победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 9

(1.14) Учитывая (1.6), отсюда получим (1.11). Предположим теперь, что «касательный модуль» среды положителен (1.1.10). Тогда в стационарной точке лагранжиан (1.8) имеет минимум. 50 В самом деле, полагая в тождестве (1.11) йг=пе=()о, а и1=и*„ где и* — решение задачи А, имеем, учитывая (1.1.10), 7. (й)=Ф(й) — А'(й) >Ф(и') — А'(и') + + — ] еп (й — й') е;; (й — и') й' > Ф (й*) — А' (и') = — 7.

(й'), (1.15т, что и требовалось доказать. Если среда обладает положительным касательным модулем, то существует не более одного обобщенного решения задачи А. Предположим противное: существуют решения и, и иь Тогда из (1.6) следует, что они удовлетворяют тождеству ] [ом(и ) — о„(и,)] е,.;(й) Й1:=- О, (1.16) Далее, [ом(и,) — ооо(и,)]ем(и) = ] — п(и, + $(ио — и,)) х дом о х [ем(и ) — е„,(и,)] е„.(й)о(й. (1.17) Поэтому, полагая в (1.17) еи(п) — = еи(ио) — е„.(й), получим: из (1.1.10) 0 =- ~ [и;;(й,) — о„(й1)] [ен(и,) — е,.;(и,)]о(У ~) > т ~ е;; (и, — и,) е;; (йо — й1) Ф". (1.18~ Отсюда следует, что еы(и,)= — еы (и,), (1.194 51.

т. е. поля и; (х) и и,(х) могут различаться только на смещение как жесткого целого. Однако в силу первого из граничных условий в (1.2.9) такие смещения недопустимы. Отсюда следует единственность решения задачи А. Точка минимума лагранжиана является единственной. Пусть. и1 и ио — две точки минимума функционала Е. Тогда для них выполняется условие (1.16) и в силу доказанной теоремы единственности ио=иь Упражнение 1.1.

Доказать, что если для изотропного упругого тела выполнены условия (!.3.54), то: $2. Принцип Кастильяно Рассмотрим квазистатическую задачу МДТТ в напряжениях (задачу В). Она заключается в решении шести уравнений совместности (1.2.19) и трех уравнений равновесия (1,2.6) относительно шести независимых компонент симметричного тензора напряжений и при удовлетворении трем граничным условиям (1.2.9).

06- ласть, занимаемая телом, считается однасвязной. Помножим скалярно соотношения (!.2.1) на тензор т~Т, и проинтегрируем по объему У. Тогда, используя теорему Остроградского — Гаусса и условия (1.5), получим ~ е;;т,;А' = Ах,(т, и'). (2.1) Сравнивая (2.1) с (!.2.22) и учитывая определяющие соотношения (1.1.2), видим, что решение задачи В является также обобщенным ее решением.

Но справедливо и обратное утверждение. Если обобщенное решение достаточно гладкое, то оно является решением задачи В. В самом деле, решение задачи В в односвязной области должно удовлетворять условиям (1.1.2), (1.2.6), (1,2.9), (1.2.19). По определению обобщенного решения выполняются уравнения (1.2.6), соотношения (1.1.2) и второе из граничных условий в (1.2.9). Вводя систему гладких функций и,(х), хе=У (обобщенные множители Лагранжа), можно записать ! т~;и;пп) — ') е,;т,!6У вЂ” ) кч (тч,; + Х,) сй~ =О. (2.2) 52 1) решение задачи А имеет не более одного решения; 2) лагранжиан в положении равновесия имеет минимум; 3) точка минимума лагранжиана является единственной. Упражнение 1.2.

Доказать, что если для трансверсально изотропного упругого тела выполнены условия (1.3.55), то справедливы все три утверждения предыдущего упражнения. Упражнение 1.3. Доказать, что если выполнены условия упражнения 4.10 гл. 1, то для изотропного линейного вязкоупругого тела справедливы все три утверждения упражнения 1,1. Упражнение 1А. Доказать, что если выполнены условия (!.5.9), то справедливы все три утверждения упражнения 1.1 для упруго-пластического материала.

Применяя к (2.2) теорему Остроградского — Гаусса в силу произвольности поля тенТм получим 1,, р е;;= — (хь;+ и;,;), х;~х,=и;, (2.3) Для того чтобы существовало непрерывное поле х, необходимо и достаточно выполнения условий (1.2.2), причем из (2.3) следует выполнение первого из граничных условий (1.2.9). Предположим теперь, что тензор деформаций потенциальный (1.1.4). В этом случае можно ввести так называемый «кастильяниан» й по формуле Ж (а) ж — <р(а) + Ах (а ио) (2.4) где ~р(а) определяется по формуле (1.1.17).

Тогда, очевидно, тождество (2.1) можно записать в виде РХ (о, т) =- О. (2.5) Следовательно, задача отыскания обобщенного решения задачи В эквивалентна задаче отыскания «стационарной точки» кастильяниана К(а). Докажем теперь, что в положении равновесия лагранжиан совпадает с кастильянианом. В самом деле, рассмотрим тождество (1.1). Используя соотношения (1.1.6), получим из него Ь (и') = 7» (а*), (2.6) где и*, о* — решения соответственно задач А и В, что и требовалось доказать. Предположим, что определяющие соотношения (1.1.2) достаточно гладкие.

Тогда если существуют функциональные производные деп(о)/доы определяющих соотношений (1.1.2), то справедливо тождество ~р (а") = ~р(а') + Ах, (о"" — а', и') + + — ~ à — и (аа + Ч (Ол — а')) (а„', — о' ) (а,-'.. — а! .) ~ А'. (2.7) В самом деле, введем функцию числового аргумента $ (0«Ц~!) р'ц) ви ~р(а»+ р (Ф вЂ” а')), (2.8) допускающую на указанном отрезке представление Р'(1) = ~(0) + ~' (О) + — )" (Ч), 0 < Ч < 1. (2.9) 53 + — ~ — н (ос + Ч (Ф вЂ” ссс)) (ое — о' ) (от — о' ) А'.

(2.10) Учитывая (2.1), из (2.10) получим (2.7). Предположим теперь, что среда обладает положительной касательной податливостью (1.1.11). Тогда стационарная точка кастильяннана (2.4) является точкой максимума. В самом деле, полагая в тождестве (2.7) а'=те=Ты а о'=ае (решенне задачи В), имеем, учитывая (1.1.11), Д'(т) = ср(т) + А (т пе) «' С вЂ” сР (и ) + Аа, (о, м«) — —" ~ (тм — и,'т) (тм — п,т) А' «,.- «,— ср(п') + Аа,(а', и«)=Ю(о'), что н требовалось доказать. Если среда обладает положительной «касательной податливостью», то существует не более одного обобщенного решения задачи В.

Предположим противное: существуют решения о' н о». Тогда нз (2.1).следует, что они удовлетворяют тождеству ~ (ес! (о«) — ест (Ф)1 тсрс(У = О. (2.! 1) (2.12) Далее, (ем(Ф) — ем (Ф)) тм — — 1 ~ — и (п1 + $(о« вЂ” ос)) (п2,— сс' )1 тмс($. о (2.13) Поэтому, полагая в (2.13) т=сс' — о', получим нз (1.1.11) 0 = ~ (ес (о') — е„(а')) (о~ — о! ) с()/ ) и $ (о~; — ос!) (ос; — псс!) с(У.

(2.14) Отсюда следует, что оп=оп, ».— т. е. единственность решения задачи В. (2.15) Подставляя в (2.9) выражения, полученные нз (2.8), н учитывая (1.1.4), получим ~р(о2) = ср (о') + ~ ем (а') (ор — а!.) с()с + Докажем, что точка максимума кастильяниана является единственной. Пусть а' и о' — две точки максимума кастильяниаиа Л'.

Тогда для них выполняется условие (2.12) и в силу доказанной единственности справедливо соотношение (2.15). Упражнение 2.1. Доказать, что если для изотропиого упругого тела выполнены условия (1.3.54), то: 1) решение задачи В имеет не более одного решения; 2) кастильяниан в положении равновесия имеет максимум; 3) точка максимума кастильяниана является единственной. Упражнение 2.2. Доказать, что если для трансверсально изотропного упругого тела выполняются условия (1.3.55), то справедливы все три утверждения предыдущего упражнения. Упражнение 2.3.

Доказать, что если выполнены условия упражнения 4.11 гл. 1, то для изотропного линейного вязкоупругого тела справедливы все три утверждения упражнения 2.1. Упражнение 2.4. Доказать, что если выполнены условия (1.5.14), то для упруго-пластического тела справедливы все три утверждения упражнения 2.1. $3. Новый вариациониый принцип дЧ1 Ецд —— дап,ь Назовем тензором потоков симметричный тензор второго ранга Х, определенный на поверхности Е: Хп Епьпы (3.2) Определим теперь оператор 7 по формуле ~— = ) (й) — Ус10о) А ~ Хмок;ЫЕ + ГГ! о + ) ~ — (Апплоцл + Вопя;в;„пд) + АХгпп,; — ВЯ;и;.пу ~ юг, (3.3) где А и  — некоторые размерные постоянные, отличные от нуля.

(3.1) 55 Рассмотрим квазистатическую задачу МДТТ в напряжениях (задачу Б). Она заключается в решении шести обобщенных уравнений совместности (1.2.26) относительно шести независимых компонент симметричного тензора напряжений о при удовлетворении шести граничным условиям (1.2.27). Область, занимаемая телом, считается односвязной. Дадим вариационную постановку задачи Б.

Для этого предположим, что существует такой скалярный оператор В, зависящий от градиентов напряжений, что выполняются условия потенциальности тензора (1.2.30) Докажем, что в положении равновесия оператор (3.3) имеет стационарное значение Р7 (а, ба) == О. (3.4) Заметим, что в (3.4) потоки т не варьируются (считаются «замороженными»), а затем подставляется их выражение по форму.

ле (3.2). В самом деле, произведя вычисления по формуле (3.4) и воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса, получим 1[хи,~хйща = х~[ „,,~х~ь „,,хх+ + В ~ (аып; — В~) бо;,лм(Е. (3.5у Здесь + й(! й(2 х (3.7) Лг (т) = ~ Ъ';;т;;с(У, Л'~ = — ~ ич (о) т,;ЯI, (3.8) % (т) = ~ (ВЯ'я,п, — АХ;тмл) сКЕ.

Введем обозначения )' =— — ~ (Аоп,;о,ах+ Вони;ог,п„)г(Е. 1 г 2,~ Тогда, очевидно, (3.9) 7 = — ~ — 7т' (о), (3.10) а интегральное тождество (3.6) можно записать в виде Р)(п, ) = Ф(т). (3.11) В силу произвольности вариаций из (3.5) следуют уравнения (1.2.28) и граничные условия (1.2.27).