победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 12

~ (1.27) Заметим, что из определения эффективных определяющих соотношений следует, что для упругой среды (И~ (е,х)) ш — (е С (х): е) = — (е): )в: (е) =ИГо((е)), (св(о,х)) ш — (сс: Л (х): о) = — (сс): Н: (сс) жсе,((о)), (1.28) где и — так называемый эффективный тензор модулей упругости, а Н вЂ” эффективный тензор упругих податливостей. Как уже от- мечалось„эти тензоры инвариантны относительно преобразований, характеризующих класс анизотропии, вообще говоря, иного вида, нежели тензоры С(х) и Л(х). Из соотношений (1.28) и (1.25) получаем (о) = (С(х): е) = Ь: (е), (е) = (Л (х): о) = Н: (о). (1.29) Для линейного вязкоупругого тела, используя обозначения (1.4.40), получим с с (Иг(е, х)) =— — ~ ~(с(е(1): Н(Š— т, х): с(е(т)) = о о — — $ ~ (с(е (1)): Ь (1 — с): (с(е (т)) =ИГо((е)), а о 70 о о где и(1) называется эффективным тензором функций релаксации, а Н(1) — эффективным тензором функций ползучести.

Для определяющих соотношений линейной теории вязкоупругости имеем г (о) = ( ) 1« (Ю вЂ” т, х): Ие (т) ) = ~ й (Š— т): сХ (в (т)), о о г с (а) = ( ~ Н (1 — т, х): йх (т)) = ) Н (1 — т): И (о (т)). (1.31) В дальнейшем мы будем использовать сокращенную запись выражений (1.31): (о) = и: (в), (е) = Н: (и), (1.32) й 2. Теория эффективного модуля Поставим в соответствие каждой неоднородной среде (композиту) с определяющими соотношениями (1.1), (1.2) однородную среду, описываемую определяющими соотношениями (1.3) и (1.4). Тогда каждой краевой задаче МДТТ с определяющими соотношениями (1.1), (1.2) соответствует краевая задача МДТТ для однородной («размазанной») среды с определяющими соотношениями (!.3) или (!.4).

Теория, основанная на решении задачи МДТТ для «размазанной» среды вместо исходной задачи для неоднородного тела, называется теорией эффективного модуля (этот метод был прежде всего предложен для решения задач об упругих композитах). Для решения задачи теории эффективного модуля необходимо знать эффективные определяющие соотношения, которые находятся экспериментально или теоретически. Во втором случае для этой цели требуется решить задачи МДТТ (А н Б), описанные в предыдущем параграфе. Получить аналитическое решение этих задач удается только в простейших случаях.

Применение численных методов, вообще говоря, не позволяет найти аналити- 71 Дать конкретную запись эффективных определяющих соотношений для упруго-пластического тела труднее; Об этом речь пойдет в гл. 7. где индекс а означает, что рассматриваемая величина относится к а-му компоненту композита.

Определим для каждой такой ве- личины, например, !т, среднее значение по компоненту пс (оа)а = — па!Л~, г а а (2.2) где У вЂ” объем, занимаемый а-ым компонентом. Если мы решин лн какую-то задачу МДТТ, т. е. нашли поле перемещений и(х), теизор деформаций в(х), тогда, производя осредиеиия по всему объему, получим, например, (с) = ~! па(иа)а (2.3) а=! где (2.4) — объемная концентрация компонента а в композите. Точно так же (в) = ~! ва (е«)а.

«! Из (2.4) следует очевидное равенство па= 1. (2.5) (2.6) Если внутри каждого компонента материал непрерывно неоднороден, то предположим, что осредиеиие (2.1) дает (Уа (за ~ х) ) а — ! а (( еа) а) (За(оа х))« = уа((!та)а). !2.7) ческого выражения для определяющих соотношений. Поэтому часто их находят приближенно, используя различные методы, в частности вариациоииые, причем в этом случае важно знать, с какой степенью точности ириближеииые определяющие соотношения заменяют точные, т. е. установить области, внутри которых лежат точные эффективные характеристики (так называемые «вилки»).

Рассмотрим д-компонентный композит. Пусть каждый его компонент описывается определяющими соотношениями па= Уа(за х) за= За(оа, х), и= 1,2,... чэ (2,1) (и) = ~)' оа )а (Аа ((е))). а 1 Сравнивая выражения (2.!О) и (1.3), находим эффективные определяющие соотношения !".((е)) = ~ь па)а (Аа((е))). (2,11) (2.10) Точно так же для деформаций (е) = Я п„йа(о' ((и))), (2.12) а=! и поэтому И ((о)) ~' Раяа(да (П)) ° (2.13) а=! Хотя операторы А, (2.8) и В„(2.9) заранее неизвестны, можно, принимая некие гипотезы относительно этих операторов, получать приближенное выражение для эффективных определяющих соотношений. Пусть, например, требуется решить квазистатическую задачу МДТТ в перемещениях (1.2.11), (1.2.9): О!чУ(и, х)+ Х= О, (2.14) и!з,= и', Я(и,х) и!х,=З' (2.! 5) т. е. найти вектор функцию перемещения и, решая векторное у авнение (2.14) при удовлетворении граничным условиям (2.15). о теории эффективного модуля мы ставим в соответствие задаче (2.14), (2.15) задачу Для каждой краевой задачи МДТТ существуют какие-то операторы, связывающие средние деформации по компоненту а с средними деформациями по всему объему, занимаемому композитом.

То же относится и к напряжениям ( ) =А (( )), и=1,2,...,4, (2.8) (па)а = Ва((п)), а = 1, 2,..., д, (2.9) где А, В,— некоторые неизвестные операторы — операторы концентрации. Если эти операторы стали бы из каких-то соображений нам известны, то мы бы сразу получили эффективные характеристики композита. В самом деле, подставим (2.8) и (2.7) в (2.3). Тогда имеем Ич7(п)+Х=О, (2,16) Дй) л1х,= У с теми же входными данными Х, ио и о",но с эффективными определяющими соотношениями.

Решение о(х) задачи (2.!6), (2.17) — это решение осредненной задачи (2.14), (2.15), но не среднее значение решения задачи (2.14), (2.15). Вектор (и) является постоянным, а вектор о(х), вообще говоря, зависит от координат, однако, как следует из предыдущего параграфа, «энергия» поля перемещения и и поля о совпадают: 1 () =1 .() (2 18) У У (2.17) $3. Подходы Фойгта и Рейеса Предположим, что в композите, каждый компонент которого описывается однородными определяющими соотношениями, осуществляется однородная деформация, т.

е. за — е = зО (3.1) Тогда операторы концентрации (2.8) будут единичными и мы имеем из (2.11) (и) ~~~ и 5Г (за) — гг(зо) (3.2) Разумеется, решение задачи по теории эффективного модуля нам ничего не скажет о характере распределения перемещений, деформаций и напряжений внутри каждого компонента (так называемых микроперемещеннй, микродеформаций и мгкронапряжений). Распределение этих величин может быть найдено только с помощью более совершенных теорий, чем теория эффективного модуля.

При этом такие теории требуют знания материальных функций, характеризующих определяющие соотношения для каждого компонента композита, что иногда не только затруднительно, ио и просто невозможно. В теории эффективного модуля для теоретического определения эффективных характеристик также необходимо знание свойств его компонентов, но можно обойтись и экспериментальными исследованиями на представительных образцах.

Заметим, что если эффективные характеристики среды известны и удается по ним восстановить операторы концентрации (2.8) и (2.9), то можно по средним напряжениям (которые найти не так сложно) найти средние микронапряжения в каждом компоненте. Приближенный подход (3.1) для определения эффективных определяющих соотношений называется подходом Фойгта, а сами определяющие соотношения (3,2) — определяющими соотношениями фойгта )г(з). Если для каждого компонента композита «касательный модуль» положителен, то он будет положителен и для определяющих соотношений (3.2). Скалярный оператор, соответствующий определяющим соотношениям фойгта, обозначим через Я7р (ЯУ„(0) =- О).

Тогда д1кг (е) де Пусть потенциальный оператор Фе(е) соответствует эффективным определяющим соотношениям (Фе(0) =О) де ~() (3.4) Тогда легко доказать, что Фг(е) ограничивает потенциал 1ге(е) сверху: ЯУ (е) ~ (Р~ (а). (3.5) В самом деле, из вариационного принципа Лагранжа следует, что из всех кинематически допустимых систем действительная отличается тем, что для нее лагранжиан в положении равновесия имеет минимум, а из (1.26) следует, что минимум имеет и потенциал ЯУе, соответствующий задаче А с граничными условиями (1.7). Но таким же граничным условиям удовлетворяет и однородная деформация (3.1), а потому вектор перемещений, ей соответствующий, является кинематически допустимой системой, откуда и следует (3.5).

Предположим теперь, что в композите, каждый компонент которого описывается однородными определяющими соотношениями (2.1), осуществляется однородное напряженное состояние о„=о=аз. (3.6) Тогда операторы концентрации (2.9) будут единичными и из (2.12) получим (3.7) а=1 Приближенное определение эффективных определяющих соотношений, основанное на предположении (3.6), называется подходом Рейеса, а сами соотношения (3.7) — определяющими соотношениями Рейеса. Очевидно, что «касательная податливость» для (3.7) будет положительна, если она положительна для каждого компонента композита.

Обозначим скалярный оператор, соответствующий соотношениям Рейсса (3.7), через гвя(гвл(0) = О): (3.8) (3.11) где ф— тензоры модулей упругости а-го компонента композита, Нз — тензор упругих податливостей Рейеса, т. е. тензор, соответствующий определяющим соотношениям (3.7) для упругих композитов. Получим из (1.28) и (3.10) о'. И: о' < ': Ия: ', нлн в условной (сокращенной) записи н >н (н~ >н, (3.15) дв,~ (о) ~я (и) Пусть потенциальный оператор эа(о) соответствует эффективным определяющим соотношениям = я(а). Тогда шл (и) ограничивает потенциал Га(п) сверху: а~а (о) < шя (~~. (3.10) В самом деле, из вариационного принципа Кастильяно следует, что из всех статически допустимых систем действительная отли- чается тем, что для нее кастильяниан в положении равновесия имеет максимум.