учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 4

Поскольку обычно предельные относительные по- грешности 6(а'), б(Ь') и, следовательно. относитель- ные погрешности 6(а*), 6(Ь') значительно меньше единицы, то вместо формул (!О) — (13) используют приближенные формулы Ь(и') =(Ь'(К(а')+(а'(Л(Ь'), 6! ) (ь")ь(~ )+(в !Ь( *) (15) 1Ь" Г 6(и*) = 6(а')+ 6(Ь*), 6 (о') = 6(а*)+ Ь(Ь*). (16) (17) содержащий обе точки (х„', у„') н (хы у„.,), целиком находится в области с!.

Итак, при сложении и вьшитании приближенных чисел согласно (5) складь!ва!от предельные абсолютные погрешности, а при улнозсении и делении приближеннь1х чисел в соответствии с (!6), (17) складывают их предельнь1е относительнь!е погрешности. Погрешность функци и. Рассмотрим для определенности функцию двух переменных ) (х, у), которая непрерывно дифференцируема в некоторой области 6. Допустим, что числа х,'„ у,* являются приближениымн значениями координат некоторой точки „(х!ь уь), причем замкнутый прямоугольник Ф = ((х, у): ! х — х,' ) ~ (Ь (х,'), ) у — у„' ! в Л (у„*,)), оо Гл >, пгивлн>кегн>в Функццг! к!ногочлннлл>н Л (го) = с>К (х",) + с К (у*,). (21) Иногда поступают нестрого, полагая Л (г;) = 11'„(х„"„у") ~ Л (х,') + ~ ~'„(х*„, у,",) 1Л (у„").

(22) Часто встречается обратная задача, а именно, задано условие, чтобы абсолютная погрешность Л(г,') зпаче>шя фушгцпи не превышала некоторого числа е ) О, т. е. Л(го) ~~а (23) Требуется найти ограничения на погрешности аргуме>поз. Предположи>л теперь дополнительно, что область 6, в которой задана дифференцируемая функция 1(х, у), выпуклая, т.

е. любые две точки области 6 можно соединить прямолинейным отрезком, целиком расположенным в 6. Например, область 6 является открытым кругом или прямоугольником. Пусть также нир ) ~х ~ (~ Сн онр ~ 1'„~ (~ С, (24) и, как прежде, х„*, у', являются приближенными значе>шямн координат некоторой точки (хо,уо), причем Обозначим го=)(х„уо), г,*,=1(х„", у„*). По формуле конечных прпрашеннй Лагоран>ка имеем го го 1х(~> т1)(хо хо)+)и(~' т1)(уо уо) (1 ) где о, и — координаты некоторой точки отрезка, соединяюшего точки (х,, у,) н (х,*, у',).

Отсюда Л(г,*)=$г,— г*,1 =!У;(Ь, Ч)!Л(х*,)+!Р'„(Б, т1)!Л(у'„). (19) Пусть с>, со — некоторые оценки для ~~'„~, ~~'„~ на прямоугольнике й, т. е. п>ах ) 1"„1' ~( сн гпах ! ~'„~ ( (с,. (20) )Кслателш>о иметь сценки с!, с, возможно меньшими. Поскольку Д, т1) ен Р, то с учетом (3), (19), (20) можно принять в качестве предельной абсолютной погрешности значения функции г, =1 (х„у ) вели- чину 24 гл. ь ппивлпжсние Функции миогочлвнлми знаков, то прибега1от к записи в нормализованном виде.

11апрпмер, а* =0,390 10'. Из этой записи понятно, что у шола а" трп верные значащие цифры. В данной ситуации запись вида а* = 39000 недопустима. В нормализованном виде можно записать и рассмотпенные выше приближенные числа: 0,344.10-', 0,31400 10.-', '1асто употребляют запись вида а = а* -~ Ь (а"), означа|ощую, что неизвестная величина а удовлетворяет неравенствам а* — Л(и*) < а < а*+ ст(а").

При этом вели'шна К(а*) выписывается с одной или двумя значащими цифрами, а младший разряд в а* соответствует младшелпу разряду в А(а'). Например, а = 2,730 ~ 0,017. (26) Записи а = 2,73018:Ь 0,017, а = 2,73018 ~- 0,01592 (27) неестественны. Если по условию известно, что некоторое число точное, например, шаг вычислений й = 0,1, то верные нули справа пс выписываются, Можно говорить о шслс верных значащих цифр у прнблпженного числа и о числе верных цифр после запятой. Как правило, при реальных вычислениях у приближенных чисел содержатся цифры после запятой, т.

е. имеется дробная часть, 11апрпмер, приближенное число а" =25,030 имеет 5 верных значащих цифр и 3 верные цифры после запятой, а у числа 5*= 0,00404, наоборот, 3 верные значащие цифры и 5 верных цифр после запятой. Очевидно, абсолютная погрешность приближенного числа вполне характеризуется, числом верных цифр после запятой, а относительная погрешность — числол~ верных значащих циФр. Округление чисел.

Прп вычислениях часто возникает необходимость округления чисел, т. е. представлешгв пх с меньшим числом разрядов. 4 !. Пвьгвлижгьпьыа сиьслл ь! Данотинв С и!!и!! 29 Правило округления чисел. Если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра лгепшие пяти, то содерасимое сохраняеягых разрядов числа не изменяется, В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тел! вке знаком, что и у самого числа. Это простое правило округлеьпья чисел применяется и в ЭВМ. П р и м ер.

Округлить соотвстспгснво с двумя, тремя и ястирьмя знаками восле завятов слег!у!о!вне ввела: 3,! ь!89, — 0,0025, 84,009974. От нет. З,г4, — 0,008, 84,0!00. Очевидно, погрешность, возникаю!цап при округлении, не превышает по абсолютной величине по.!овины единицы младшего оставляелгого разряда Повторное округление нс рекомендуется, так как оно может привести к увеличению погрешности. ?1апример, если число 18,34461 сначала округлить с тремя знаками после запятой, а затем с двумя знакамп, то мы последовательно получим 18,345; 18,35. При округлении сразу до двух десятичных знаков после запятой имеем 18,34. Лбсолютная погрешность прч повторном округлении получилась равной 0,00539, а при одноразовом округлении абсолютная погрешность равна 0,00461.

При округлении приближенного числа его предельная абсолютная погрешность увеличивается с учетом погрешности округления. 1-1апример, при переходе от записи (27) к записи (26), когда число 2,73018 округляется до трех знаков после запятой, его предельная абсолютная погрешность 0,01592 увеличивается до величины 0,017 ) 0,01592+ 0,00018) ) 0,016, представляемой тоже с тремя знаками после запятой. На практике округляют постоянные, известные с большим числом знаков, произведения многозначных чисел, частные от деления и т. д.

Например, при умножении двух приближенных чисел, имеющих по шесть верных значаньих цифр, результат получается с 11 нли 12 значащими цифрами. Относительная погрешность произведения может оказаться приблизительно вдвое больше, чем у сомножителей, так как неравенство (8) может обратиться в равенство. Поэтому в произведении верных значащих цифр 26 Гл. 1. пгналнжгнне Функции многочленАмн приблизительно шссть, а остальиыс знаки, как правило, нс пссут полсзпосс информации. Получсииое произвсдсиис сстсствспцо округлить с шсстью значащими цифрамп. Имеются следующие правила арифметических дсйстьий с приближенными числами: 1'ри умнозгсенсссс и делении приближенных чисел, вообще говоря, с разли'гныл< числом верных значаи1их цифр производится округление результата с числом зиачаи1их цифр, совпадающим с лщнилсальным числом верных значащих цифр у исходных чисел.

11ри сложении и вычитании приближенньсх чисел, илсесосс1ссх одинаковое шсло верных цифр после запятой, округление не производится. При сложении и выяистонии приблилкенных чисел с различнылс числом верных цифр после за сятой результат окригляется по лшнимальному чис гу верных цифр после запятой у исходньсх чисел, 3 а м е ч а и и я. 1, Па практике при ручных вычислениях с целью уменьшения влияния погрешностей округления у прпблпжсипых чисел, кроме верных зпачащпх цифр, обычно оставляют еще одну или две запасиьгс цифры и действуют согласно сформулироваипым выше правилам с учетом запасных цифр.

Эти запасные цифры отбрасываются при округлении окшшатсльного результата. 2. При вычптаипи близких по величине чисел может произойти зпачспельиая потеря значащих цифр и, слеаовательяо, точпостп результата. 1-1апримср, пусть грсбуется вычислить величину .~/543 — Х/540, где числа 543 и 540 точные, Имеем Х/543=23,30, ..., у'540=-23,23 ... Округлив эти числа с тремя значащими цифрами, приходим к результату только с одной значащей цифрой: ~/543— ~~540 = 23,3 — 23,2 = О,1.

Избавимся теперь от вычитания близких приблпжсииых чиссл: ~/543 — Хгг540 = = 0,06451 ... Згг643+ уг646 23,3+ 23,2 46,6 Округлив получсипос число с тремя значащими цифрами, получимся/543 — ~/540 = 0,0545. 2 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГО'!ЛЕНА. СХЕМА ГОРНЕРА С помощью более точных вычислений можно убедиться, что в последнем результате все три значащие цифры верные, хотя, как и в предыдущем случае, приближенные значения корней ~/543 н;/540 ис. пользовались с тремя значащими цифрами. Этот пример показывает, что если возможно, то следует избегать вычитания близких ариблие!генных чисел.

А если избежать этого невозможно, то следует увеличить точность промежуточных вычислений с учетом потери значащих цифр при вычитании. й 2. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера Рассмотрим алгебраический многочлен Р„(х) = ае+ а,х+ аех'+ ... + а„х", (1) где ае, а!, ..., ໠— числовые коэффициенты, и— степень многочлена. Чтобы вычислить значение многочлена (1) при фиксированном х = а, можно поступить по-разному, Например, можно сначала с помощью и — 1 умножений найти степени а, т. е, а, а', ..., а". Зате2! в соответствии с формулой (1)„где х = а, выполнив еще а умножений и и сложений, получить Р,(а).

Этот наиболее естественный на первый взгляд способ требует в общем случае при а 1 выполнения Вп — 1 арифметических действий. Однако более экономно значения многочлена находятся, если его записать следующим образом: Р„(х) = =аз+х(а,+х(а,+... +х(а„2+х(а„,+ха„))'...)). (2) Согласно формуле (2) вычисление значения Р»(а)' сводится к последовательному нахождению следующих величин: Ь„= а„, Ь„, = а„, + аЬ», Ь 2 а 2+аЬ, ! (3) Ь,=,+аь, Ье = ае+ аЬ! = Р„(а). 28 гл. г, пшщлижсшгс ьюпкцип ьпгогочлвнлми Способ нахождения значения многочлена по формулам (3) (по формуле (2)) называется с»ел!ой Горнера, которая реализуется с помощью и умножений и и ело>!сепий, т.