победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 7

е. функции, которые в рамках выбранной модели позволяют один материал отличить от другого), В общих установочных экспериментах можно, в частности, выяснить четыре важных вопроса. 1..Линейность или нелинейность определяющих соотношений, т. е. операторов (!.1) и (!.2). Для выяснения этого вопроса достаточно проверить выполнимость принципа линейной суперпозиция. Например, для трех разо -о о личных поверхностных нагрузок 5, (х,т), 5е (х,1) и 5з (х, 1): 5з (х, Ю) = а51 (х,1) + (15е~ (х, 1), (6.1) где а и 6 — некоторые числа, снимаются экспериментальные значения деформаций в некоторых точках е,(у,~), е,(у,г). ее(у,г). Если оказывается, что е (у, 1) = ае (у, 1) + рве (у, 1), (6.2) то говорят, что выполняется принцип линейной суперпознции, и тогда операторы (1.1) н (1.2) — линейны. о о Следует иметь в виду, однако, что векторы 5, (х,т) и 5е (х, 1) должны быть линейно независимыми.

Если же выбираются все е 5е (х, 1) такие, что 5з~ (х, 1) = л51~ (х, 1), (6.3) где А — некоторое число, то прн выполнении условия (6.2) можно лишь утверждать, что операторы (1.1) и (1.2) однородны первой степени, но не обязательно линейны. Например, в экспериментах на одноступенчатую релаксацию или ползучесть проверяется, строго говоря, только однородность операторов (1.1) нлн (1.2). 2. Склерономность нлн реономность модели.

Для выяснения этого вопроса можно, например, задать поверх! 1 постную нагрузку 5О(х), не зависящую от времени, и снять показания деформаций в течение контрольного времени в некоторых точках исследуемого тела (например, в рабочей части образца). Если деформации не будут меняться во времени, то разумно принять допущение о склерономности модели. В противном случае она будет реономной. 3. Анизотропия, Выяснению характера анизотропии часто помогает внешний вид и структура испытуемого материала. Полное исследование 39 ея — е„ ем+ ем= е + е, е, = к к (6.4) а отличные от нуля компоненты тензора напряжений Р пм = а„=- и„= — = р, 2Е (6.5) где Р— площадь сечения образца. Используя матрицу (3.20), получаем 1, ! — 2м~ е„+е, =-р~ — + ~ Е, Е, (6.6) ( мз ма ~ езз == — Р| — + — ) ем =- , Ез Ез ) Юм 40 этого вопроса представляет собой довольно сложную экспериментальную задачу.

4. Квазилянейцость модели. Для изотропного тела можно, например, поставить эксперимент на скручивание тонкостенного цилиндрического образца. Если при этом появляются деформации удлинения (по образующей цилиндра), то сомнительно принятие постулата квазнлинейности. Разумеется, во всех упомянутых экспериментах суждение о приемлемости того или иного утверждения должно быть согласовано с точностью, которую требуется достичь при расчете по выбранной модели.

Модельные установочные эксперименты проводятся после того, как выбрана модель МДТТ для данного материала. При этом предполагается (иногда молчаливо), что справедлива гипотеза макрофизической определимостн А. А. Ильюшина, которая заключается в том, что каждой точке среды может быть поставлен в соответствие макрообразец (конечных размеров), находящийся в однородном напряженно-деформируемом состоянии и на котором могут быть в принципе изучены все процессы, протекающие в изображаемой точке среды. Если установлено, что материал можно считать упругим, то определяются модули или податливости. Например, для определения девяти постоянных ортотропного материала из статических экспериментов необходимо по крайней мере три образца, которые вырезаются в трех взаимно перпендикулярных направлениях, причем так, чтобы направление растяжения составляло 90' с одной из главных осей ортотропии и 45' с двумя другими.

На рис. 7 показан вид сверху такого образца, причем главная ось анизотропнн г=х~ направлена перпендикулярно плоскости чертежа к наблюдателю. При растяжении образца, показанного на рис, 7, замеряются деформации езз в направлении оси хм е„— в направлении силы Р и е — в направлении, ортогональном действию силы Р. Тогда в главных осях ортотропии компоненты тензора деформации Из (6.6) находим модуль бм и две комбинации других модулей. Проводя аналогичные эксперименты по растяжению образца в плоскости, ортогональной направлению хь а затем в плоскости, ортогональной направлению хк получим все необходимые упругие постоянные.

Разумеется, существует очень много других способов определения упругих постоянных. Рис. 8 Рис. 7 Полагая в (6.7) а,о(г) =и„' Ь(1), где й(1) — единичная функции Хевисайда, получим ей П (1) о.е (6.9) (6.1О) 41 Упражнение 6.1. Показать, что для определения модулей упругости для трансверсально изотропного материала достаточно двух образцов на растяжение. Упражнение 6.2. Показать, что для определения модулей упругости изотропного материала достаточно одного образца на растяжение. й) Для модели линейного вязкоупругого тела необходимо найти тензор функций релаксации или ползучести.

Чаще определяются функции ползучести. Например, для изотропной вязкоупругой среды рассмотрим цилиндрический тонкостенный образец, сечение которого показано на рис. 8, причем б«Л. При скручивании образца некоторым моментом кручения М,р в сечении, показанном на рис. 8, возникает напряжение псе и соответствующая ему по закону (4.28) деформация е,о (см. приложение П1): осе = ~ П(1 т) Ме (т). (6.7) о Напряжение о„связано с М,р, а деформация е„— с тангенциальпым перемещением и„, которое легко замерить на поверхности цилиндрического образца: Мко п.е =-' е,о == —— (6,8) хлвйс 2И Описанный эксперимент называется экспериментом на ползучесть при кручении. Аналогично можно провести эксперимент и на ползучесть при растяжении.

Полагая Р= Рой Я в предыдущем примере, можно найти испытанием трех образцов девять компонент тензора функций ползучести для ортотропного вязкоупругого материала. В опытах на релаксацию в виде функ- о(о' Рис. 1О. Рис. 9 ций Хевисайда задаются деформации, а, измеряя напряжения, получают тензор функций релаксации )с(1). Рассмотрим теперь процесс напряжения и (для простоты рассматриваем одномерный случай): ос по(й(1) — й(( — (о)), (6.12) который изображен на рнс. 9. Ему соответствует процесс деформации, изображенный на рис. 10 и вычисленный по формуле (4.6): е(1) =ос(П(1) — П(1 — (оЯ .

(6.13) Из рис. 10 видно, что в момент времени (о деформация мгновенно падает, а затем медленно убывает, приближаясь асимптотически к величине е, которая может равняться нулю, Было бы неестественным, если бы деформация после момента (о стала возрастать. Оказывается, что поведение деформации на бесконечности (рис. 10) зависит от поведения функции ползучести на бесконечности (рис. 2). Упражнение 6.3. Показааь, что если на бесконечности функция ползучести (рис.

2) стремится асимптотически к прямой с тангенсом угла наклона к оси 1, равным а (установившаяся ползу- честь), то величина е на рис. 1О равна (6.14) Упражнение 6.4. Показать, что если на бесконечности функция ползучести возрастает медленнее, чем прямая, то е =О. Упражнение 6Л.

Показать, что если на бесконечности функция ползучести возрастает быстрее, чем прямая, то е -сс Как следует из упражнения 6.6, если на кривой ползучести (рис. 2) оказывается участок неустановившейся ползучести, то при 1>(о уже нельзя пользоваться моделью линейного вязкоупругого тела и нужно пользоваться нелинейной моделью. 42 А. А. Ильюшин предложил ядра д,(!) операторов ф, (4.29) для вязкоупругих материалов с нерелаксирующим объемом (4.35) определять из экспериментов, показанных на рис.

11 и заключающихся в следующем. К пружине жесткости й последовательно присоединяется образец, имеющий длину Ь, площадь поперечного сечения Р, модуль сжатия К. Проводится эксперимент на релаксацию образца, т.е. задается некоторое перемещение и=пой(!) (6.15) и снимаются показания силы Я(1). Упражнение 6.6. Показать, что в описанном эксперименте Рис. ! !. Вв(!) = !в л!7 (6 Ир (6,16) где А= — + —, р= — ~ —, Ь 1 1 9КК (6.17) 9КК Я 2 2ЬЯ причем знак плюс выбирается в случае эксперимента, схема которого указана слева на рис. 11, а знак минус — в случае эксперимента, схема которого изображена на рис.

11 справа (р отрицательным Я). Упражнение 6.7. Показать, что в случае Р=!/т жесткость пружины следует положить бесконечной, т. е. проводить эксперимент на релаксацию без пружины. Для отыскания материальных функций упруго-пластического тела обычно пользуются тонкостенным цилиндрическим образцом, сечение которого изображено на рис. 8 (с. 41). При малых нагрузках, при которых не наступают пластические .деформации, определяются модули упругости.

При испытании тонкостенного цилиндрического образца его подвергают кручению„растяжению по оси цилиндра и действию внутреннего давления. При этом или задаются смещения (деформации), а снимаются показания усилий (испытательная машина кинематического типа), или задаются усилия, а замеряются деформации (машина силового типа).

Иногда на одной испытательной машине можно проводить эксперименты того и другого типа. Рассмотрим кручение образца. Здесь справедливы формулы (6.8), причем з.в = о~в. с~в = е.е, пи = УМ згз! е» = т~о! е.е! (6 18) 43 Поэтому из графика зависимости и„-з„определяется функция Ф(е ) (5.4) или функция пластичности А. А. Ильюшина ч!(з„') (5,5). При малых нагрузках (до предела текучести) находится модуль сдвига 6. Если тонкостенный цилиндрический образец находится под действием внутреннего давления рм то (6.19) Остальные компоненты тензора напряжения равны нулю, за исключением случая, когда образец нс поджимается, чтобы исключить осевое растяжение, возникающее под действием внутреннего равномерного давления, действующего в замкнутом цилиндре. В этом случае еще и а = — пвв = —.