учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с)

В. А. ВОЛКОВ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ Лопуигено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в каеестве у«ейного пособия для инвсенерно-текин«вских специальностей вузов МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕЛАКИИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ЛИТЕРАТУРЫ 1987 ББК 22.19 В 67 УДК 519.6 (075.8) В од ко в ГЕ гя, Численные з!етоды! Учеб. пособвс для вузов.— 2-е нзд., вопр. — ЛТ.! Наука, Гл. ред. физ.-мат. лпт., 1987. — 248 с.

Соответствует разделу численных методов в программе по высшей математике для инженерно-технических специальностей вузов. Тесно примыкает к учебникам по высшей математике С. й!. Никольского и Я. С. Бугрова. Книгу отличает сжатость н емкость иапо>кения в сочетании с математической строгостью. Рассмотрены численные методы: линейной алгебры, интегрвровання, реп!сипя дифференциальных уравнений, а также основные попятив теории прнблнжеппй. Первое издание вышло в !982 г. Для студентов инженерно-технических спецнальвостев ву!ов.

Табл. 11. Ил. 27. Библиогр. 23 назв. Евгений Алексеевич Волков ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Гс.!эктор И. В. Викгоренкова Лудажествеявый редактор Г. Лг. Коровина Теханческий редактор И. Ш. Аксс.яьрод Корректоры П С. Вайсберг, Л. С. Сомова ИЕ № 12823 Слава а набор 03.Н.87. Падовсава к агчэтн 24.04.87. Формат 84Х108732. Еуяяага тяв. Л>2.

Гарнит>ра лятерат>рная. Печать високая. Уел. веч. л. !3Д2. Усв. «Р.-отт. 13,34. Уч.-игд. л. 12,32. Тяргж 38 000 экэ. Заказ № 339. Нм а 43 каа. Ордена Трудового Красаага Знанонн издательство «Наука» Главная реданннв фаэнко-натеяатнческон литературы Н707! Москва В-71, Ленинский проспект, 13 Л«иввтрадская тяяографня Л> 2 головное аредориятив ардена Трулавага Кгасяага Знамени Ленинградского абьелннения Теяническая книга» вя Евгении Соколовой Саюэиалягрвфлраиа аря Государственном комитете СССР по лелам издательств, аавяграфии и кннжиай торговли. 1930б2, г. Ленинград, Л-32, Измайловский орасиект, 20 1702070000 — !20 !й> Издательство «Наука». В 87-87 Главная редакпия 083102)-87 фяэино-математическая литературы.

193й с язменеяилив, 1987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие, Введение . 5 7 Гл а за 4. Методы решения нелинейных уравнений и систем !73 й 24. Метод итераций.............. 173 й 25. Метод !1ьютона............. 185 6 26. Метод деления отрезка пополам . . . . . . . !90 $ 27. Метод наискорейшего (градиентного) спуска . .

. 192 Г ха на 5. Методы решения краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка...,........ 193 28. Методы минимизации нсвязки и метод Галеркияз 193 $29. Разностиый метод. Основные понятия теории разностных схем 200 Глава К Приближение функций мвогочлеиамн,.... 18 !. Приближенные числа и действия с ппмн....

19 ч 2. Вычисление значений многочлена. Схема Горссра 27 й 3. Многочлены Тейлора . . . . . . . . . . . 20 $ 4. Интерполяцнонный многочлен Лаграпх;а . . . . . 3! 3 5. Линейная интерполяция . . . . . . . . . . . 36 6. Минимизация оценни погрешности интерполяции. Многочлецы Чебышева............ 37 7. Интерполяция с равноотстоящимн узлами.... 43 в 8.

Конечные и разделенные разности .... 47 Г! 9. Иптерполяшюнпьш много шсп Ньютона..... 50 9 10. Численное диффсрснцирование...,..... 55 )г 1!. Сплайяы................. 63 $12. Равномерные прнблюкснпя функций...... 68 3 !3. Метод наименьших квадратов......... 75 9 14, Исследование погрешностей срсднеквадрзтшппю: приближений.

Сглах.иванне наблюдешй.... сЛ Глава 2. Численное интегрирование,........ 103 и 15. Квадратурные формулы.....,..... 103 й !6. Правило Рунге практичеасой оценки погрешности !!8 % 17. Метод Монте-Карло . 123 й 18. Численные методы решения задачи Коши для обыкновеняых дифференциальных уравнений..... 127 Гл а за 3. Численные методы линейной алгебры..... 138 6 19.

Метод Гаусса.............. !39 9 20. Нормы и обусловленность матриц . . . . . . . 151 9 21. Метод простых нтсрацвй и метод Зсйделя . . . . 156 6 22. Метод прогонки . . . . . . . . . . . . !61 й 23. т1астичпые проблемы собствсвпых значсппн . . . 16о Оглдпленин Г л а в а 6. Разностные схемы для уравнений с частными производными...........,... 2!7 3 30. Линейное уравнение с частными производными первого порядка . . . . .

. . . . . . . . . 2!7 5 3!. Смешанная задача для уравнения теплопроводности 225 5 32. Волновое уравнение . . . . . . . . . . . . 233 $33. Уравнение теплоправодности с двумя пространственными переменными . . . . . . . . . . . 235 3 34. Задача Дирихле для уравнения Пуассона . .

. . 239 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Предметный указатель , . . . . . . . . . . . . . . 245 ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящей книге излагаются основы численных методов. Книга содер'кит материал, предусмотренный программой курса «Высшая математика для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений». Для понимания почти всего содержания книги достаточно знания общего курса математики по указанной программе в объеме трех учебников Я. С. Бугрова, С. М.

Никольского: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.— Мз Наука, 1984; Дифференциальное и интегральное исчисление. — Мл Наука, 1984; Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Мл Наука, 1985. При чтении 9 14, 17 потребуются сведения о случайных величинах из элементарного курса теории вероятностей. Некоторыс дополнительные понятия, используемые в тексте, разъясняются во введении и по мере необходимости. Глава 1 посвящена чпслснным методам приближения функций одной переменной. Здесь, кроме много- членов Тейлора, интерполяционных многочленов н многочленов наилучшего равномерно~о приближения, рассматриваются аппроксимации кубическими сплайнами, значительное место уделяется важному в инженерно-технических прилозкениях методу наименьших квадратов в непериодическом и периодическом случаях с анализом погрешности самого метода и случайной ошибки, возникающей за счет ошибок наблюдений.

В гл. 1 включен также параграф, относящийся к численному дифференцированию, используемому при построении сплайнов, п вводный 9 1 о приближенных числах. В гл. 2 представлены численные методы интегрирования. Наряду с традиционнымн квадратурнымп формулами кратко нзложен метод Монте-Карло вычисления определенных интегралов, В % 16 обосновывается практическое правило Рунге оценки погрешцо- пгедпсловпв сти квадратурных формул и метод уточнения резуль. тата по Ричардсону. Численным методам интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (решению задачи 1(оши) посвящен 2 18.

Глава 3 содержит чпсленпые методы решения задач линейной алгебры, в частности метод Гаусса, ме. тол итераций решения систем линейных уравнений и методы решенвя частичных проблем собственных значений матриц. В 5 22 рассматривается метод прогонки решения системы с трехднагональной матрицей (трехточечного разностцого уравнения), получивший широкое распространение. В гл. 4 излагаются основные приближенные численные методы решения нелинейных уравненвй н систем нелинейных ураш;еппй.

Глава 5 посвящена приближенным методам решения краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. В 2 28 даны методы минимизации невязки и Галеркпка. В 2 29 излагается разностный метод. На базе двухточечной краевой задачи вводятся основные понятия и разъясняются основные положения теории разностных схем. В гл. 6 изучаются разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений с частными про. пзводнымп первого н второго порядков. Рассматриваются вопросы аппроксимации, устойчивости, сходи- мости, а также экономичности разностных схем. Список литературы рекомендовав для болев углубленного изучения численных методов. При написании книги автор опирался на опыт чтения лекций по численным методам в МИФИ и существенно использовал советы академика С.

М. Никольского и профессора Я. С. Бугрова, которым он искренне благодарен. Автор выражает свою глубокую признательность члепу-корреспонденту АН СССР Н. С. Бахвалову, профессору В. А. Треногину и доценту Н. А. Потапкову, прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим ряд ценных замечаний. Е. А. Волков ВВЕДЕНИЕ На практике в большинстве случаев найти то:и ое решение возникшей математической задачи нс удается.

Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем этого сделать, а поскольку искомое решение обычно не выра>кается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому важное значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях пауки н техники и с появлшпюм Высоков)>опзводительных ЭВМ. Под чвсленнымп методамп подразумеваются методы решении задач, сводящиеся к арифметическим н некоторым логическим действиям над числами, т.