победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 8

Рвя яг (6.20) При 6«11, как видно из (6.19), 1щ.1~пв . (6.21) Замеряются обычно деформации в„и е „деформацию е„из. мерять трудно и ее считают из условия несжимаемости. Поэтому е„=- ~/в;~е;; = У2)~ евв + е~ + вввв„. (6.22) Интенсивность тензора напряжений будет о„= )/зыз;; = )/3 —, 26 (6.23) если имеется напряжение (6.20), и $l2 Рвп о„= —— 3 6 (6.24) если напряжение (6.20) отсутствует. Таким образом, определяется кривая Ф(в,) и функция ы(е,). Кроме того, легко найти величины о и 6 и вычислить модуль сжатия К.

При осевом растяжении образца силой Р Р> ди~ 2п116 ' ™ дг (6.25) Остальные компоненты тензора напряжений равны нулю, а компоненты тензора деформаций могут быть замерены. Поэтому РЬР ~/ 2 ° = —, ° = ~' — ( —..) и 6 ~6 ~ и $( З 2г (6.26) 44 откуда находится функция Ф(е~). В случае, если исследуются неоднородные материалы (например, композиты), то, вообще говоря, нельзя в образце создать однородное напряжение и деформированное состояние.

Поэтому экспериментально можно найти лишь осредненные, «эффектив- ные> механические характеристики материала, но об этом речь пойдет в гл. 3. Рассмотрим набор простейших экспериментов на ползучесть, позволяющий определить линейные и нелинейные ядра, входящие в физические соотношения (4.50). а. Ползучесть при сдвиге.

Для проведения такого эксперимента нужно осуществить в барокамере простой процесс нагружения а=вой(1), зн=зепй(1), з=зой(~), (627) где /г(() — единичная функция Хевнсайда, хо=-ззпз'н. Аналогично (4.46) введем обозначения '" =К'((), '" =К,Р), П(О)= — ', П,(О) = — ', ап ап„ вЂ” =Кэ(1) — ~ = Кч (1) Пт(0) = — Пч(0) = — (6 28) д~ дг 2с К (6.29) (6.30) (6.31) 45 Тогда при заданных напряжениях (6.27) получим две экспери- ментальные кривые: , (() = — "' () = П (1),' ~ (о,, з,) П; (1), о"С лО и Р, О (г) =- — = П, (Е) + т1 (и,, з,) Пч (7). е(О ао При малых оо и зап вторые слагаемые в правой части (6.29) будут пренебрежимо малы по сравнению с первыми. Поэтому, на- ходясь в области линейной вязкоупругостн, получим линейные функции объемной П~(~) и сдвпговой П(~) ползучести, которые не зависят ни от о,, ни от ззн.

Для больших значений аз и зеп, считая П(1) и П~(1) известными, найдем нелинейные ядра П,(() и П,((), а также функции З(омам), т1(о,„за), как коэффициенты подобия кривых 7, «) — П(~), Р, Р) — П,Р). ~' С и б. Ползучесть при объемном сжатии. Этот эксперимент являет- ся частным случаем предыдущего (6.27) при хан=О. При малых о, определяем линейное ядро П,(~), а при больших — нелиней- ное ядро П„(() и функцию т1(ом 0) из экспериментально найден- ной функции Г„р) =- в в(Π— —.

П, р) + и (а,, О) П„р1. а, в. Ползучесть при простом сдвиге. Этот эксперимент также является частным случаем (6.27) при аз=О, Из него можно найти ядра П((), П,(() и функцию $(О, з,). Р (г) =. сс() = П(г) + $(0, з,)Пх((). (6.32) ~/ Б. С г. Ползучесть при простом растяжении. Для такого эксперимента оп(1)=о'пй(1), а все остальные компоненты тензора напряжений равны нулю. Тогда имеем и 3 и '" '" 3 и 2 ! з = з,й(г), з — = — (оп)', и, — = — о'„.

2 ! (6.33) Находим экспериментальные функции б) (1) = "'() = 6П(Г) + 6~(п„з)П~(г)+ П,(1)+ ц(п,,з»)П„(Г), ~п оО и Ч',,о (Г) =- " ) == — ЗП(Г) — 3$ (п„з,) П1(1) + и'и + П~ (1) + Ч (по~ зо) Пч (г) (6.34) Определяем для малых а»п линейные ядра П(1) и П~(1). и, счи- тая их известными, для больших значений а'и получаем нели- нейные характеристики. НЕКОТОРЫЕ ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ 46 $ 1. Подробнее описание операторных определяющих соотношений МДТТ для изотермических и неизотермических процессов дано в книге [841. $2, Постановки задач МДТТ для операторных определяющих соотношений описаны в книге [841.

Новой постановке посвящены работы [80, 82, 831. В работах [82, 83) указаны дополнительные условия на операторные соотношения, при выполнении которых существует обобщенное решение задач А, В, а также сходятся методы последовательных приближений, построенные как обобщение известного метода упругих решений [331. Постаановкизадач МДТТ имеются также в книгах [34, 35, 37, 38, 93, 951.

Термодинамика деформируемого твердого тела, а на ее основе постановка (и решения) связанных задач МДТТ, в которых учитывается тепловыделение при деформировании, рассматриваются в [34, 44, 771. $ 3. По теории упругости имеется очень большая библиография. ° Назовем только некоторые книги [35, 54, 55, 59, 71, 84]. 3 4. Подробнее с линейной и нелинейной теорией вязкоупругости можно ознакомиться, например, по книгам [38, 66, 921. Методы решения нелинейной вязкоупругости изложены в работе [78).

Вопросы определения комплексных вязкоупругих характеристик достаточно полно изложены в книге [1121. Доказательство «исключительности» модели Максвелла дано в [1!4). $5. В параграфе дается краткий перечень результатов, представленных в книгах А. А. Ильюшина [33, 34]. Теории пластичности посвящено учебное пособие [45]. 0 доказательствах существования обобщенных решений н сходнмости методов последовательных приближений (метода упругих решений и его обобщений) в теории малых упруго-пластических деформаций можно узнать из работ [78, 84], $6.

С техникой проведения эксперимента можно, например, ознакомиться по книге [!01]. Методика проведения экспериментов по определению физико-механических характеристик деформируемого твердого тела изложена в [4, 36, 64]. Схема экспериментов по определению материальных функций линейной и нелинейной теории вязкоупругости имеется в [38, 78, 84], причем в работе [84] описывается схема экспериментального определения ядер п~ для вязкоупругих материалов с релаксирующим объемом. Гипотеза макрофнзической определнмости сформулирована в монографии [34].

Глава 2 ВАРИАЦИОННЪ)Е ПРИНЦИПЪ| В главе дается краткое описание некоторых вариационных принципов МДТТ, которые в дальнейшем будут использованы при анализе композитов. Прн доказательстве теорем единственности решения краевых задач МДТТ, экстремальных свойств рассматриваемых функцио-' налов и т. п. определяющие соотношения среды записываются в операторном виде, причем на эти операторы накладываются некоторые ограничения в виде неравенства.

Для конкретных сред достаточно проверить выполнение этого неравенства, чтобы сделать заключение о справедливости для этой среды теорем, доказанных для общих операторных определяющих соотношений. и 1. Принцип Лагранжа Будем считать, что все рассматриваемые функции обладают гладкостью, необходимой для проведения используемых преобразований, и изменяются на временном отрезке [0,1Д, т.

е. 0<1<1ь Кроме того, будем предполагать наличие «естественного» состояния, т, е. считать, что в момент, предшествующий 1=0, тензоры деформаций и напряжений вместе со всеми своими производными равны нулю. Рассмотрим квазистатическую задачу МДТТ в перемещениях (1.2.11), (1.2.9) (задача А). Помножим скалярно уравнения (1.2.11) на произвольный пока вектор н н проинтегрируем по объему Р, занимаемому телом.

Тогда, используя теорему Остроградского — Гаусса и статические граничные условия (1.2.9), с учетом (1.1.1) получим (о) (~/ Яе (э),4 (н) (1.1) где 4'(и) — работа внешних сил на перемещении о, определяется по формуле (1.2.18), а Ах,(п) — работа внутренних сил на заданном перемещении и — по формуле (1.2.23). 48 ое и . о~,,=- Статически допустимой называется система, удовлетворяющая уравнениям равновесия (1.2.6) и статическим граничным условиям (1.2.9). Будем писать т ~ Т, если Г!!т т + Х =- О, т и !х, =- о'.

Разность двух кинематически допустимых систем удовлетворяет однородным кинематическим граничным условиям (1.2) оени,, если о(в, =О, (1.4) а разность двух статически допустимых систем — однородным уравнениям равновесия и однородным статическим граничным ус- ловиям тев Т,, если Ичт =- О, т.п!т, =- О. (1.5) Из (1.4) и (1.1) вытекает, что для функции о(х) ани, из (1.2.11), (1.2.9) следует ~ о;;в;; (о) Л' == А-' (о). (1,6) Из сравнения (1.6) с (1.2.15) видно, что решение задачи А является также обобщенным ее решением.

Если обобщенное решение достаточно гладкое, то оно является решением задачи А. В самом деле, решение задачи А должно удовлетворять условиям (!.1.1), (1.2.1), (1.2.6), (1.2.9). По определению обобщенного решения выполняются соотношения (1.1.!), (1.2.1), первое из граничных условий в (1.2.9). Применяя к тождеству (1.6) теорему Остроградского — Гаусса, получим Г (он;+ Х,) о,Ы вЂ” ~ (пыл> — Я;) о,г(У вЂ” О. (1,7) В силу произвольности поля ос=и, отсюда следуют уравнения равновесия и статические граничные условия (1.2.9).

Предположим теперь, что тензор напряжений потенциальный 49 Назовем кинематической системой произвольное векторное поле о(х), а статической системой — произвольное поле симметричных тензоров второго ранга т(х,1). Кинематически допустимой называется кинематическая система, удовлетворяющая кинематическим граничным условиям в (1.2.9). Будем писать 41.1.4), и массовые и поверхностные силы обладают потенциалом.

Тогда можно ввести «лагранжиан» Е: ь (и) ин Ф (и) — А' (и), (!.8) где Ф определяется формулой (1.1.17). Очевидно, тождество (1.2.15) можно записать в виде 03. (е (и), е (о)) ж,01. (и, о) = О. (1.9) Итак, задача отыскания обобщенного решения задачи А эквивалентна задаче отыскания «стационарной точки» лагранжиана Х(и). Если соотношения (1.1.1) достаточно гладки, то можно построить функциональные производные типа — (е(и))= — —" (и). (1А О) дем дем Если существуют функциональные производные (1.10) определяющих соотношений (1.1.1), то справедливо тождество Ф (и,) = Ф (и,) + А' (и, — и,) + 1 Р деп + — '] — (и1 + Ц (ие — и,)) (ем (ие) — ем(и,)] ]ен (и ) — ем (и1)] г(У. 2 д ден (1.11) В самом деле, введем функцию числового аргумента $: 1($) меФ(и|+ $(и» вЂ” и1)), 0<$<1, (1.12) которая допускает на указанном отрезке представление у(1) = у(о)+ у'(О) + — 'р'()), о< ай<1. (1.18) Подставляя в (1.13) выражения, полученные из (1.12), и учитывая (1.1.1) и (1.1.4), получим Ф(и,) = Ф(и„) + ] о,.;(и,)[е;у(и,) — ес~(и,)]йг' + 1 Р деп + — ] — '(и, + Ч(ие — и,)Цем(и») — ем(и,)] Х 2д деы Х ]е;; (и,) — е;; (и )] ог'.