учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 10

е. Л вЂ” предельная абсолютная погрсшность значений функции. Попытаемся найти оптимальное й в формулах (6) и (7). Пусть в некоторой окрестности точки хз производные, через которые выражаются остаточные члены этих формул (см. (2), (3) ), непрерывны и удовлетворяют неравенствам 1 Р (х)!~~ Ма ~ )441(х) ~ ~~ М4, (16) где Из, Л4 — некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (6) и (7) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (2), (3) и (15), (16) не 66 ГЛ 1. ПРИБЛИЖШП1Е ФУНКЦНИ МНОГОЧЛГПЛМИ превосходит соответственно величин л+а й' е 1 2а 6 м + — М (17) а+2Л+а й' уг( 3 аи + 12 4 (18) Минимизация по Ь этих величин приводит к следующим значениям й: зК пз Ь=11,=( — ) при этом з ~м,л'~1" Ь = Ь~= 2(=), (19) аз=2( —,' ), (20) 1 д Лу а с/д ' (21) из (9.4) находим 1'(х) =Ы1.(х +Ф)= л и о Лп аз( = -„(Л) +(2д — 1) —,' +(Зд~ — бд+ 2) — '+ ...) ° Если при выбранном для какой-либо из формул '(б) или (7) значении Ь отрезок [х ь к1], где хв1 —— = х, +.Ь, не выходит за пределы окрестности точки х„в которой выполняется соответствующее неравенство (16), то найденное Ь является оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (20).

В противном случае Ь окончательно вь1бирается так, чтобы отрезок [х 1, х1[ не выхолил из указанной окрестности точки хм а полная погрешность численного дифференцпроганпя оценивается величиной (17) или (18). Применение ннтерполяционных мног о ч л е н о в Н ь ю т о и а. Все приведенные выше формулы численного дифференцирования выражаются через табличные значения функции. Если продифференцировать интерполяционный многочлен Ньютона (9,4), то получится формула численного дифференцвровапия, выражающаяся через конечные разности функпии.

Принимая во внимание, что согласно (7.1) % м. числ>п)нов дима анппговкпив и( шах 11'" (х) — 1.',,'и>(х) ~ »( 15т» 1 (» 1)" )1- 'а„„„шах 1>в)+п(х) 1, 1 "Г ';1 (22) где 1.„(х) — интерполяционный >иногочлен Лагранжа (4.5) д.гя функции 1", 0 < и < >«и. Доказательство. Многочлен (ь) (>х(х)=)о+(х хо) и + ° ° +(-» хо) ),1 )ь ь(о является миогочлепом Тейлора степени й для функщш 1 в точке х,. Если его т раз пролпффереицпр(- вать, 0 < т < й, то получится миогочлен 1(и+1) )м) <>(),'">(х)=>ь('">+(х — х) 'и + ... +(х — х,)" являюшийся мпогочлеиом Тейлора стспспп й — в) л.ш пРоизводной 1< > в точке хь. Этой формулой удобно пользоваться в начале таблицы значений функции 1 с шагом а. Аналогии)1 )о формулу численного дифференцирования можно получить из интерполяционного многочлена Ньютона (9.5) для интерполяции назад.

О б>ц а я о ц е н к а п о г р е ш н о с т и. Точные равенстваа вида (1) — (3), (9) — (14) с остаточным членом, выражаемым через и+ 1-ю производную функции 1, удается найти для формул численного дпффренцирования только в частных случаях, некоторью пз которых и приведены выше. Однако возможно получить оценку погрешности обшей формулы численного дифференцирования (8), выражаемую в виде неравенства, через максимум модуля производной 1(ь' '> при любых т, и, и таких, что 0< т <й<п.

Мы ограничимся рассмотрением случая расположения узлов с постоянным шагом Й и сформулируем результь г в виде теоремы. Теорема !. Пусть х) =ха+ <й, )) ) О, ( = —- =О, 1, ..., и, 0 < й < и, ген Сь+1 (х(ах„]. Тогда сУ- и(ествуют такие постоянные а„>,, зпвисяи<ие только от и, я, >и и не завися(цие от шага й и у)унк((ии 1, ч о 62 гл. 1. пгиглиженис 0уикцип миогочлен'ми Положим ) (х) = Щ,(х)+ р(х). (2б) Тогда на основании (23) при т = О получим ;и-1.1 [~ + !)! [х .

хи[ где и; = р(х;), 1'= О, 1, ..., и. Обозначим для удобства через Еи(х; [) интерполяциопный многочлен (4.5) именно для функции [. Согласно (25) п замечаниям 4.2, 4.1 Е„(х; !')=Е„(х; Яи)+ Е„(х; р)=90(х)+Е„(х; р). (27) Введя безразмерную переменную д =(л — х0)/1г, аналопиено (7А) по.тучаем и Е (х; р) = Х ри (ч) р, (28) (25) =0 где риа(О) — лагранжевы коэффициенты (7.5). Принимая во внимание (21), из (28) находим и Е'„'(х; р)= —,„~~) р,— „,„ри,(д), (29) 1=0 где т-я производная слева взята по х. Поскольку функции (7.5) не зависят от й, то величины 1ни .

! иии п1ах ! —,„801(д)1= гпах ] — „ри1(д)]=си и (30) хы[х0, хи)1 00 ' 0~!О. и! ~~4 зависят только от и, и, Е Поскольку [ои1;= С0.1 и,]х,,х„], то согласно формуле Тейлора имеем при х е= =]хм хи] (0!И )1иа(Х)=-С'!1и'1(Х)+ (Х вЂ” Х )001 ",, (23) 0 ." 0 (а+! — и!! ' где О-- пг ( 15 Š— ]х,, х] зависит от х, т, и. если х ~ ]х0, хи], то ]х — х0]( пй.

Отс1ода и из (23) при О < 1и ( я следует оценка !пах /1 "1(х) — Щ">(х)!( [х0' х 1 „0-01-т ~(бы!- ." гпах ] [00+И(х)]. (24) [11+ ! и15 [х х ] т и. сплхпны Возвращаясь к первоначальному обозначению 7.„,(х) интерполяционного многочлена для функции 1 и учитывая (27), получаем ~ ~(~) (х) г(~) (х) ~ — [ )(~о ( «) яьы ( «) г ом (х р) [ (~ [)< >(х) — цх">(х) [+ [Е~„"а(х; р) [.

Отсюда на основании (24), (29), (26), (30) вытекает неравенство (22) с постоянной „ь+~-~л 1 и а„ь — — 1 + г,), + 1,, ~~1 с„ь (31) ~' ьы не зависящей от шага Ь и функции 1. 3 а меча н ия. 1. Данная теорема дает дополнительные сведения и для ги = О, т. е.

просто для интерполяции. Именно, если строится иитерполяциопный многочлен и-й степени, а у функции ) иа отрезке [хо, х„) существует непрерывная производная только порядка й + 1, Ь ( п, то полученная ранее оценка погрешности (7.8) непригодна. Согласно же теореме ! погрешность интерполяции на отрезке [хм х„) в данном случае имеет 1+1-й порядок относительно Ь. 2. Оценку (22) с постоянной (31) на практике при численном дифференцировании использовать нецелесообразно, так как эта постоянная сильно завышена. Оценка (22) полезна тем, что она устанавливает скорость убывания погрешности относительно Ь на всем отрезке [ха, х,) при фиксированных параметрах и, /г, т, 0 < гп < А < и; шаг Ь является одним из наиболее гибких параметров, которым распоряжается вычислитель.

$ 11. Сплайны Пусть отрезок [а, Ь) разбит на У равных частичных отрезков [хох;~н), где х; = а+ й, 1=0, 1, ... ...,М вЂ” 1, ха = Ь, Ь =(Ь вЂ” а)/йг. Салайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непоерывна иа всем заданном отрезке [а, Ь), а на каждом частичном отрезке [хьх;+~) в отдельности является некоторым алгебраическим многочлепом. я Гл. !. пгиглнжсппа Фгнкцз!и! мпогочлвнлмп Ыаггснмальная по всем частичным отрезкам степень многочленов называется степенью салайпа, а разность мегкду степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на (а, Ь] производной — дефектол! еалаг7на Например, непрерывная кусочно линейная функция (ломаная) является сплайпом первой степени с дефектом, равным единице, так как непрерывна только сама функция (нулевая производная), а первая производная уже разрывна.

На практике наиболее широкое распространение получили сплайны третьей степени, имеющие на (а, Ь] непрерывную, по крайней мере, первую производную. Эгг! сплайны называются ггдбггческими и обозначаются через 5з(х). Величина тг = 5', (х!) пазы вается наклоном еалайна в точке (узле) хь Нетрудно убедиться, что кубический сплайн 5з(х), припиглающий в узлах хь х;н соответственно значения 1ь 1ггг, имеет на частичногл отрезке [х„хгзн] вид (х „— х)з (2 (х — х,) + Ь) 53 (х) !э 1г+ (х — х,.)з(2(хг„, — х)+ Я) + яз 1!+! + (х., — х)з'.! — х.) (х — х )з(х — х „,) Дег)ствптеггьно, легко видеть, что 5з(х!) = 1ь 5з(х;.н) = 1;.н. Кроме того, простые вычисления показывагот, что 5.',(х,.) =тг, 5;(хьы) =а!,.„!.

йрожно доказать, что любои алгебраический много- член третьей степени, принимающий в точках хь хгзн значещгя, равные соответственно 1ь 1;„г, и имеющий в этик точках производную, соответственно равную ть т;н, тождественно совпадает с многочленом (1). Итак, чтобы задать кубический сплайн 5з(х) на всем отрезке [а„Ь], нужно задать в ггг+ 1 узлах х; его значения 1! и наклоны ть г = О, 1, ..., йг. Сплайны используются для различных целей. Кубический сплайн, принимающий в узлах х; те же значения 1ь что и некоторая функция 1, называется интерполяг(ионныл!.

Он служит для аппроксимации $ и. сплапны функции / на отрезке [а, Ь[ вместе с несколькими производными. Способы задания наклонов интерполяционного кубического спл ай на. 1 (упрощенный способ). Полагаем т! —— , !'=1, 2, ..., Л/ — 1, 26 З О т Н и З А'-! 41! 12 31 З/ + / — 41, 26 2Ь Заметим, что формулы (2), (3) согласно (10.2), (10.9), (10.10) являются формулами численного дифференцирования второго порядка точности относительно шага й = (Ь вЂ” а)/Л/. 2. Если известны значения 1', производной 1' в узлах хз, то полагаем т,.=1',, 1=-0, 1, ..., Л'.