (4.8), И,У'(бр) == — 1 (ба: С': бе+ бр: —: бр1 А'. (4.32) ,! 1 — — — дрдр -/ В силу того что С«)0 и по условию теоремы «касательный модуль» оператора Я» положителен, а следовательно и «касательная податливость» положительна, из (4.32) вытекает 0'Р(бр) ( О, (4.

33) и утверждение 1 доказано. Для доказательства утверждения 2 рассмотрим вспомогательный интеграл — бр: 1': бра. (4.34) 61 Если обозначим тензор, стоящий в круглых скобках выражения (4.16), через д: (4.35) дюр+ С': в', то в силу (4.16) и (4.17) этот тензор де=То, а поэтому для него справедливо тождество (4.18). Подставляя (4.35) в (4.34), имеем У = ( (Ьд — С': бе'): 3': (бд — С'.бе')ог'= = ~ (бд: Я'.