победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 6

(à — т) ~ (о, з) зы (т) Ж, о о О = $ А, (à — т) и (т) бт + ~ Ач (à — т) т1 (о, з) о (т) с(т, (4.50) зЫз(т)=зн(т) зч(т), но нелинейные ядра ползучести считать функционалами от тензора напряжений. Если фиксирован конкретный процесс нагружения, то можно найти нелинейные ядра ползучести через известные нелинейные ядра релаксации методом последовательных приближений. $5.

Упруго-пластическое тело (5 1) а девиаторы этих тензоров — по следующему закону: (з;; = — "е;; ). з= — е о е„ (5.2у Здесь а, — интенсивность тензора ность тензора деформаций: п„ж(1гз)и'. напряжений, е, — интенсив- е„— = (1ге )па (5.3) (п„~) 'з„згт е„ивф'е;;е;; ), причем между этими величинами имеется некоторая зависимость п,=Ф(е,), (5.4) устанавливаемая экспериментально. Типичный график кривой Ф(е,), являющейся универсальной функцией данного материала, представлен на рис. 5, причем 1й~р=2И=26. Функцию Ф(е,) можно представить в виде Ф (аи) =2р(1 — м (ед)) ви, (5.5) где е(е~) — функция пластичности А. А.

Ильюшина, характерный график которой показан на рис. б. 34 Рассмотрим склерономную модель изотропного однородного тела. Будем считать, что шаровые части тензоров напряжений н деформаций для нее связаны между собой по закону теории упругости (4.47) Из графиков, представленных на рис. 5 и 6, и формулы (5.5) ВИДНО, ЧтО ПРИ Еи~з„ИЛИ ПРН Пи<Пи (тОЧКа (Е„б,) На ГРафИКЕ рис. 5 называется пределом текучести и находится для данного материала из эксперимента) тело ведет себя упругим образом. так как определяющие соотношения (5.1), (5.2): а= КЫ7+ —" Ь вЂ” — 01~ е ~- 3 -/ и (5.6) являются линейными. При е >е, или ои>п, прямая на графике рис.

5 переходит в кривую, и с этого момента определяющие соотношения (5.6) становятся нелинейными. Описанная выше модель МДТТ являлась бы моделью физически нелинейного упругого тела, если бы не одно обстоятельство. Дело в том, что если мы Рос. 6. Ряс. 6. путем монотонного нагружения образца достигнем напряженнодеформнрованного состояния, которому на графике рис. 5 соответствует точка (е,*, оии), и затем снимем нагрузку, то процесс разгрузки будет описываться не кривой (5.4), а прямой, изображенной на рис. 5 пунктирной линией.

Если е", зи — девиаторы теизоров деформаций и напряжений, соответствующие точке начала разгрузки (е,и, оии), то процесс разгрузки может быть описан законом з — зн=2Р(е — е*). (5.7) После полной разгрузки величине п„=О, как видно из рис. 5, будет соответствовать интенсивность тензора деформаций е и, которая описывает пластическую (остаточную) деформацию. При повторном монотонном (активном) нагружении образца связь между интенсивностями тензоров напряжений и деформаций будет описываться прямой, изображенной на рис, 5 штриховой линней, и только после достижения точки (е,*, и„*) снова можно пользоваться зависимостью (5.4).

Введенная таким образом модель упруго-пластического тела не может быть описана формулами связи между напряжениями и деформациями, а только словесно, ибо нужно все время следить за направлением процесса — происходит ли нагрузка или разгрузка. Дело еще более усложняется в случае неоднородного напряженного состояния. Описанная модель упруго-пластического тела составляет основу теории малых упруго-пластических деформаций, разработанную А. А. Ильюшиным.

Эту модель иногда называют деформацнопной теорией пластичности, но между этими теориями имеется с)щественное различие. В деформационной теории считается, что описанная модель упруго-пластического тела справедлива для любых процессов деформации и нагружения, т. е. для любого изменения со временем тензоров е(1) и з(1). Теория малых упруго-пластических деформаций строго справедлива только для так называемых простых процессов деформации и нагружения, т.

е. в случае, когда тензоры е(1) и з(1) изменяются пропорционально одному параметру: е(х,1) =- а(Г) е'(х), з(.з.,г) = (5(1)ь-(х), (5.8) е =Ф '(и„), (5.10) где Ф ' — обратная к функции Ф. Тогда соотношения (5.2) можно записать в виде (5.11) и и и П и благодаря (5.1) получим е = — 7+ — (а — а7). еи ЗК- и и (5.12) 36 где тензоры е'(х) и Ф(х) от времени (точпее, параметра нагружепия, так как модель упруго-пластического тела — склерономная) пе зависят. Более того, доказано, что все теории пластичности в случае простых процессов совпадают с теорией малых упруго-пластических деформаций.

Если подставить определяющие соотношения (5.4) — (5.7) в уравнения равновесия (2.11) и граничные условия (2.12), то получим формулировку задачи А для упруго-пластического тела. Для решения этой задачи А. А. Ильюшин предложил так называемый метод упругих решений и указал условия его сходимости: О( в~~ а+ — е„( 1.

~Ь (5.9) Ые,, Упражнение 5.1. Доказать, что при выполнении условий (5.9) выполнено неравенство (1.1О), т. е. «касательный модуль» положителен. Упражнение 5.2. Доказать, что прн выполнении условий (5.9) выполнены неравенства (1.13), причем материал обладает мягкой характеристикой. й) В силу монотонности функции (5.4) интенсивность тензора деформации можно выразить через интенсивность тензора напря- жений Предположим, что функцию (5.10) можно представить в виде ф-'(а ) = — [1 — 11(п )[и, (5.13) 2и где функция Й(а„) удовлетворяет неравенствам 0<а<а+ "" „<1. (5.

14) иг„ Подставляя определяющие соотношения (5.12) как оператор связи между деформациями и напряжениями в (2.19) н (2.26), получим статическую (квазистатическую) задачу теории малых упруго-пластических деформаций (2.19), (2,6), (2,20) (задача В) и задачу (2.26), (2.27) (задача Б). Решение этих задач также может быть получено методами последовательных приближений, причем на каждом шаге решается упругая задача. Упражнение 5.3. Показать, что для упруга-пластического тела и аи Я7 ~ а„йв„+ — Кби ю= ~в йп + — пи.

(5.15) о о Упражнение 5.4. Доказать, что при выполнении условий (5.14) выполняются неравенства (1.11), т. е. «касательная податливостью положительна. Упражнение 5.5. Доказать, что при выполнении усчовий (5.14) выполняются неравенства (1.14), причем материал обладает жесткой характеристикой. й, Упруго-пластическая среда называется несжимаемой, если г)!ч и~0=0.

(5.16) В этом случае уравнения равновесия можно записать в виде ягаб и + 2р 0|ч [(1 — в) е (и) 1+ Х = 0 (5.17) (пл + 9 [(1 — в) ес [л + Х, = О). Таким образом, для определения четырех функций и, о имеем четыре уравнения (5.17), (5.16) и граничные условия и(х, — — и', [о7+ 29(1 — в) е(п)] п)х, =-5и.

(5.18) Возникает вопрос, существуют ли такие среды, в которых можно выбрать входные данные таким образом, чтобы в каждой точке среды одновременно осуществлялся простой процесс. Упражнение 5.6. Доказа7ь теорему о простом нагруженни (А. А. Ильюшин), Если материал несжимаем (5.16), интенсивности тензоров напряжений и деформаций связаны между собой степенным законом и и„ = св„„ (5.19) 37 где с и л — некоторые постоянные (первая имеет размерность напряжений, вторая — безразмерная). Если, кроме того, поверхностные и объемные силы оа и Ха возрастают пропорционально одному параметру хю а заданное перемещение йа пропорционально другому параметру х„: 50(х,1) = хг(1)3,(х), Х(х,1)= хг(1)Х,>(х), (5.20) й' (х, 1) = х„(1) и (х), причем хг= (хи)" (5.21) то процесс деформаций и процесс напряжений будет простым в каждой точке среды.

й) При решении задач термопластичности вместо соотношения (5.1) нужно записать а= Х(Π— Заб). (5.22) Следует также учесть, что функция пластичности А, А. Ильюшина а может зависеть от температуры: о~=в(е„1'). (5.23) Ко всему следует добавить уравнение теплопроводностн (2.31) с граничными условиями (2.32) и начальными данными (2.33), причем в (2.31) следует положить Р = Ои (О) (еи) его (5.24) й 6. Установочные эксперименты Как уже отмечалось, феноменологическая теория МДТТ описывает только некую абстрактную математическую модель, которая может быть использована для качественной и количественной оценки реальных материалов с той илн иной степенью точности.

Вопрос о выборе математической модели для проведения прочностного расчета реальной конструкции или материала решается только из сравнения результатов теоретического исследования с экспериментом. В этой связи экспериментальные исследования можно условно разбить на два типа: установочные эксперименты (с помощью которых устанавливается выбор той или иной математической модели) и проверочные эксперименты (с помощью которых проверяется точность расчета, проведенного по выбранной модели).

Здесь мы исключаем из рассмотрения самостоятельные экспериментальные исследования, ие нуждающиеся ни в какой теории (например, натурный эксперимент: развалится илн не развалится исследуемая конструкция под действием определенных нагрузок). Установочные эксперименты, опять же условно, можно также разбить на две группы: общие установочные эксперименты (в которых устанавливаются некоторые общие свойства операторов связи между напряжениями и деформациями) и модельные установочные эксперименты (в которых определяются материальные функции выбранной модели, т.