учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 11

Способы 1, 2 называются лохальныли, поскольку с их помощью на каждом частичном отрезке [ха хне![ сплайн строится отдельно (непосредственно по формуле (1)). При этом тем не менее соблюдается не. прерывность в узлах х! производной 5;(х). Непрерывность же второй производной 5, (х) в узлах сплайна, построенного локальным способом 1 или 2, не гарантируется. Поэтому дефект такого сплайна обычно равен двум.

3 (глобальный способ). Обозначим через 5 (х, + 0) значение 5" (х) в узле х,, справа, найденное непосредственно нз выражения (1), а через 5" (х, — 0) значение 5" (х) в узле х; слева, т. е. найденное из соответствующего выражения 5,(х) на частичном отрезке [х! !, х![, которое получается из (1) заменой ! на ! — !. Имеем 4ы 2гл! 5 (х + 0) + 6 ь 5з 1х! О) /, + а б аа 2ыз, 4т Требуем непрерывность 5" (х) в узлах: 5з'(х! — 0)=5з'(хз+0), з=1, 2, ..., Л' — 1, 3 а. А.

Вчлзоз вв гл. 1. Панвлиженпе Функций многочленхми и приходим к следуюшей системе линейных алгебраических уравнений относительно наклонов: гп;,+4гп,+гп,,= г'=1 2 . 7гг — 1 (4) (!гьь !1-1) ° г Поскольку неизвестных гьг+ 1, то нужно задать' еше два условия, которые называются краевыми (они обычно связаны с «крайними» значениями тгь тп), Дадим три варианта краевых условий. а) Если известны г,'=г'(а), г' = г'((г), то задаем гггг — — );, гггп —— - )д . (5) б) Пропзподныс г", г"' аппроксимируем формуланп шслецпого дифференцирования тгетьего порядка точности, полученньыш пз (10.!2), (10.13) отбрасыванием остаточных членов, и полагаем из= —., ( — !1)„+ 18~1 — 9)2+ 2)з), 1 ! гггп — — — (11гп — 18гп 1+ 9!и а — 2гя г).

в) В некоторых случаях бывают известны значе- ния С" на концах отрезка (а, (г), т. е. величины )," =- г" (и), г'",, = г"" (Ь). Тогда требования 51." (а) = ),", ог" (гг,= )" приводят к краевым условьшм и, Зй — 1, А„, и = — — "+— ь 2 ' 2 Л 410' (7) и = — + — .' — + — гг. З 1У-!и 1 и 2 2 и 4 Краевые условия (5) — (7) можно комбинировать, т. е. в левом и правом крайних узлах выбирать их независимо. Система (4) при всех рассмотренных краевых условичх имеет единственное решение, для нахождения которого могут Сыть применены методы прогонки н итераций (это будет доказано в 2 21, 22).

Решая систему (4) прп выбранных краевых условиях, находим наклоны пгп 1 = 0, 1, ..., гу', во всех узлах. Затем по формуле (1) задаем сплайн на каждом частичном отрезке [хьхгьг]„! = О, 1, ..., 117 — !. Построенный данным глобальным способом сглайн Бг(х) имеет дефект не больше единицы, так как этот а н. Сплхнны сплайн обладает на отрезке [а, Ь[ непрерывной второй производной 5,"(х). Погрешность приближения сплайн о м. Кубический интерполяцнонный сплайн достаточно хорошо приближает гладкие функции вместе с несколькими производными, о чем свидетельствует следующая теорема, доказываемая аналопгчно теореме 10.1. Теорема 1.

Если [~ С,,г![а, Ь), 0 А-- 3, то интерполяционньгй сплайн 51(х) с нсйлоналггг, ваоиннытви способол 2 или 3, удовлетворяет неравенству тпах [У '(х) — 5а !(х)[ ( с(г гы тпах[)' н(х)/, (8) (кг. хгт,] га, и гдег=0,1, ..., У вЂ” 1,гп=0,1, ...,Ь,с — н в;сися!ноя от Iг, г, [ постоянвоя. Таким образом, еслн,"с= С![о, Ь[, т. е. /г= 3, и наклоны сплайна 5з(х) найдены глобальным способом, то на [а, Ь[ максимальные по модул!о уклонения 53(х) от 1(х), 5з(х) от ! (х) н 5~ (х) от 1 (х) равны соответственно 0(й'), О(/га) п 0(Л'). Прп зада!пн! наклонов способом 2 имеющиеся в узлах скачки у 5" (х) не превышают удвоенной правой части неравенства (8), т.

е. при /г = 3 будут 0(6'). Эти скачки у второй производной на графике заметить трудно. 3 а меча н и я. 1. Для кубического сплайна 5:(т), наклоны которого задаются упрощенным способом 1, справедлива теорема 1 при условии, что О < гг < 2. 2. Если функция 1 непрерывно диффереицируема на всей действительной оси А + 1 раз, 0 ( я ( 3, и имеет период, равный Ь вЂ” а, то следует положить та = гпв и к системе (4) присоединить уравнение 3(1 — 1 ) гпв ! + 4!па+ пг! = отвечающее значению 1=0. Из расширенной системы, имеющей единственное решение, находятся наклоны сплайна 5а(х) ~ Се[а, Ь[; этот сплайн продолгкается с отрезка [а, Ь[ с периодом Ь вЂ” а на всю ось х с сохранениек! непрерывности второй производной.

При этом справедливо неравенство (8). Сплайны являются более удобным средством аппроксимации функций на больших промежутках (при За бз Гл. !. ПРиплижение Функции многочленлми больших А!), чем, скагкем, интерполяционные много- члены. Аппроксимация функции на большом промежутке одним многочленом может потребовать для достижения заданной точности значительного увеличения его степени, что на практике неприемлемо. Разбиение заданного отрезка [а, Ь] на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена неудобно тем, что на стыках будет терпеть разрыв первая производная двух соседних интерполяционных многочленов.

Возможно, даже не совпадут на стыке сами значения ннтерполяционных многочленов, если точка стыка не является их общим узлом. Кубический же сплайн 5а(х), наклоны которого найдены глобальным способом, дважды непрерывно дифференцируем на всем отрезке [а, Ь], т. е. имеет непрерывную кривизну.

Точность аппроксимации функции [ сплайном 5а(х) управляется выбором У, т. е. шагом Ь =(Ь вЂ” а)/А!. $ 12. Равномерные приближения функций В линейном пространстве непрерывных функций С]а, Ь] введем норму*) [[7[[с ! . а! и!юг[7(х) [ !а, Ы Норма разности двух функций 7', д~ С[а, Ь], т. е. величина [[! — у[[с!, ! — — !пах[!(х) — д(х)[, !а, и равна максимальному уклонению этих функций друг от друга на отрезке [а, Ь]. Пусть некоторая функция [ принадлежит С[а, Ь], Доказано, что среди всех алгебраических многочлеиов и-й степени существует и притом единственный многочлен Ря(х), обладающий тем свойством, что 1 ~ — 'я![с !а, и ~ ~[[~ — Ря [[с !а, в! где Р,(х) — произвольный многочлен и-й степени.

*) Понятия нормы н нормнрованного пространства даны в и. 7 введення, % !2. РлвномеРные пРиБлижения Фун!кцигт 69 Миогочлен Р,(х) называется многочленол! (и-11 степени) наилучшего равномерного г!риближения функции ]. Число Е«®=11) — Р" 1с(«м=]п]((~ — Р ]]с!«м где точная нижняя грань берется по всем миогочленам и-й степени, называется наилучшил! равнол!ерным приближением функции ) многочленами и-й степени. Очевидно, Е„Я( Е„,гг() при любом натуральном и. Можно доказать, что, какова бы ни была функция ] ы С(а, Ь), последовательность (Р„'(х)) ее многочленов наилучшего равномерного приближения сходится равномерно к Т на (а, Ь), т.

е. Е.(Т)- О при и-+. П р и мер. Пусть ](х) = х"+'. Требуется найти на отрезке [ — 1, 1] многочлен «-й степени наилучшего равноценного прпблн. жепня заланной функции. Р е ш е н н е. Рассмотрим многочлен Т«.Ы (х) = 2 "Т«Ю (х), (2) где Т г~(х) — наименее уилоняюшийся от нуля многочлен Чебышева «+ 1-й степени (см. 5 6). Многочлен (2) согласно свойствам 1, 2 многочленов Чебышева можно записать в следуюшем вп т".

Т«ю (х) = х«+' — ах" ' — 1)х" з— (3) где и, р, ... — вполне определенаые числовые коэффициенты. По свойству 5 многочленов Чебышева вмеем ))т«+~))с! 3,Н~))Р«+$)!с! !,и, (4) где Р,+,(х) — произвольный многочлен «+ 1-й степени со стар. шнм ноэффициентом, равным единице. Из (3), (4) следует, что многочлен наилучшего равпомер. ного приближении Рг, (х) для фунициь ](х) =х"+' на отрезке ( — 1, 1] имеет вид Р! (х) (б) Действительно, Т„! (х) = х "+ — Р(, (х) = ] (х) — Р! (х), Р«4, (х) = х"+' — Р„(х) = / (х) — Р„(х), где Р (х) — произвольный многочлен л-й степени, н согласно (4) выполняется требуемое неравенство 1] «)с(-1, Н ]]~ «])с(-!, и' 7О ГЛ 1, ПРИБЛИЖСИПВ ФУНК1(ИП МНОГОЧЛЕНЛМИ Прн этом нв основании (2) и сне!!стив 4 многочленов Чебышева иолучв и Е (Х"')=Ра([)=[[[-Р1!!)С1 ! Н=[[Т + [[„, 11= = [[ 2 т а+ [[с 1-, и = 2 1 У + ! с 1р и и = 2 а Критерий многочлепа наилучшего равномерного при 6л н ж сн и я.

Ооратпм теперь внимание на одно важное свойство многочлена наилучшего равномерного приблп!кения Р„'(х) в рассмот. ренном примере. В силу*свойства 4 многочлевов Че. бышева разность )(х) — Ра(х), совпадающая с выражением (2) для Та!!(х), пршшмссг в а+2 тгшках .и х„=сов —" —, а!===!1, 1, ... и-1-1 и+1' г ОтрЕЗКа [ — 1, 1[ Зиа !Еипя ( — 1)га,'[Т вЂ” Р),)~ 1, „. )Хру. гимн словами, на отрезке [ — 1, 1) имеются и + 2 точки, в которых разность ) (х) —,",' (х) достигает максимального по модулю значения с чередующимися знакатгп. Отмеченное свойство является общим и служит ггрн ° с!1! О,1 !1ИОГОчлена нанлугчшсГО рпвномернОГО приближен!!н .!!сбой псгй!срыпно!1 фупкппи, о чем свпдстс.!ЬС1ВУЕГ СЛЕД)ЮШан теогйсмаг КОГОР)ЧО ПРИВСДСЬ! бСЗ доказательства. Теорем а 1 (Чсоышева).