учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 8

Л 1«+О (9) !хр,х 1 Величина 1)„не завпсит от й. Ее можно заран"е вычислить илп оценить. В частности, 111= 1/4, !)2 = 2/(3 ~/3), 112 = — 1, Пр < 3,7, Й.- ( 17. (10) Величина Мл+1 прп малом й мало отличается от ]/<л+')(хр) [. Во всяком случае, если [хр, хл]с:[а, Ь], то М„'+1 ~( Мл+1, (1!) где М„+, — — гпак[) "+ '(х)]. 1«, Ы Таким образом, согласно (8), (1!) максимальная погрешность интерполяции на отрезке [хр,х„], т. е. гпах [1(х) — 7.„(х) [, есть 0(йлы).

Отметим, например, 1'р '«1 что так как Мл+1 'Мл+1, то при уменьшении шага л»лл л й вдвое правая часть оценки (8) уменьшится по крайней мере в 2" ы раз. Исходя из усиленной оцепкп, получаемой нз неравенства (8), в которое вместо М)'+, в соответствии с (11) подставлено Мл+ь выбирают шаг й таблицы значений функции [ на отрезке [а, Ь], с тем чтобы обеспечить заданную точность интерполяции. Прп 45 Гл !. ПГ1!" лижГВПГ Фхнкц1пл миого1!Лсплми этОм пмсстся сщс Бозможпос!ь Вары1рОВать В некоторых пределах степень и интерполяцпонпого многочлспз.

Если функц!ш ! достаточно гладкая, !о поьышеппе и Вначале обьчпо ведет к увеличению допуст!Вмо!о !1, по, с другой стороны, усложняет интерполяцию н усилпьает влня:ше неустранимых погрешностей табличных значений. На практике редко используют интерполяцию с а ) 5. 3 а м е ч а н не 1. При заданном х узлы интерполяции хо, хь, х„расположенные с шагом 11, целесообразно выбирать из совокупности всех узлов заданной таблицы функции так, чтобы точка х оказалась возможно ближе к середине отрезка 1хо, х„). Это связано с тем, что колебания функции (4.11), соответственно функции (6), вблизи середины указанного отрезка меньше, чем у его концов. На рис. 2 изображен график функции (4.11) при а = 4.

Рис. 2 Если точка х, в которой производится интерполяция, удовлетворяет нсраиенстиу (12) то для погрешности интерполицпи справедлива оценка с ы 5!с ! ) !(х) — !.с(ху йсы 0, "",„а"„, (13) где ь1~ = гпах ) со„(1))!. В частности, 1Π— ом!< Иа о ! о 3 о '.! о 55 о 225 о,= оа=, 52„= —, 521=„', оз= . (14) Сопоставляя величины (14) и (1О), видим, что оценка погрешности интерполяции (!3) является более точной, чем (8), для х, удовлетворяюших условию (12). $8. кОнечные и Рдзделенные Разности 47 8 8.

Конечные и разделенные разности Конечные р аз ности„Пусть х» = х, +И, где 'я — целое, й ) О, 1» = 1(хд). Величина Яд = ) (хд + Ь) — 18 (хд) = 18 (хд+ 1) — 81 (хд) = 1»+1 — ~д (1) называется конечной разностью первого порядка фУнкции 1 в точке хд (с шагом и), а йтд = Д(М») =Ма+1 — Мд = =(7»+8 — )д, 1) — ()д, 1 — )д) = 7» — 2) »+1+ 7»+г (2) есть конечная разность второго порядка в точке х„. Вообще, конечная разность и-го порядка функции 7 в точке хд определяется по рекуррентной формуле Д"| =Д(й" ')»)=Л" 1» 1 — Л" 1», (З) где и ) 1, г»81» = 7».

При вычислениях конечные разности удобно записывать в виде табл. 1. Т абзаца 1 хз хз дзз дзз хз 'Лемма 1. Если 7ееС„1хд,х»+„], то существует такая точка Ч ~ (хд, хд+,), что Д»1 йз)т») (11) (4)' В силу (1) формула (4) прп и = 1 совпадает с известной формулой конечных приращений Лагранжа. Докажем ее при и = 2. Пусть гр(х) = 7(х+ 8) — 1(х). Тогда согласно (3) Лз(д = зр(хд+ й) — зр(х») и, следовательно, по формуле конечных приращений Лагранжа ДЧ» = йзр'(11 ) (8) тз В 1» 6 1» Дгз Д11 Д "з Д1 з Д'|з ДЧз Д»1» 43 Гл !. пРИГЛИ!кгннс Функций многочлвнхлщ где Ч, е= (хя, хл + й) — некоторая точка.

Но ч '(ч ) = Г(ч!+ й) — Г(ч ) Применяя еще раз формулу конечных приращений Лагранжа к функции (', получаем р'(ч ) = й(и(ч), (6) где Ч ~(Ч!,Ч!+й)с:(хм хе+,) — некоторая точка. Из (5), (6) вытекает утверждение леммы при и = 2. Для и ) 2 лемма доказывается аналогично. Следствие леммы 1. Конечная разность п-го порядка алгебраического глногочлена и-б степени постоянна, т. е. не зависит ог й, а конечнь!е разности более высоких порядков равны нулю. Остановимся на одном нз практических применений конечных разностей. Согласно ле!лме 1, если (ен ен С.+! [хм х„+![, то величина Л'+!1,/т!"э-!, котоРУ!о можно вычислить через табличные значения функции( с помощью формулы (3), равна значенню производной [м!'> в некоторой точке Ч ~(х,, х.+!), где х,+! = = х,+(и+ 1)й.

Поэтому, если й мало, то число [о"+![ь/й"+![ можно приближенно принять за величину. (7.9) и использовать в оценке (7.8) погрешности интерполяции. Такой нестрогой оценкой погрешности пользуются, если достаточно сложно вычисляется производная [' чп(х) или, вообще, имеются в распорю:!спин только табличные значения п+ 1 раз дифферепцируемой функции.

Разделенные разности. Пусть теперь хь, х!, ..., хь, ...— произвольные точки (узлы) оси х, прием х, =Ф- х; при ! Ф 1. Зпачспиа ((хь), ((х!), ... фУнкцни 7 в Узлах называ!отса разделенныиаи разностятяи нулевого порядка. Число 1(х,) — 1(х,) (7) к, — хо называется разделенной разностью первого порядка функции [ Очевидно, [(хо, х!)=1(хб хь)= „„+ „,, . (8) 1(х,) ) (х,) т. е. разделенная разность первого порядка является симметрической функцией аргументов хь и х!. % а, конечнъ|е н РАзделенные РАзностн 49 Разделенная разность п-го порядка определяется через разделенные разности и†1-го порядка по рекуррентной формуле 1(хв «2| ...', «44) — 1(хо,' хн ..., 'хо 4) Մ— Ко При вычислениях разделенные разности записыва|от в виде табл.

2. Таблица 2 1(хо) 1(х,) 1(хз) 1(хз) 1(«4) «0 1(хо: хз) 1(хп хз) 1(кз; хз) 1(хз| хз) 1(хо' хн хз) 1(х„хп хи «,) 1(х|| хз| хз) 1(хз, х;, хз' хз) 1(хы хз', «4) к, Хз Л е м м а 2. Разделенная разность п-го порядка выразкается через узловые значения функции ио формуле 1(хо; х|, ..., х„)= 1(х ) (10) г ('| — 'О)" («4 — '|-|)('4 «44|) ".

(«4 'о) з-о т. е. является сил|метрической 4)зункз(ией своик аргументов. При п = 1 сделанное утверждение вытекает из равенства (8). При п = 2 в соответствии с (9) имеем | з 1 (х2) 1 (хз) 1 (хз) 1 (х|) )(х;х;х)— х, — хо у 1(хо) ) 1(«1) ) 1(кз) (ХО Хз) (ХΠ— Х2) (К! — Ко) (Х! Х2) (Х2 КО) (Х2 Х~) (11) Равенство (10) при и = 2 доказано.

Доказательство для произвольного и, проводя|несся по ипдукпни, опустим. Итак, согласно лемме 2 значение разделенной разности и-го порядка не зависит от нумерации и + 1 узлов, по которым она строится. Всего имеется (и+ 1)1 различных вариантов их нумерации цслымп числами от Одоп. ье ГЛ, !. ПгпйЛИжГНИГ ФУНКЦИЛ МНОГОЧЛЕНАМИ Лемма 3. Если х, = хь + 1гй, сг = О, 1, ..., т, е. палы рисполоссеньс с постоянньслс шагом Рг ~ О, то мехсоу разделенно!с разностью и-го порядка и конечной разсистью сг-го порядка и.чеется следующая связь: д 1о (12) и! а Доказательство. Для п = 1 равенство (12) вытекает пз (1), (7). При нахождении каждой следу!ошей по порядку конечной разности происходит согласно (3) просто вычитание предыдуших разностей, а при вычислении следующей разделенной разности в соответствии с формулой (9) производится дополгпстелшга к вьпштапшо лелею!с на величину х,— хь = = пй.

Отсюда и возникает величина пУс" в знаменателе правой части равенства (12). Лемм а 4. 77усгь 1сс,(1] — минилсальный отрезок„ содерхсащсш1 узлы хь, х„..., х„, 1'е= С„(а, И, Тогда суи1ествует такая точки г1 е=(а, (1), что с(хь; хб ...; Х„)= 1!»! (ч1 (13~ Для узлов, расположенных с постоянным шагом„ равенство (13) следует из лемм 1, 3. Доказательство леммы в общем случае опустим. С л е д с т в и е л е м м ы 4. Разделе!сная ризность и-го порядка от алгебраического многочлена п-й степени принимает постоянное значение, не зависящее ог выбора узлов хсь х,, х», а разделенные разности более высоких порядкоз равньс нулю. Конечные и разделенные разности имеют разнообразные применения. В 5 9 они используются для построения интерполяционного многочлена. 5 9.

Интерполяционный многочлен Бьютона Пусть хь, хг, ..., л.„— произвольные попарно несовпадающие узлы, в которых известны значения функции 1. Л е м м а 1. Алгебраический многочлен и-й степени 1„(х) =1(хь)+(х — х,) ! (Хь, х,)+ +(х — хь)(х — х!)1(хь', х!', х,)+ * ° ° +(х — хь)(» х!) ° ° ° (х х»-!)с (хь1 хг1 ° ° ° 1 х») (1) О О. ИНТЕРГОРЯЦИОННЫГ! МНОГОо>ЛЕН НЬЮТОН« З( являетея инте)>поля!(нонны, т. е.

(о(х!)=) (х!), !'=О, 1, ..., и. (2) Прежде всего заметим, что так как разделенные разности !"(Хо'х!), ((Хо.'Хг;хо), ..., ((Хо,'лг! ...,' х;) являются вполне определенными числами (см. 9 8), то функция (1) действительно есть алгебраический многочлен и-й степени. Дока>кем равенства (2) прн и = 2. Имеем 1,(х) =( (хо)+ (х — х ) 1'(х,; х,)+ +(х — хо)(х — х,)((хо; хй х,).

(3) Очевидно, 1,(х,) =1(хо). Далее, согласно (3), (8.7) ьо(х!) =! (хо)+(х! хо)! (Хо) х!)= =, (хо) + (х, — х,) „' =1 (х,). г 1(х,) — ! («о) "о Наконец, учитывая (3), (8.7), (8.11), получаем 1«(хо) = 7(хо)+ (хо — хо)7(хо', х!)+ + (хо хо)(хо х!) ! (хо) х!', хо) = ! (хо) + + хо хо (о(,) х(.)) 1 (хо «о)(л! х<) о( )+ х, — хо *! о (хо — х,) (хо — хй (хо — хо)(хо — х~) о( )+ о( (х, — хо) (х, — «о) При и = 1 равенства (2) устанавливаются аналогично, а для произвольного натурального п ) 2 онп доказываются по индукции, 3 а м е ч а н и е. Многочлен (3) называется ннгериоляцнонньг>н лгноеочленом 1(ь>огана для не(гввпых прол>ее!гутнов. Согласно теореме 4.1 он тождественно совпадает с интерполяционпьпл мпогочлепом Лагранжа (4.5), т.

е. 1„(х) = =Х.. (х). Итак, мы имеем две различные записи интерполя. циопного многочлена. Остаточный член интерполяционного многочлена Ньютона тот гке, что и у интерполяпионного многочлена Лагранжа, т. е. всюду в равенствах (4.9), (4.14) и в неравенствах (4.15), (4.16) можно заменить 7.„(х) на 1, (х) . У интерполяционного многочлена Лагранжа (4.5) видна явная его зависимость от каждого зна гения Функции (г, ! = О, 1, ..., и. Это во многих случаях 52 ГЛ ! Пе!(БЛПХ(ПП10 ФУ(нрп!П! МНОГОР!ЛВНЛЧИ л*! Л! ! ч' !!' !з 15. 0,087156 0,121869 0,156434 0,190809 0,22495! 0,2588! 9 34 713 34 565 34 375 34 !42 33 868 — 148 — 190 — 233 — 274 — 42 — 43 — 41 Конечные разности функции в таблице для прост(ты принято выписывать в числе единиц последнего бывает полезно.