победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 5

Участок кривой ползу- чести (рис. 2) 11~1~1е называется участком установившейся пол- ПЩ П б б Рис. 2. зучести, а участок 1>12 — участком неустановившейся ползу- чести. Вязкоупругие материалы иногда в литературе называют материалами с памятью, так как материал как бы помнит, что с ним происходило раньше, и ведет себя в зависимости от этого прошлого. Рис. 4.

Рис. 3. В самом деле, если, например, деформация образца происходит так, что йачиная с некоторого момента времени 1=11 она постоянна, а напряжение в этот момент равно нулю (рис. 3) при 1>11, е (г) = е, = сопз1>0, о (1~) = О, (4.8) то в случае справедливости соотношений (4.5), (4.6) возможно, что при г>г1. о(1) >О. (4.9) Как показал П. Мазилю, единственным исключением является материал Максвелла, т. е.

1с(г) =Ее-еп~ т)>0 (4.10) для которого при г>11 всегда о(1) =О. Другим примером, выясняющим специфику поведения вязко- упругого материала, может служить процесс напряжений и соответствующий ему по формуле (4.6) процесс деформаций (рнс. 4). Упражнение 4.1. Доказать, что всегда найдется такой момент времени гс (рис. 4), что и (г+) < г, 'и (О ~ (4,11) и=о+ 21 и кривая е(1) при 1>1з убывает, несмотря на то что в момент 1а произведена догрузка. Упражнение 4.2. Доказать, что для кривой ползучести, показанной на рис. 2, при выполнении соотношений (4.5) и (4.6) обязательно )г„=О (рис. 1). Упражнение 4.3. Показать, что, для того чтобы И ФО, необходимо, чтобы кривая ползучести (рнс.

2) имела горизонтальную асимптоту П=П при 1-~-со, причем П-Й = 1 Я = — 11шР(1)) Ю (4.12) с-. Рассмотрим колебания вязкоупругого тела. Положим . м = ~ "''" " О при 1(О, (4.13) где 1 — комплексная единица, еэ — амплитуда, в — частота колебаний, Действия с экспоненциальными функциями проще, чем с тригонометрическими, а поэтому ари линейных процедурах можно использовать запись (4.13), имея в виду, что в конце этих процедур от полученного выражения может быть взята действительная или мнимая часть. Выделим теперь в функции релаксации величину Я , если она отлична от нуля; Величина в квадратных скобках (4.15) называется комплексным модулем Яе (1ы) )э +У+®с (4.16) где Р'(в) =е ~ Я(т) з)п огпЖ, о (4.17) й'(в) = в ) й (т) соа атлет. о Упражнение 4.4.

С помощью преобразования Фурье (приложение 1Ч) показать, что можно восстановить Я(1) по заданной функции )г'(со) из (4.17): (4. 18) 2 г Р(о)) Я (1) = — ~ — в1п впйо, о (4.19) 28 й(1) =Л +Я(1). (4.14) Подставим (4.13) в (4.5) и, используя выражение (4.14), получим о (1) = е (1) [)т + йэ ) й (т) е †'<'Мт~.

(4.15) о а также по заданной функции )('(в) из (4.18): )г (г) = — ~ — соа гог йо. 2 гя»(в) о Упражнение 4.5. Показать, используя (4.19) и (4.20), что между функциями г('(в) и г('(в) существует зависимость ФЭ (4.21) и 5(в' — 5») о (4.20) Упражнение 4.6. Показать, что процессу деформации (4.13) соответствует процесс напряжения и(() = п,еив'+о1 при ( =.

О, 0 при ((О, (4.22) где по= «Е'((в) ~ео, ср(в) = агс1я й,+ и' (4.23) Упражнение 4.7. Показать, что для комплексной податливости .(о (Йо) справедливы соотношения ,Г((в)ж =.( + Р+ 1Р, Е*(гв) .l +Р=, Р=-— Е +Е~ Е» (4.247 (Е +Е»)о+(Е~)о «и +Е»)»+(Е~)о ,Г =-- «Г«е™р, «,Г!= —. й) 1 (Е'« Нетрудно теперь дать обобщение определяющих уравнений на трехмерный случай. Для этого нужно в соотношениях (4.1)— (4.7) и во всех последующих произвести замену п-»-п, е-» е, Г-~Г, К-»-К, )г-з.ц, П-» П, Š— » С, — -».3.

(4.26) 1 Е (4.25) Например, вместо (4.5) нужно записать и = ) (т(г — т): йе(т) аа 1т: е о (4.27) ~ПП = ~ ~0»1 Ы вЂ” т) "ЕМ(т) —= ~ЗМЕИ~ о Число независимых компонент тензора функций релаксаций Гт(1), так же как и тензора функций ползучести П(1), для различных (4.28) О = ) П,(~ — т)сйт(т)= — Пди, е= ~П(1 — т)сЬ(т)ждосз. о о На основании введенных коммутативных операторов Л, Лс, П, Пд (из которых только два могут быть независимыми) можно строить другие. Например, (4,29) зМ, з где р — некоторое число. Уравнения равновесия для линейной вязкоупругой среды получаются подстановкой определяющих соотношений (4.6) в (2.6) 01т(дг: р®и)+ Х= 0 (Рдссосио,с Кс + Хс = О).

(4.30) Тогда квазистатнческая задача теории вязкоупругости (задача А) заключается в решении уравнений (4.30) при удовлетворении граничным условиям, например (2.9): и)х, = и', С: р (9 и п)г, = Я' (ис ~з, = ис, Сссосио.сссс ~з. = Яс ). о о (4.31) В частности, для нзотропной однородной среды уравнения (4.30) приобретают вид 2+ со Ьи + — игаб б(ч и = — 2П,Х. 30д (4.32) Из соображений размерности решение задачи (4.32), (4.31) может быть записано в виде и= И 1срд (в) Х+ ср (в) У) + ср (в) ио, (4.33) .где срс(в), у=1, 2, 3, — функции безразмерного оператора в (4.29) и линейные функционалы от величин, стоящих справа от операторов. Если соответствующая упругая задача решена, то решение вязкоупругой задачи может быть дано с помощью метода аппроксимаций А. А.

Ильюшина. Этот метод заключается в аппрокси- 30 классов анизотропни может быть получено аналогично тому, как это сделано в $3. В частности, для изотропной упругой среды имеем с сг = ') сдс (Ф вЂ” ч) с(О (т) = Я,О, з = ) Я (У вЂ” т) с)е (т) — г(е, о о нации функций от операторов «р(в) такими выражениями, кото- рые могут быть легко расшифрованы. Например, в с ф (в) =- Ав + — + —, а !+!3м (4.34) где А, В, С могут быть найдены хбтя бы методом наименьших квадратов.

Заметим, что для многих изотропных вязкаупругих материалов объем ие релаксирует, т. е. Р~ (~) = Й~ (О) = К; П~ (!) = Пт (О) = 1/К. (4.35) Для формулировки квазистатической задачи Б линейной теории вязкоупругости изотропиого однородного тела достаточно в уравнениях (3.25) заменить упругие постоянные на операторы 2+э Ло~! + — Йл! — еб96;;+ а(о!ь,ь!+ и!км) + а (! — зе — ю) + ом,мбы+ Уы = О, ! — в 1',чж(1+ а) (Хс;+ Х;„+ Хкл 6 !), (4.36) ! — м где е, й — произвольные линейные операторы, от которых решение задачи (4.36), (2.27) не зависит. При формулировке определяющих соотношений физически нелинейной теории вязкоупругости обычно исходят из представления операторов (1.1) или (1.2) в виде интегралов возрастающей кратности.

Затем, чтобы сделать теорию «серьезной», вводятся разумные допущения. Определяющие соотношения нелинейной вязкоупругости достаточно общего вида могут быть, например, заданы в виде пы = ~А~;,ц „(г, т) еь,(т) р „((,т)!(т; 4 (4.37) 31 где ! "! ' обозначает теизор, обратный тензору, заключенному в квадратные скобки. Здесь А;н,,(г, т), д „„((,т) — компоненты тензоров ядер релаксации шестого и четвертого ранга соответственно, а — некоторый малый параметр. (При а=О соотношения (4.37) превращаются в соотношения линейной теории вязкоупругости.) При решении задач термовязкоупругости в случае, когда свойства материала зависят от температуры, часто пользуются температурно-временной аналогией. Для этого вводится так назы- ваемое местное время 1', связанное с физическим временем зави- симостью (4.38) О где функция аг определяется экспериментально.

Благодаря замене (4.37) в определяющих соотношениях термовязкоупругости не будет явной зависимости от температуры, и оии формально изменятся только тем, что в них физическое время 1 заменится на местное (приведенное) 1'. Вязкоупругая среда имеет способность к рассеиванию энергии н поэтому при решении задач термовязкоупругости нужно учитывать величину Ф'*, входящую в уравнение притока тепла (2.31). Для вязкоупругих тел (р' = и: (е') — — (а: П (0): о] .

Упражнение 4.8. Показать, что для линейного вязкоупругого материала У7(е) = — ~~сне(Е): м(1 — т): бз(т), о« (4.40) в(п) = — ~~йк(1): П(1 — т): сЬ(т), где тензоры К(г) и П(1) в (440) симметрично продолжены в область отрицательных времен так, чтобы К( — 1) =11(1), П( — К)= =П(Е). Упражнение 4.9. Показать, что для изотропной линейной теории вязкоупругости с нерелаксирующим объемом справедливы соотношения йпы(Ю) = К~бнбы + аъ(К) ~бцбя + Ьсфы Ьмбц) ~ (4 41) 3 / 2 1 Г з 2 Пцы (1) = — ~ ЬОЬм + — п(1) ~Ьыбп + Ьмбга — — Ьмбы ) ~ (4.42) где п(1) — ядро оператора, обратного к вк и = 1/~». (4.43) Упражнение 4.10. Доказать, что если функции релаксации Я(1) и Я~ (1) изотропного вязкоупругого тела, абсолютно интегрн* руемые на оси времени 0~1(ао, положительны на ней и ограничены, тб «касательный» модуль этой среды положителен.

Упражнение 4.11. Доказать, что если выполнены условия предыдущего упражнения для функций ползучести П(1), Пг(1), то изотропная вязкоупругая среда обладает положительной «касательной» податливостью».. й: В заключение рассмотрим главную квазилинейную теорию вязкоупругости для изотропной среды, определяющие соотношения которой являются частным случаем соотношений (4.37): з;; ==- ) Г(1 — т)е;;(т) е(т — ( Г„(1 — т) 4о(е, 6) е;1(т) Ж, (4.44) и = ~ Г, (з — т) 6 (т) г(т — ~ Гя (г' — т) ф (е, 6) 6 (т) йт, о о (4,45) еже(т) =е,;(т) е;,.

(т). Здесь мы также считаем, что линейные и нелинейные ядра релаксации разбиваются на сингулярную и регулярную составляющие: Г(з) --266(г) — Г(1), Г,(1) = КЬ(г) — Г,(з), (4.46) Г, (г) =- 'Г,б (1) — Г, (г), Г, (г)=- 'Г,б (1) — г, (1). о о Если Г,=Г„=О, то соответствующая теория называется главной квазилинейной с мгновенной линейной упругостью. В случае, если объем среды изменяется упруго, соотношения (445) принимают вид п=К6. (4.47) Если же рассматривается несжимаемая среда, то физические соотношения (4.44) и (4.45) принимают вид зп =- ~ Г (1 — т) е;г (т) г(т — ') Г„(1 — т) зр (е) езт (т) дт. (4 48) Если в теориях (4.44), (4.45), (4.48) положим г(1) = г, (г) = г,(1) =- гч(1) = о, (4.49) то получим из (4.48) теорию малых упруго-пластических деформаций для активных нагружений Ильюшина.

Важно отметить, что главные нелинейные теории релаксации и ползучесги, вообще говоря, не являются взаимно-обратными. Однако если функция релаксации Я(1) такова, что ее производная мало изменяется, можно указать два случая, когда они являются взаимно-обратными с некоторой степенью точности. В общем же случае соотношения главной нелинейной теории релаксации, на- зое ге зз гее зе»гзе ге греге е ЗЗ оеоз грозе гхелге я Б. е. Побед»о пример (4.44), (4.45), можно обратить и представить в виде главной нелинейной теории ползучести: е; г = ) К (г — т) зы'(т) бт + ) К.