победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 14

ПРи этом система длЯ опРеделениЯ РабУ- дет линейной: Х 1 А„зрз = — Ов, 3 з=! (4.37) где 1 Ааз = а (4,38) 9(К Кс) ()с (1 оа) еслп (в = а,оз, если а~~, Учитывая специальный вид (4.14) тензора Р и формулы- (1,44), (1.45) приложения 1, получим А ж(Р: е') = —, ( — (РР'+ 2Р:Р') — Р: р' ) = = — (РР ( — — )+ .Р ~ — — 1))= = о,((Р'> — (Р>') + Ь,((Р: Р> — (Р>: (Р>), с ао> о г СР а — г'ц,[ о +2 ~ е~"а(ра, ~) Еро ~+ но(((Р)а) — ((Р) )')+ а а о + Ь, (((Р)а: (Р)о) — ((Ра)5: ((Р)о)). (4.47)о' С другой стороны, в силу того, что при выполнении условий (2.4.11) функционал У совпадает с лагранжианом задачи (2.4.1), (2.4.2), и в силу формулы (1.26) получаем А = 2Чао((е)) = А (Р) (4.Щ а где Ув — потенциал, дифференцированием которого по деформа-- циям получаем эффективные определяющие соотношения исследуемого композита: (4.49)а Выбирая теперь упругие модули тела сравнения так, чтобы выполнялось неравенство (4.4), получим из формулы (4.47) значе-- ние А „, а если удовлетворить условию (4.5), то по формуле (4.47) найдем значение А,ао.

Теперь для оценки эффективных определяющих соотношений можно воспользоваться формулой (4.8). Вся процедура существенно упрощается при исследовании упругого композита. В этом случае функционал Р (2.4.22) 1 ,ро = — ~ 1о': еа+ 2Р: за+ Р; е' — р (С СР)-'. р)Л (4 50) в силу справедливости условий (2.4.11), т.

е. (С вЂ” Са) ':Р=е, (4.51) приобретает вид ,ро ~ [пс ° еа + р ° ва1 о)~ 1 2 Таким образом, формула (4.47) может быть записана в более простом виде: А =- (7(а8аг + 2)гааа: ео) + ((Р)а) 8а + ((Р)о): Р )р + 1 1 8' — 121о'+ — "1 ео: еа, (4.53) 1, [ — "1 о [ 1+О где величины а., Ь, определяются по формулам (4.34), а величины пг, п — по формулам (4.44) и (4.46). Формула (4.48) для. упругого изотропного композита имеет вид А *=)('ойог+21о"ео: ео (4.54) 86 Неравенство (4.4) будет выполняться, если в качестве тела сравнения выбрать компонент композита с наименьшими модулями, например К„!50, Обозначим К" = К,+— 1 !и 2р" = 2р + —.

и 9 !+ада 0 1+ Ьси Неравенство (4.5) будет выполняться, если в качестве тела сравнения выбрать компонент композита с наибольшими модулями, например К!, р!. Обозначим к' г' .К' = К, +; 2р' = 2!б! + 9(!+асио) 1+Ьси (4.56),',/ /. Сравнение выражений (4.53) и (4.54) по- ' /5' казывает, что из (4.8) следует -- к а 1 7 К'<Ко<К"; !г'<!50<!5". (4.57) Рис. 13.

Это и есть так называемая вилка Хашина — Штрнкмана. На рис. 13, где показана зависимость величин К' и К" от объемной концентрации у=о! для двухкомпонентного композита (К!>Ко), эта вилка изображается заштрихованной областью. Для сравнения на этом же рисунке изображена вилка Фойгта— Рейеса. Вилку Хашина — Штрикмана не удается сузить, если не учитывать геометрии композита, хотя для многих композитов и она оказывается достаточно широкой. Для примера в табл. 1 и 2 указаны значения К', К" (а заодно и Ки, К") для двухкомпонентного композита (К!>Ко) при различных объемных концентрациях у. Все величины К', К", Ки, К" считаются безразмерными и отнесены к Кр. В табл. 1 К!=2, в табл. 2 К!=20; в обеих таблицах и! г 00=1/3.

(4.55) Таблица 1 0.2 о,а о,! О,б ол 0,5 ол Таблица 2, ол о.в О,г о.в о,в ол о,э (~. г 8,84 20 1,34 1.88 1,88 3,77 2,88 1,23 1,40 2.98 4„17 1,10 1,61 1,90 4 4 ' '+ з ( ~)" ' з т ' ' к1 4 к,+ —, о.— т(к,— к,) 4 т 4 К. (К.+ — т)ч) + — (1 — т))ьК* 3 7' з 4 К1+ — ро — т(Ко — Ко) з р =ро+ т 6 (к.+29*)(1 — т) а,— ,'зо Б (Зко+4во)ро (4.59)1 Р =Ра+ 1 6 (Кг(-2и1)т ао о1 6 (ЗК~+4В1))Ч Упражнение 4.5. Показать, что при )о1=)во (тело Хилла из (4.58) ) следует К'=К'.

й 5, Некоторые методы определения эффективных характеристик Для приближенного определения эффективных характеристик существует много методов. Один из самых простых методов— метод вириального разложения — применим в случае, когда концентрация одного из компонентов мала.

Метод основан на разложении эффективных тензоров модулей упругости и упругих податливостей в ряд по концентрации компонента (если она достаточно мала). Упражнение 4.4. Показать, что для упругого двухкомпонент-: ного композита (К1 >Кн )в1>)ва) В методе самосогласования принимается, что каждый компонент имеет специальную форму (чаще всего форму эллипсоида или шара) и рассматривается как включение, при этом связующим служит материал с искомыми эффективными свойствами.

Этот метод приводит к успеху благодаря результату Дж. Эшелби, который показал, что внутри шарового упругого поля возникает однородное напряженное состояние. В теориях смесей предполагается, что в каждой точке среды одновременно находятся все компоненты композита. С математической точки зрения эта теория описывается мультиполями перемещений, т. е. в каждой точке среды имеется несколько векторов перемещений, каждый из которых описывает поведение определенного компонента среды.

Существует много других методов определения эффективных характеристик среды (а также определения микроперемещений и микронапряжений), однако самым распространенным методом, пожалуй, является метод теории случайных функций. В этом методе тензор модулей упругости считается случайной функцией, представимой в виде суммы статистически среднего тензора модулей упругости и тензора, описывающего флюктуационные добавки. Как правило, принимается гипотеза эргодичности: среднее по объему совпадает со средним статистическим. (Правда, здесь объем, по которому совершается осреднение, связан с характерным размером неоднородности, и поэтому средние величины, вообще говоря, зависят от координат).

Запишем Ссдч (х) = (Сиы) + Сссм (х), (5.1) где тензор С' описывает флюктуационные добавки, а теизор ( С) от координат не зависит (так называемая статистически однородная среда). Пусть, например, требуется решить задачу теории упругости с заданными на границе перемещениями ~Я(Сссц) + Сссм) ((и,),с+ иь.с)),с= О, (5.2) ((ис) + ис)!х = ис 89 (5.3) где (и) — статистическое среднее искомого поля перемещений, й — соответствующие флюктуации.

Решить задачу (5.2), (5.3) со случайным тензором модулей упругости — это значит по заданным статистическим характеристикам механических свойств среды: среднего тензора модулей упругости (Сссьс), тензора корре- Ф ляционных функций второго порядка (Сии С„,рр) и т. д. найти статистические характеристики поля перемещений: среднего вектора перемещений ( ис ), корреляционные функции второго порядка (исис) и т. д. Произведя статистическое осреднение уравнений (5.2) и гра яичных условий (5.3), получим (Сыы) (и») н + (С~.м ирл) = О, (5.4 (ис) ]х = и1ь (5.5 м Задача нахождения эффективного тензора модулей упругости.

заключается в представлении уравнений (5.4) в виде й;;ы(и„),н= О. (5.6) Для замыкания системы уравнений (5.4) необходимо записать уравнения для величин (Спм и» р). Для этого помножим уравнения (5.2) на С' „р«и произведем статистическое осреднение. То-, гда, учитывая (5.4), получим (Сны) (Сщрр«и»л) р + ((Се/м С „,„,) (ид),ю)л + + (СРР«Срчр«и» ~) д = 0 (5.7) Как видим, замкнуть системууравнений не удалось, потому что в (5.7) появились дополнительные члены (С;ж С„р«и»л). Продолжая описанную процедуру, можно получить вместо уравнений (5.2) бесконечную цепочку уравнений (5.4), (5.7) и т. д. Длятого чтобы «оборвать» эту цепочку, необходимы дополнительные гипотезы. НЕКОТОРЫЕ ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ $1.

Масштабный эффект проанализирован в монографии [58]. Вопрос об эффективных характеристиках композитов обсуждается, например, в [31, 50, 84, 91, 96, 97]. в 2. Теория эффективного модуля в основном разрабатывалась для упругих композитов. С нею можно познакомиться, например, по работам [21, 24, 31, 49, 50, 62, 79, 96, 102].

в 3. Подход Фойгта и Рейеса для упругих композитов изложен„ например, в [50, 96, 105]. $4. О вилке Хашина — Штрикмана кроме работы самих авторов [113] можно прочесть в работах [96, 102, 105]. $5. Упомянутый результат Эшелби изложен в [11Ц. Литература по методам определения эффективных характеристик, в особенности по применению теории случайных функций, достаточно велика. Отметим только небольшую часть таких работ [10, 18, 58, 59, 68, 72, 96, 103, 105].

Глава 4 ОСРЕДНЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ СТРУКТУР и (х) =- ~ ( 9' + ~ Х (у) йу) — + и'. О (1.З) Сначала на примере одномерной задачи теории упругости прослеживается техника осреднения периодических структур. Затем подробно излагаются методы решения статической пространственной задачи теории упругости в перемещениях и в напряжениях для комиозитов, являющихся периодическими структурами. При этом описывается методика определения эффективных тензоров модулей упругости и упругих податливостей. Указывается схема построения задачи теплопроводности для композитов и определения эффективных тензоров теплопроводности, теплового расширения и удельной теплоемкости.