учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 14

Найденный алгебраический многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции 1 на дискретном множестве (ХД1, с: [а, Ь] в смысле расстояния (16) обычно принимается в качестве некоторого аппроксимирующего многочлена для функции 1 на всем отрезке [а, Ь]. 3 а мс чан ие 1. Если Ач = п, то найденный в дискретном варианте методом наименьших квадратов алгебраический многочлен и-й стспени совпадае~ с интерполяциоцным 1лногочленом, так как уклонение интерполяционного многочлена от заданной функции 1 на множестве точек (хД,".

в смысле расстояния Е4 ГЛ. !. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНЛМИ Они называются коэффициенгалш Фурье функции 7 ло ортогональной системе !ро, !р!, ..., !р . Из (13) с учетом (4), (11), (17) находим т р (7, Ф )=((7(! — ~ с)!!<р)!(, (-о (18) где Ф вЂ” многочлеп наилучшего среднеквадратичного приближения функции 1, построенный по ортогональной системе !рь, <р!, ..., гр„, с; — его коэффициенты. Отсюда явно видно, что с ростом т, т. с.

при добавлении к ортогональной системе !р,, !р„..., !р новых функций (без изменения старых), величина р'(1, Ф„,), вообще говоря, убывает (не возрастает). В пространстве Е,+, ортогональная система !р„, <р!, ..., !р,„ может состоять не более чем из и + 1-й функции, т. е. т ( л. Если т = л и эта система ортогональна, то опа, будучи линейно независимой, образует базис в Е.„!. Тогда для любой функции 1ее Е„+! найдется такой многочлен Ф„(х) = (16) в силу (4.1) равно нулю, а меньше быть не может. Среднеквадратичные приближения функций алгебраическими многочленами используются обычно в тех случаях, когда приближаемая функция не обладает достаточной гладкостью и для нее не удается построить подходящего интерполяционного многочлена (см.

$ 4 — 7, 9), сплайна (см. 5 11) или многочлена равномерного приближения (см. 5 12), а также если значения функции известны в достаточно большом числе точек, но со случайными ошибками. Вопрос влияния случайных ошибок на аппроксимирующий многочлен рассматривается в следующем параграфе. Применение ортогональпых многоч л е н о в. Ре!пение нормалыюй системы уравнений (14) находится Наиболее просто, если система функций йи !р!, ..., !Г„, ортогональна, т. е.

удовлетворяет условиям (!1). В этом случае матрица системы (!4) становится диагональной и получаемые из нее коэффицеенты многочлена (12) наилучшего среднеквадратичного приближения функции ! имеют вид с=, 1=0,1, ..., т. (17) (! Р!) (чл ч!) ' З 13, МЕТОД НЛИМЕНЪШИХ КВЛДРЛТОВ = со1ро(х)+ сир1(х)+ ... + с„1р„(х) (такая линейная комбинациЯ фУнкций 1р1, !'= О, 1, ..., и, с коэ1Рфициентами, зависяшими от !), что Ф,(х) = !(х), х ~ (х1)1 о, и, следовательно, р(1, Ф )=О. Указанный многочлен, очевидно, совпадает с многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции ) ее Е„+1 при т = и.

На любом отрезке [а, Ь] существует бесконечная ортогональная в смысле скалярного произведения (1)' система алгебраических многочлеиов. М(вогочлен, задаваемые выражением лп Х„(л) = — „— „„(х — !), (19) называются многочленами Лежандра. Они обладают свойством ортогоиальиости на стандартном отрезке ( — 1, 11: 1 Г О, /Ф!о, (Хп Хл)= — ~ ХТ(х)Хл(х)дх= 1, (20) 2 1 Л ~ ! — ь которое проверяется интегрированием по частям. Очевидно, Х„(х) является алгебраическим многочленом и-й степени со старшим коэффициентом, не равным нулю, так как при и-кратном дифференцировании многочлена (х' — !)" = х'" — пх'" — о+ ...

степень понижаегся в точности на и. Для многочленов Лежандра справедлива рекуррентная формула (п + 1) Хе ы (х) — (2п + 1! хХ„(х) + пХ„, (х) = О, (21) по которой с учетом того, что Х,(х)=1, Х1(х)= х, может быть найден многочлен Лежандра любой степени. В частности, Х,(х) = — (Зх' — 1), Х, (х) = — (5хо — Зх), Х,(х) = — (35х' — 30х'+ 3). Следующая лемма устанавливает важвое свойство многочленов Лежандра, которое используется в 9 !5.

Л е м ма 2. Все корни и1ногочлена Лежандра (19) действительные, простые и распололсены в интервале ( — 1, 1), аэ 1'л !. НниелиженР1е Функций мнОГОчлендми Доказательство. Прегкде всего отметим, что многочлен Лежандра (19) ортогонален любому алгебраическому мпогочлену Р,(х) степени /г ( и, т.

е. 1 — Р„(х) Хп (х) г(х = О, А ( и. (22) -! Это утверждение следует пз (20)' и представления миогочлена Ре(х) в виде Р1,(х) = аоХс(х) + агХ1(х) + ... + алХь(х), (23) гле ас, сс1, ..., ае — вполне определениыс числа. Ь' еь,тажспии (23) синг!ада выбирается аго шобы справа и слева совпали старшие коэфф:шиеиты, з1гсм нлходптся аг. ! и т. и. Доиусп;и, что мпогочлсп Х„(х) пмсст в интервале ( — 1, 1) только А ( и различных действительных корней нечетной краткости. Обозначим этп корни через х1, хя, ..., .тгг и зададим многочлен )г-й степени (х — «,)(х — х,) ... (» — х„), )г ) О, Р (х)= (24) 1 т Очевидно, многочлен и+ й-й степени, являюшпйся произведением РР(х)Хн(х), не изменяет знака в интервале ( — 1.

1), где у пего могут быть корпи толь- КО четной кратности, и не рпксн т01кдестеенно пулю, Поэтому ~ Рл (х) Хл (х) огх Ф О, — 1 что противоречит равенству (22). Следовательно, у многочлена Лежандра (19) и-Й степени в интервале ( — 1, 1) имеется в точности и простых (однократных) корней. П р н и с р. Хппрокспмпровать функцию 1(х) = 1х( на отрез. кс [ — 1, 1] алгебра1шсскпн многочлецом четвертой стспенн с поношыо метода нанмсньшнх квадратов. Решение. Искомыйг многочлен Фг(х) представляем через м1югочлепы Лс1кацдра; Ф, (х) = ссХс (х)+ с,Х, (х) + ... + с,Х1 (х). В соо1ветстввн с (!), 117), (20) имеем 1 с = ~ )х(Х1(х) йх.

21+! 2 -1 5 13. метод нАнменьшнх кпАДРАтов 87 В частности, са = 1/2, сг = О, сг —— 5/В, сг = О, с! = — 3/18. Та- ким образом, Ф, (х) = — + — (зх — 1) — — (35х — сох + 3) = 1 5 3 4 2 8.2 15 8 = — (-7х' + 14 хе + 1) 128 Поскольку ((/~!г (/ Л ~ ~( (г,! -! то согласно (20) и (18), где гр,/ Хь получаем следу!он!ее значение средпенаадратичпого уклонении мпогочлена Пг,(х) от /(х) = (х( на [-1, 11: Можно доказать, что многочлены Лежа пдоа Хо(х), Х!(х), ..., Ха,(х), ...

образуют полную систему функций, т. е., какова бы ни была функция / ен ен С( — 1,!), ее многочлены Ф (х) наилучшего среднеквадратичного приближения, построенные по мчогочлепам Лежандра, сходятся к функции / в среднем, ,т. е. среднеквадратичное расстояние ! И, г)г )='~„/ — ~ ()(х) — '11„(х))г~ -! стремится к нулю при пг-э оо. Однако сходнмость в среднем не гарантирует, что в каждой точке х отрезка ( — 1, 1) существует равный /(х) предел 1нп цр (х).

Имеются алгебраические многочлены, ортогопальные па дискретном множестве точек, т. е. в смысле скалярного произведения (2). Многочлен хон = х(х — 1) ... (х — (р — 1)) называется факториальыым лгногочленом степени р, х!'! = =1 зв ГЛ. 1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛННАМИ (25) тп =О, 1, ..., и, ортогональных на дискретном мно- жестве целочисленных точек (х!); ы х! — — 1, т.

е. О, 1 ~ о1, (Рм„, Р;„) = (м+ и+ 1)1~'Р" . (26) п1~1(2п! + 1)(и + 1) л где (), д)= п+, Х 7(!')д(!'). В частности, имеем Ргл (х) = 1, Р,„(х)=- 1 — 2 —, (27) Р (х)=1 — 6 — +6 2л и п(п — 1) Среднеквадратичные тригонометрическими Функция Ф„,(х)=аг+ ~(ар сов рх+ Ьр з(п рх), Р— -! приближения м н о г о ч л е н а м и.

(28) где а,, ЬР— произвольные числовые козффициенты, называется тригонол!етрическим л1ногочленом порядка и. Тригонометрическими многочленами естественно приближать периодические функции периода 2и. В теории рядов Фурье устанавливается, что коэффициенты тригонометрического многочлена наилучшего среднеквадратичного приближения непрерывной 2п-периодической функции (, для которого величина 2л р(1, Фт) = 2 ~ (7(х) — Фм(х))'г(х о Для каждого натурального !г определена система л!ногочленое Чебышева $ !а. метОд нАименьших квлдРАтОВ значение, задаются форму- принимает минимальное лами ') ал = — ) Г (х) соз рх с(х, ! г о (29) ЬР = — ~ !е(х) з!п рх дх, р ) О, ! о т.

е. являются коэффициентами Фурье. Не останавливаясь на этом вопросе подробнее, отметим лишь, что на практике вычисление коэффициентов Фурье (29), задаваемых в виде интегралов, может вызвать значительные затруднения. Рассмотрим задачу нахождения тригонометрического многочлена наилучшего среднеквадратичного прибли!кения на дискретном многкестве точек.

Пусть и, т — натуральные, т ( и/2, й=(х!)!' о, 2л! где хг= +,, !=0, !, ..., и. Положим (ро (х) = 1, !рл (х) = сОз рх, т(3, (х) = з!и рх, (3! ) р=1,2, ...,т. (30) (32) Поэтому коэффициенты тригонометрического многочлена наилучшего среднеквадратичного приближе- *) См. Бугров Я. С., Никольский С. М. ДнфФеренцнальные уравнения. Кратные интегралы.