учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 5

е, всего за 2п арифметических действий, Можно доказать, что в общем случае не существует способа вычисления алгебраического много- члена гг-й степени менее чем за 2п арифметических действий, Схема Горнера удобна также для реализации на ЭВМ благодаря цикличности вычислений и необходимости сохранять кроме коэффициентов многочлепа и значения аргумента только одной промежуточной величины, а именно Ьг или аЬ; при текущем г=п,п — 1, ..., О. Ручные вычисления значения многочлена по схеме Горнера обычно сопровождаются следующей таблицей: + ал а„ , а„ , ...

ао )и аЬл аЬ„г ... аЬ, Ь„= ал Ь„г Ьл з ... Ьо — — Р„(а) П р им е р. Вычислить прн х = — — 1,5 значение многочлена Рз (х) = 1 — 4х + Зхз — х'+ 2»' — х'. Р е ш е н и е. — 1 2 — 1 3 — 4 ! ) — 1,5 1,5 — 5,25 9,375 — 18,5625 33,84375 — 1 3,5 — 6,25 1'2,375 — 22,5625 34,84375 = = Р,( — 1,5) Если заданный многочлеи есть четная функция, т, е.

л = 2й и Р ь(х) = ао+ агх'+ ... +аы»ы, то его удобно вычислять по формуле Р (х) = ао+х (аз+» (ах+'''+х (ась — 4+х (азь-з+» ась)) ''.)) (4) а есле многочлен янляется нечетной ф) ггкциерг, г.е. л = 2»+ 1 и Ргьм (х) = а,х + азха +... + агььгхы>, то для яычислеаий его следует привести к виду Р, (х) х(а!+» (аз+'''+х (аза-3+х (азь-! +» аяь+1)) '..)). (5) В заключение отметим, что при вычислении на ЭВМ многочленов с очень большими коэффициентами по схеме Горнера (по формулам (2), (4) или (5)) может произойти значительная потеря точности за 4 а.

многочлины теплова счет вычитания больших округленных чисел. Избежать потери точности иногда удается применением рекуррентпых формул. Соответствующий пример рассматривается в конце й 6. й 3. Иногочлеиы Тейлора Пусть задана 1(х) ен С„+1[а, Ь) (см. п. 2 введения)'. Напомним, мноаочлгно,и Тейлора п-й степени функции 1 в точке хе ен [а, Ь[ называется миогочлен в 1;)и(х)= ~~,, ' (Х вЂ” хо)а. (1) Ь!ногочлен Тейлора (1) обладает тем свойством, что в точке х = х, все его производные до порядка а включительно совпадают с соответствующими произ- воднымн функции 1, т. е. Я„"'(х,) = У"'(х,), й = О, 1, ..., н, в чем легко убедиться, дифференцируя Я„(х).

Благодаря этому свойству многочлен Тейлора до- статочно хорошо приближает функцюо [(х) в окрест- ности точки хо. Погрешность, возникающая при за- мене функции [ ее многочленом Тейлора, выражается остаточным членом формулы Тейлора *), т. е. ~(х) — ()„(х) = +, (х — х,)", (2) 1'" п(К) и+1 где х ~ [а, Ь), $ — некоторая точка, лежащая строго между х и хо при х чехо.

Данный остаточный член записан в форме Лагранжа, являющейся удобной для получения оценок погрешности. Поскольку производ- ная рльп по предположению непрерывна на отрезке ,[а,Ь), то она ограничена на этом отрезке, т. е. М„+, — — шах ! )о'+и (х) [ < (3) ;а, и Р!а основании (2)' имеем [1(х) — 9„(х) [~ (1 ++,'), [х — х,) (4) ') См.й4!4 вините; Бугров ЯС., Никольский С М.

Дифференциальное н интегральное исчисление, — Мл Наука, ! 984. 30 ГЛ 1 ПРИВЛ11ЖЕНПЕ ФУЦКЦИГ! ЛП!ОГОЧЛЕНАМИ и ша:!]7(х) — Яп(х)]~( ( ++', 1"+', (5) 1ю и гдс ! = — шах (хо — а, Ь вЂ” хю) . 1!еравепство (4) свидетельствует о том, что погреш,!ость приближения функции !(х) многочленом ТейлоРа (1) есть 0(]х — хв]хь1)*), а неРавенство (5) служит оценкой максимальной погрешности на всех! отрезке (а, Ь]. Для погрешности аппроксимации функции много- членом Тейлора характерно то, что она достаточно быстро убывает при приближении х к хо н резко возрастает у конца отрезка (а, Ь], который наиболее удален от точки хо.

До всяком случае это так, когда !!а'-!1(Х) — — СОПЧ! ~- О, т ".. !(Х) СгтЬ МПОГОЧЛЕН СТЕПЕНИ н+ 1. При этом ])!и""(.!)]=й!а 1, х=.!(а, Ь], и неравенства (4), (5) обращаются в равенства. Существенно неравномерная па отрезке (а, Ь] точ1юсть аппроксимации функции ! является недостатком много !лена Тейлора Другой недостаток состоит в том, что для построения многочлена Тейлора требуется накопить у !1!упкцпи ) производные высокпк порядков. Тем не менее многочлены Тейлора, в частности отрезки рядов Тейлора, тоже являющиеся мно:очлеиамп Тейлора, широко используются на практике для аппроксимации функций, у которых достаточно просто вычисляются старшие производные, а остаточный член (правая часть неравенства (5)) стремится к пулю при и — ~ со.

Сюда прежде всего относятся элементарные функции ч!и х, соз х, е", 1п (1 + х) и др. П р в мер. Аппроксимировать функцию !(х) = е" мпогочлепом Тейлора па отрезке (О, Ц С абсолютвой погрешностью, пе превышающей с .= 10-'. Р е ш е и и е. Выбираем ха = 1/2, т. е. в середине отрезка (О, !1, с тем чтобы минимизировать величину 1, входящую в пра. вую часть оценки (б), Тогда !М1(х) = е", (!0(ха)=еп, Мя ! — — е, 1= —, 1Еп(Х)=С!Я ~ —,(Х вЂ” — ) '! ОПрсдЕЛЕПИЕ 0(!Х вЂ” Ха1]аь!) СМ.

В П, ! ВВЕдЕНИя, ПОЛОЖИВ (х — х!1 = й. а 4 пптсвполяцнонный и!!ого'!ззс!1 даава!!7кл Согласно (0) имеем гвая( в" — 9а (х)) ( г„ = !о,п Ог+ 1)12 +! Для г, составляем таблицу а ! 2 ) а а ~ 6 5 7.10 †! ~7 1.10-а "! 59.10-з( 43,10-! 7,1 ° !О Такам образом, следует взять и = б. й 4. Интерполяциониый многочлен Лагранжа Пусть известны значения некоторой функции в и+ 1 различных точках хо, х!, ..., хго которые обозначим следующим образом: 1!=)(х!), г=О, 1, ..., п, Например, эти значения получены из эксперимента илп найдены с помощью достаточно сложных вычислений. Возникает задача приближенного восстановления функции 1 в произвольной точке х. Часто для решения этой задачи строится алгебраический мпогочлен 1.„(х) степени п, который в точках х; принимает заданные значения, т.

е. 1.а(х,) = )'г, ! = О, 1, ..., и, (2) 1(х) ж Т.„(х) называется интерполяцией функции 7 (с помощью алгебраического многочлена). Если х расположен вне мнпимального отрезка, содержащего все узлы и называется интерполяйионныл. Точкп хь г=О, 1, ... ..., п, называются узлах!и интерполяйигь Для удобства изложения под многочленом степени и мы будем подразумевать многочлсц степени не выше и.

Например, если 1! = О, ! = О, 1, ..., п, то интерполяционныи многочлен Ал (х) = О факт!гяески имеет нулевую степень, но его тогке будем называть пнтерполяцнонным в!ногочленов! и-й степени. Приближенное восстановление функции 1 по фор- муле ЗЯ ГЛ. Е ПРИГоЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНЛаон + ' 1 (3) (х»о) (л — л!) (хо — х,) (л, — х,) а 4) При п= 2 (х — х)(х — х) 1 + (хо — х,) (х — хл) (» — ха) (х — х,) ) + (хо — ло) (л! »о) и, наконец, в общем случае при любом натуральном и и Е„(х) = ~ р„,(х) )„ (5) где (х — х„) ...

(х — х! )(х — х ) ... (х — х„) "!"о( ) (х — х )... (х — х,)(х! — л )... (х — х„) ' ! = О, 1, ..., ги Действительно, выражение (3) представляет собой линейную функцию, т. е. многочлен первой степени, причем Ео(хо) = (а, Е! (х!) = 1!. Таким образом, требования (1) прн и = 1 выполнены. Аналогично, формула (4) задает некоторый многочлен Ео(х) второй степенн, удовлетворяющий прн п = 2 условиям (1). Прн произвольном натуральном п функции (6), выражающиеся в впде дроби, в числителе которой стоит произведение и линейных множителей, а в знаменателе — некоторое отличное от нуля число, являются алгебраическими многочленами степени и. Следовательно, функция (5) тогке является алгебраическим многочленом степени и, причем, поскольку р,и(х,) = 1, интерполяции хо, х!, ..., х„, то замену функции ( по формуле (2) пазыва!от также экстраполяцией.

Сначала выясним вопрос существования н единственности ннтерполяцпонного многочлена, а затем всследуем погрешность интерполяции, т. е. какова разность между левой и правой частями приближенного равенства (2). Т е о р е м а 1. Существует единственный интерпооояо(ионный многочлен и-й степени, удовлетворяющий условиям (1). Д о к аз а тельство.

Существование ннтерполяцнонного многочлена установим непосредственно, выписав его. Пусть п = 1, тогда Ео(х) = — , (а о 4. интвнполяциоппыи зз а ркп(хг) = О при 1Ф 1, О <1 = и, выполнены требования (1). Остается доказать единственность интерполяцпонного многочлена. Допустим, что кроме ннтсрполяцнонного многочлена (5) имеется еще некоторый алгебраический многочлен Е,(х) и-й стегсни, удовлетворяющий условиям Е„(х,)=1п 1=6, 1, ..., и. (7) Тогда согласно (1), (7) Е„(хг) — 7.„(х,) = О, 1=0, 1, ..., и.

(8) Если Ев(х) — Т.,(х) чь О, то эта разность, будучи алгебраическим многочленом не выше и-й степени, в силу основной теоремы высшей алгебры имеет не более и корней, что противоречит равенствам (8), число которых равно и+ 1. Следовательно, Х„(х) == А„(х). Теорема полностью доказана. Интерполяционный многочлен, представленный в виде (5), называется интгриоляиионньгм многочленом Лагранжа, а функции (многочлены) (6) — лагранжеаыл и коэффициентами.

Имеются и другие формы записи иитерполяционного мпогочлена. Однако по теореме 1 интсрполяционный многочлен и-й степени (точнее говоря, стспени пе выше и), удовлетворяющий условиям (1), сдинствен. В 9 9 будет дан другой способ задания интерполяциониого многочлена. 3 а меч анин. 1. Фактическую степень интерполяционного многочлена (5) можно выяснить после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

Однако если в узлах х; в качестве 1", берутся значения некоторого алгебраического многочлена Р,(х) степени 7г ( и, то по теореме 1 заведомо 7.в(х) = =Рв(х), так как Рв(х) есть тоже миогочлен степени не выше и, удовлстворяющий условиям (1). В частности, если 1с = 1, 1= О, 1, ..., и, то Х. (х) = — Ро(х) — = 1. Отсюда и из (5) вытекает тождество ~ р,„(х) = — 1, которое 1=0 может служить контролем при вычислении лагранжевых коэффициентов (6). 2. Поскольку интерполяционпый много- лсп (5) линейно зависит от значений функции )„то 2 а. А.

Волков 34 Гл !. ппиГлижеппе сункциГ1 мноГочленлаю! пнтерполяциоппый многочлен для суммы двух функций равн! с)'ммс интсрполяцпоцных ыноГочлснов для слагаемыхх. Пр и м е р. Построить шисрполаинопимй миогочлеп Лагранжа по следующим пгпнмм: ! О ~ 1 ! 2 ! 3 х О ~ 2 ) 3 ! 5 ! ~ 3 ) 2 ~ 5 Р е ш ем не. Согласно (5) при п = 3 имеем Г.,(х)= ., '-.(+,;, 3+ (х — 2) (х — 3) (т — б) х (х — 3) (х — 5) (Π— 2) (Π— З)(Π— 5) 2 (2 — 3)(2 — 5) +, х (х — 2)(х — 5) х (х — 2)(х — Ч) ° 2+ ' ' ° 5= 3 (3 — 2) (3 — 5) 5 (5 — 2) (б — 3) 62 13 3 = 1+ — х — — ха+ — ха. 15 6 !О Погрешность интерполяции. Всегда можно написать равенство 1(х) = 1,„(х) + Р„(х), (9) где Р„(х) — остаточный член, т. е.