победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 13

Из (1.27) следует, что потенциал йм соответ- ствующий задаче Б с граничными условиями (1.13), имеет в по- ложении равновесия минимум. Но граничным условиям (1.13) удовлетворяет и однородное напряжение (3.6), которое в силу эквивалентности задач Б и В является статически допустимой си- стемой, откуда и следует (3.10). Неравенства (3.5) н (3.10) играют большую роль при иссле- довании упругих композитов. Используя их, можно получить так называемую «вилку» Фойгта — Рейеса, т. е. ограничения сверху и снизу на эффективные модули упругости (или на эффективные упругие податливости). В самом деле, обозначая модули Фойгта, соответствующие (3.2), через Ь"„получим из (1.28) н (3.5) зо:Ь; во~во Ьэ зо Используя сокращенную запись, принятую в 3 1 гл.

1, неравен- ство (3.11) можно записать в виде й < йг (йы,„< й,дн). (3.12) При этом, как следует нз (3.2), 'и" =~)~ п С„, (3.13) а=! 76 При этом, как следует из (3.7), На=Я о .1„, (3.16) где Э вЂ” тензоры упругих податливостей а-го компонента композита. Пусть тензор четвертого ранга Ьа является обратным по отношению к Н": Ь =Ц~'оа.)а~ '. ! Тогда из (3.15)' для Ьа следует (3.17) па~)ь (3.18) Сравнивая (3.12) и (3.18), получаем вилку Фойгта — Рейсса: И <Ь<Ь». (3.19) Упражнение 3.1 Показать, что для двухкомпонентного упругого композита (д=2) нз (3.17) следует И=С,:(тС,+(1 — у)С,1-1:С,, (3.20) = ум + (1 — у)п,; рл = "'"' .

(3.24) ( ! — т))ч+т)м Упражнение 3.3. Показать, что для двухкомпонентного упругого композита, каждый компонент которого являетея изотропным с модулями сжатия Ка= Хд+ — ра, а=1,2, 2 (3.25) 3 модули сжатия по Фойгту К» и Рейссу Кл выражаются следующим образом: К" = гКг+ (1 — у)К~', Кл = ' ' . (3.26) (! — т)К1+тК1 77 где аь Оз— = 1 — т (3.21) Упражнение 3.2.

Показать, что для двухкомпонентного упругого композита, каждый компонент которого является изотропным, (Сцм)а= Хиблы+ Ра(быбы+ бцб)я), а= 1,2, (3.22) постоянные Ламе по Фойгту ),», н» и по Рейссу )и, да имеют внд 1» = ух, + (1 — у) ),; ) л = )чмзх,+за)(1 — т)+тх н.(зх,+2и 1(! — т) (З).,+2в,)+т(З),+2В,) Ц(1 — т) я,+та,) ' (3.23) Упражнение 3.4. Показать, что вилка Фойгта — Рейеса в условиях упражнений 3.2 и З.З изображается в виде (!я~ )!е~ )еи (3.27) Ка~Ке (К'", (3.28) где )ее и К* — эффективные модуль сдвига ()ее=бе) и модуль сжатия. Упражнение 3.5.

Показать, что для двухкомпонентного вязко- упругого композита, каждый компонент которого является изотропным с нерелаксирующим объемом, для модуля сжатия выполняются неравенства (3.28), где К" и Ки определяются в (3.2б), а для оператора вязкоупругости в* с эффективным ядром ве(!) выполняются неравенства а " и в (в -(в (3.29) где и ув1+(! — у)кве у-1-(1 — у) к —,а в ве(1 — у+ук) (! — у) ч+у ° е К к=— Ке то справедливы неравенства (3.29), причем вместо (3.30) следует положить вя = уеч+(! у) * вя = е(1 у+ук) (1 а ) (3 32) у+(! — у)к ! — у где де — оператор, определенный по формуле (1.4.29), причем — кж — '. )(е (3.33) 1 — у К, Упражнение 3.7. Показать, что для упруго-пластического д-компонентного композита, каждый компонент которого описывается модулем сжатия К, и функцией зависимости интенсивности тензора напряжения от интенсивности тензора деформации п(~! = Ф(и! (е!"'), а = 1, 2, ..., д, (3.34) справедливы неравенства (3.28) и е„ еи еи ~ и„"(е„)е(з„(~ а„(е„)!(е„(~ в„(е„)де„, (338) о а о 1 — у+ук (3.30) укке+( 1 — у) ке а ве и ит, а такжев, н и„— взаимно-обратные операторы вязко.

упругости, характеризующие каждый компонент. Упражнение 3.6. Показать, что если в условиях упражнения З.б второй компонент композита является упругим ве = ве = сопз(, (3.31) где па«(еа) — эффективная функция, связывающая интенсивности тензоров напряжений и деформаций композита, а « « К = 1 оаКа, — л = Д вЂ”, (3.36) 1с 1 а» оа Ь 1(а а-1 «=1 пг(е„) = ~1~~ оап1~1(е„), о~ (е„)ж(ел (о„))-т, а 1 е„(па) = ~~)1 оае1а1 (Па), (3.37) Рас. 12. а=| причем знак ()-' означает, что берется обратная функция от функции, заключенной в квадратные скобки.

Упражнение 3.8. Показать, что зависимость К" и К" от у может быть изображена графически в виде рис. 12 для случая К~> )К., причем эффективный модуль К* лежит в заштрихованной области (вилка Фойгта — Рейеса). 2 4. Вилка Хашина — Штрикмана Вилка Фойгта — Рейеса для многих упругих компознтов оказывается достаточно «широкой» (см., например, рис. 12).

В ряде случаев эту вилку можно несколько сузить, если воспользоваться вариационным принципом, сформулированным в 5 4 гл. 2. Для этой цели рассмотрим функционал (2.4.22), который можно записать в виде А= — — =- (о:е') + 2(р:е ) — 2(э(р)) + (р: и'). (41) Если обозначим каждое слагаемое в (4.1) следующим образом: Гпс . ес) — А 1 . 2 (р ° ес) — А— '«' (4,2) 2Ю, 2Ф4 — -2(ш(р)) = А, = — —; (р: е') — = А,= — ', у то получим А = Ат + А» + А» + А4, Р = Рт + Р, + сР» + Рм (4.3) причем, зная решение задачи (2.4.4). (2.4.5) для однородного упругого тела, находим Аь Аь Ае как функции от тензора поляризации р.

Для того чтобы А4 выразить в виде функции от р, нужно найти е' из решения задачи (2.4.16), (2.4.17). После этого необходимо найти экстремум функционала Х(р, С'), который зависит от тензора С' как от параметра. 79 Согласно вариационному принципу Хашина — Штрикмана экс- тремальная точка этого функционала будет точкой максимума, если Сс < — ~=- —, дЮ(е) де (4.4' / и точкой минимума — если С ) (4.5) Если каким-либо образом определены эффективные определяющие соотношения исследуемого композита (взаимно-обратные операторы 7 и й) и= Це), е =- п(о), (4.6) то, как было установлено в $1, лагранжиан задачи (2АА), (2.4.5) совпадает с лагранжианом задачи, решенной по теории эффективного модуля, т.

е. с теми же входными данными, что у задачи (2.4.4), (2.4.5), ио с эффективными определяющими соотношениями (4,6). Обозначим функционал У(Р), соответствующий задаче, решенной по теории эффективного модуля, через ле*(Р), 2 ~*(Р) А'(Р) = (4. 7) Тогда из сказанного выше можно утверждать, что л а1е(Р) < ет (Р) < л мах (Р)1 Апы (Р) < А (Р) < А~ах (Р) (4'6) где индекс пнп означает, что экстремум соответствующих функционалов вычислен при условии (4.5), а индекс шах — что экстремум этих функционалов берется при условии (4.4). Рассмотрим д-компонентный композит, каждый компонент которого имеет определяющие соотношения (2.1), и предположим, что граничные условия (2.4.2) и (2.4.5) краевых задач, рассматриваемых в з 4 гл. 2, имеют вид (1.7), т.

е. такой, какой мы выбирали при определении эффективных определяющих соотношений. Если бы мы смогли решить точно задачу (2.4.1), (2.4.2) при таких граничных условиях, то мы бы нашли точные эффективные определяющие соотношения (1.11). Вариационный принцип Хашина — Штрикмана позволяет найти приближенное значение этих соотношений, не решая задачи (2.4.1), (2,4.2), Очевидно, что из репгения задачи (2.4.4), (2.4.5) при выбранных граничных условиях следует ее — ее (4 0) т. е.

е' — однородная деформация. Из результатов З 1 следует также, что для задачи (2.4.1), (2.4.2) средняя деформация будет 80 равна (1.10) (е) = е0, (е') = 0 (4.10) Поэтому (Ос) (Сс ° Е) — Сс ° Е0 — О0 (4. 11) и, следовательно, первые два слагаемых в (4.3) могут быть конкретизированы: А ео ° Сс ео Ае — 2 (р) 00 Упражнение 4.1. Доказать, что из формулировки задачи (2.4.16), (2.4.17) следует (р: е') =- — (е': С': е').

й) (4А3) Выберем тензор р постоянным внутри каждого компонента р . Тогда (р) = ~~~ ~ОаРа (4.! 4) Так как оценки (4.8) не должны зависеть от геометрии тела„то мы будем упругое тело сравнения считать неограниченным. Тогда задачу теории упругости (2.4.16), (2.4.17) для неограниченной области можно рассматривать в силу (4.14) как задачу о действии объемных источников в упругом пространстве. Векторное поле и'(х), являющееся решением этой задачи, определяется как сумма решений Кельвина. Поэтому выражение А4 (4.2) может быть легко найдено. Итак, все величины правой части (4.3) известны: А е0 с с е0 А 2 1)~~ о р ее а Аз = — 2 ~ Ваш(Ри) Ас = (е': Р) = Дь Ва (е' )а: Ра ° (4.15) аеа При этом только в выражение Ае входят характеристики исследуемого материала, Величина А становится функцией постоянных величин р,.

Определив экстремум этой функции, находим оценки (4.8). Рассмотрим композит, каждый компонент которого изотропен. Разложим тензоры р, е, е0 на шаровую часть и девиатор: 0 р = — р1 + р, е = — Ы + е, е0 = — 60! + ее, (4.16) з - -'- з - -'- з (4.26) де ~ ы ~ — длина вектора ы. Заметим, что решение уравнений 4.25) не изменится от того, что мы к тензору р прибавим постоянный тензор.

Поэтому вместо тензора р можно ввести в (4.25) :нормированный» тензор р'. р= р + <р>, <р > =- о. (4.27) Пусть Р'(э) — образ Фурье тензора р'. Умножая уравнение (4.26) скалярно на вектор в, получим м.Р'. и ь (7=1 (рс+з„„с) ~ р (4.28) Подставляя (4.28) в (4.26), выразим вектор (7: У= [ — хсзр Я Р' й) + Р' /г), с~ „~ (4.29) где й — единичный вектор: А = ", х': ~' — ~ +~ — . (4.30) х~+зх зк +4н 2(1 — ~) ' / где Е(а) — образ Фурье тензора е'(х). Пусть (7(ы)' — образ Фурье Отари(х). Из (4.29) видно (4.32) Подставляя это выражение в (4.31) (в силу симметрии тензора Р в (4.31) вместо Е(э) можно подставить (7(в)), получим 2сУ' = ~ Р: 1(хсзр Р' й) й ® й — (Р'й) ® х1 А'„(4.33) 83 Теперь путем обратного преобразования Фурье к (4.29) можно получить решение и'.

Однако нам нужна более скромная информация. Пользуясь обобщенной формулой Парсеваля, получим 2Ф4 = ~ р: з'сП1, = — ~ Р (гв): Е (в) с(У„, (4.31) г где а, = — (в(' — 1) = —— с 9)вс 3 ЗКс+4)вс Ь, = — ~ — яс — 1~ =-— ! / 2 ( 3(Кс+2)вс) Знс '( 3 ц;(Зкс+49 ) ' После того как найдены все слагаемые выражения А (4.3), можно отыскать экстремум этой величины, для чего заметим, что с она является функцией 2() переменных: Р„и Р, а=1, 2, ...,(). Для отыскания экстремума продиффереицнруем А по каждому из этих переменных. Так как (4.34) дА, 2 . дАв 2Райсс оайв) др 3 др 9(К„-К') ' 2рсо Ра — 2а,оа (Р>, а = 1, 2,..., (), дАв — =О 1 дра дА4 др„ (4.35) длс д ра (а) д (а)( (а)) — 2оа ! (а) — =О, = =2о„е', дАв дАв др дра (а) ддв дра 2Ьсоара 2Ьсэа (Ра) ~ (4.38> а= 1,2, ...,(), то получаем две системы по (1 уравнений в каждой для опредею леииЯ величин Р и Р„.