учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 9

Однако прп изменении и пнтерполяппониый мпогочлеп Лагранжа требуется строить заново. В этом состоит его недостаток. Интерполяцпопный многочлсн Ньютона (1) выра>кается не через значения функции 1, а через ее разделенные разности. Прн изменении степени п у интерполяциоиного многочлена Ньютона требуется только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых. Это удобно на практике.

Случай равноотстоящих узлов. Пусть хо = хо+ яп, й ) О, lг = О, 1,, п, 14 = 1(хо). Тогда, учитывая связь (8.12) разделенной разности с конеч! ой разностью и вводя безразмерную переменную 17 (7.1), интерполяциопный многочлен (1) можно переписать в следующем виде: (о(х) = 1о(хо+ 4й) = Уо+ с7 —," ,+ ЛР(р ЛРТ +4(0 — 1) — „'+ " +4(0 — 1)".(Π— п+ 1) — „,'. (4) Этот многочлен называется интерполяционным тпногочленом Ньютона для интерполяции вперед. В нем начало отсчета 17 расположено в крайнем левом (зле ха, а используемые конечные разности идут в таблице разностей от 1о вправо вниз (см. табл. 8.1).

Интерполяционный многочлен (4) удобно использовать в начале таблицы и для экстраполяции левее !очки хо, т. е. для д О. Рассмотрим пример интерполяции по формуле (4). Пусть дана таблица значений функции 1(х) = з!их и се конечных разностей: % а. Инте!'Поляпионнып зозогочлгн иькатонА вз десяти нного знака, т. е. без явного указа!пня положния запятой. Допустим, что требуется найти ззпб'. Из таблицы видно, что третьи разности близки к постоянной. Э о согласно следствию к лемме 8.1 свидетельствует о том, что функция 1(х) = 81п х на рассматриваемом промежутке близка к некоторому алгебраическому ыиогочлену третьей степени. Полагаем в (4) п = 3, ха = 5", й = 7" — 5' = 2', д=(6' — 5')/2' = 1/2.

Вычисления имеют вид )а = О а 087156. з7 Л1о = 0 5 ° 0,034713 = 0,0173565, д (з7 — 1) — = — 0,000148 = 0,0100185, дз( 2! 8 а7(Ч вЂ” 1)(Ч 2) ж = — — 0 000042= — 0,0000026 1-. 1-з !а Х х з х Х а7-з Ц-з а!- а(-! аЧ вЂ” з Лз( , а г-з аз( а 1-з Ха 1з (6') = О, 104528 Здесь промежуточные значения найдены с семью знаками после запятой. Седьмой знак является запасным, в окончательноал результате он окрутлен. Точное значение гйп6, округленное с тиестыо знаками после запятой, равно О,!04528, т. е.

все выписанныс знаки у (г(6') получились верные. Интерполяционный многочлен с узлами ха, х „... ..., х „, где х, = ха — йй, имеет вид 1-! з-г 1„(х) =1„(х +!7!г) = !а +д ='+д(д+ 1) —,з+ ... 'Ла; " +О(р+1) (О+и — 1)=," (5) и называется ннтерполяциопным лзногочлсном Ньютона для интерполяции назад. В нем начало отсчета з) расположено в крайнем правом узле ха, а используемые конечные разности идут в таблице от 1а вправе вверх: 54 Гл.

1. пиивлижеиис Фуикц1П1 миогочлеилми Нптсрполяцпонный мно;очлен (5) удобно псполь. зовать Гри интерполяции в конце таблицы и для зк. страполяции правее точки ха, т. е. для д - О. Если пги заданном х в таблице значений функции 1 с шагом л имеется достаточное число узлов с каждой стороны от х, то согласно замечанию 7.1 целесообразно узлы интерполяции хм х1, ..., х„выбрать так, чтобы точка х оказалась возможно ближе к середине минимального отрезка, содержащего узлы. При этом интерполяционный мпогочлен можно строить по-разному.

Наиболее естественно задать пнтерполяционный многочлен в виде (1), где в качестве ха берется ближайший к х узел, затем за х1 принимается ближайший к х узел, расположенный с противоположной от х стороны, чем ха. Следуюшие узлы назначаются поочередно с разных сторон от х, расположенные возможно ближе к х. При таком выборе узлов следующие друг за другом слагаемые в выражении (1) обычно убывают, если и мало, а п невелико. Возможно также в рассматриваемом случае использовать интерполяционные многочлены (4), (5), а также интерполяционный многочлен Лагранжа (74). В заключение укажем, что остаточный член интерполяционного многочлена (4) имеет вид (7.7), а остаточный член интерполяционного многочлена (5) может быть записан в виде где 11"+11 — производная по х, $ — некоторая точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполяции хмх 1, ...,х иточкух.

Согласно (8.4), (7.7) при условни, если й мало, а функция 1 достаточно гладкая, теку1цее слагаемое в выражении (4) интерполяционного многочлена Ньютона приблизительно равно погрешности интерполяции многочленом, составленным из всех предшествующих слагаемых. сыто замечание относится и к интерполяционному многочлену (5) для интерполяции назад. й ю. числен!юе лие Фггенпигоп'ниг 5 10. Численное дифференцирование Б дальнейшем нам потребуется следующая Л е м м а 1.

Пусть ") ) ~ С(а, Ь), $! в= (а, Ь] — лроизвольиь!е точки, ! =- 1, 2, ..., и. Тогда суи(ествуст такси точка 5~(а, Ь), что 1(й~)+1($а)+ ... +1(са) ) (З) и Эта лемма вытекает из очевидных неравенств 1(х)( ((~') ~(4) "" 1(~") ~гп )(х) )а, й (а, ь! и теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции . Простейшие формулы численного дифференцирования. Допустим, что в некоторой точке х у функции 1 существует производная 1(х+ цх) — 1(х) у (х)= 1ип ах.+е ах которую точно вычислить либо не удается, либо слиш« ком сложно.

Тогда естественно положить 1(х + Лх) — 1(х) (х) = Спрашивается, какова же погрешность, т. е. разность между левой п правой частями этого приближенного равенства? Для получения количественных оценок погрешности одного факта существования 1'(л) недостаточно.

Поэтому при исследовании погрешности приближенных формул численного дифференцирования обычно требуют наличие у функции некоторой производной более высокого порядка, чем искомая производная. Остановимся на трех простевших наиболее употребляемых формулах численного дифференцирования. Пусть х! = хе+ ()г, ! = О, + 1, ..., !! ) 0 — шаг, Обозначим у!=1(х,), ~,'=1'(х„) и т. д. а) Через С(а, Ь) обозначен класс непрерывных на отрезке (а, Ь) функций (см. и. 2 введения). 56 гл !.

Пгггглижение функипп многочлн!лми Допустим, что [~ С![хо, х,[. То~да существует такая точка с, что Если [ен Сз[х их![, то, кроме того, — Ь' Г (в) х-!< в<хг (2) где ~ — некоторая точка интервала (хе,х!), т. е. верно (1). Аналогичпо, если 1~ С4 [х г, х!), то , = )гг ~Ц„+ 2 1„~ е 1„+ 24 ~~в(1~), (4) где знак г- можно заменить либо всюду на +, либо ьсгоду на —, х ! < Ц ~г. < х!.

— 2!о+ 1! 11одставпв в выражение '," ' значения [ г, [! в виде (4) и учтя, что по лемме 1 1г!г($ )+ [г!г($.!) = 2[($), где ч — некоторая точка отрезка [$, "г1, получим 1 ! — 21„+ 1! гг2 [О + г2 ! (ь) — !<ь<хг> т. е.

приходим к соотношениго (3). Формулы (1) — (3) называются форлгула,ии чис;генноео диг[гфе1генг1ированггн е остаточныли членами, а формулы и! 2Л 1 г-2(в+1! го (б) го гг! Прп условии, что [ен Сг[х г,х!), имеем ) г-210+1! Ь )„— г, — — )ге($), х,<в<хи (3) Точка 5 в каждой из формул (1) — (3) неизвестна. Докажем соотношения (!) и (3). Согласно формуле Тейлора имеем г! — )а+йг".+ 2 1 ©~ 58 ГЛ 1.

ПРПВЛИЖгппз ФХПКППП мпстоЧлнгхми пг =- 1, и = 2 (тра узла): г,г );=-„г, (-31, +41,-~,.)+ — ',.' 1- (-..), гг2 1;= —,'„(1„-4~, + 3),)+ — ',." (- а. ги = 2, и = 2 (три узла): 1; = — „'. Д-21, + 1,) -И- й), 1~' = — „(1~ — 2)1 + г,) — — гч" ($), гз г (гз 21 + гз) + 'гг (8). и = 1, и = 3 (четыре узла): = — ( — 111 + 18~ — 9~ + 2) ) — — ' ~111(~) вг ( 2го 311+ 8гз ~гз) + гча(ь) 1 = ва ()о 6~1+ 3~1+ 2)з) " ~14>($) ~з б' ( 2)о+9)1 18Рз+1!Р)+ ~141(з) ггг = 2, и = — 3 (четыре узла): Х, = —,, (2Є— 871 + 4Р., — Рз) + — 18 й'Р'ой), г,г )"= ' (У вЂ” 2~+~) — — ") (8).

Г= гз(У вЂ” 2~,+~) — — "'~ а, ггзч= г,з гг гго+ 4111 — 3ггз+ 2ггз) + 118 йЧ~п(зь). (9) (10) (11) (12) (13) (14) В приведенных формулах 5 есть некоторая неизвестная точка из интервала (хз, х„). Остаточные члены этих формул находятся с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. При этом предполагается, что на отрезке (хмх„] у функции 1 непрерывна производная, через которую выражается остаточный член, з 1Ц ЧИСЛЕП!Юа ДИФ4ЗЬРЕНЦИРОВЗНЦС вд 1!1ожио было бы продолжить приведенный сппсо11 формул численного диф!рерснцированпя для возрас1ающиих значений и, !и. При этом обнаруживаются следующие закономерности. С ростом и и соотвегствующей гладкости функции 1 порядок точности формул увеличивается, а с ростом т, т.

е. номера производной, порядок точности относительно й убывает. Выражения производных в узлах, расположенных ближе к середине отрезка (хж х„), более простые, чем у его концов. При четном п в среднем узле для !сгной производной порядок точности формулы па единицу больше, чем в остальных узлах. Поэтому рскомепдуется по возможности использовать формулы численного дифференцирования с узлами, расположенными симметрично относительно той точки, в которой ищется производная. В ы б о р о п т !4 м а л ь н о г о ш а г а.

Б формулах численного дифференцирования с постоянным шагом й значения функции 1 делятся иа й"', где гн — порядок вычисляемой производной. Поэтому при малом й неустранимые погрешности в значениях функппп оказывают сильное влияние на результат числеиюго дифференцирования. Таким образом, возникает задача выбора оптимального шага й, ибо погрешность собственного метода стремится к нулю при й- О, а неустранимая погрешность растет. Допустилз, что абсолютная погрешность Л(11) в кпждоз1 значении функции 11 удовлетворяет неравенству (15) т.