учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 7

1-!. !1 ЛО ГЛ 1. ПРПВЛП)КЕНИГ ФУНКЦИП МНОГОЧЛЕНАМИ Благодаря свойству 5 мвогочлены Чебышева Т„(х) называются многочленами, наигиенее уклоняюи(ил1ися от нуля. Узлы, минимизирующие оценку погрешности интер поля цп и. Возьмем на отрезке [ — 1, Ц в качестве узлов интерполяции корни мпогочлена Чебышева Т„+,(х), т.

е. точки х,=сов, 1=0, 1, ..., и. (8) (2(+ 1) и Тогда многочлен (4.11), у которого старший коэффициент равен единице, будет пропорционален много- члену Т +1(х) и в силу свойства 2 многочленов Чебышева выразится через Т +1(х) следующим образом: в„(х)=2 "Т„+,(х). При этом в соответствии со свойством 4 оценка погрешности интерполяции (4.16) примет вид Пзах [1 (Х) — У.~(х) [~( ( + 1)12 1-1. 11 (9) где 1)(„+1 — — шах [(М+" (х) [.

1-1, и В силу свойства 5 многочленов Чебышева оценку (4.16) улучшить на отрезке [ — 1, Ц по сравнени1о с оценкой (9) за счет другого выбора узлов интерполяции нельзя. Более того, согласно свойству 5 и замечанию прн любом выборе узлов, не совпадающем с (8), соответству1ощая оценка максимальной погрешности интерполяции на отрезке [ — 1, Ц будет хуже, т.

е. узлы интерполяции (8) являются оптимальньыш для оценки погрешности (4.16) на отрезке [ — 1, Ц. В случае интерполирования на произвольном отрезке [а, Ь[ линейной заменой независимой пере- менной оп переводится в отрезок [ — 1, Ц. При этом корням мпогочлсна Чебь1шева Т +1 (1) отвечают точки х1=- — „((Ь вЂ” а)соз — ' —,, +Ь+а), 1 (2/ + 1) и 2 2я+2 (11) 1=0,1,...,п, х= — ((Ь вЂ” а)(+Ь+а), 1= „(2х — Ь вЂ” а), (10) 1 1 В а к!инимизлция оценки поггепиюсти 4! отрезка [а, Ь], являющиеся оптимальными узлами для оценки погрешности интерполяции на этом отрезке. Согласно (8), (10), (11) имеем мп(х)=(х — хл)(х — х,) ... (х — хп)= л)п+! (-'" . )= (2л+ !) ) (! — л)"~~ Т (() ,и,, / 2п,! л+! Отсюда с учетом (6) и свойства 4 многочленов Чебышева получаем (Ь вЂ” лу'+' — (Ь „) + и!ах]в„(х)]= и+, гпах ]Т„+!(1)]= 2„+! !л Ы " 2л+! !,,! "+' 22л+! Следовательно, при узлах (11) оценка погрешности интерполяции (4.16) приобретает вид л)л+! щах ] 1(х) — Т.„(х) ] (~ "+' „,„,, (12) (л,ы (и+ !)! 2!и+! где Л1,+! — — гпах]1(л+н(х) ].

(л. и Сравним теперь способы аппроксимации функции [ен С +! [а, Ь] многочленом Тейлора О„(х) и пнтерполяционным многочленом !.„(х) с узламн (11). Прп построении мпогочлена Тейлора (3.1) целесообразно взять точку хл в середине отрезка [а,Ь], т. е. ха=в = (а + Ь)/2.

Тогда в соответствии с (3.5) оценка максимальной погрешности многочлена Тейлора будет следующей: )и+! !пах] 1(х) — Яп(х) ]-" "~' и+, . (1;)) (а,л! (л+ !)! 2 Таким образом, оценка погре!пностп многочлеиа Тейлора в 2" раз болыпе оценки погрешности (12) иитерполяционвого многочлена Лагранжа г'..(х) с оптимальными узлами (11). Если производная [<и+!)(х) относительно мало изменяется на отрезке [а, Ь], зо обе оценки (12) и (13) мало завышают максимальную погрешность, а если [<п.ы>(х) = сопз(, то каждое пз неравенств (!2) и (13) обращается в равенств, .

Погрешность иптерполяциопного мпогочлсна боже. равномерно распределена па отрезке [и, Ь], чем у 12 Гл !. ПРНГлижс!и!г Функции мпоГочланазн! многочлена Тенлора, обладающего существенно неравномерной погрешностью (см. ~ 3). Поэтому пе только оценка погрешности, но и обычно фактическая ыа!!синильная поГз!сшиость !штсрполяцпонноГО ыпогочлсна па всем отрезке [а, Ь] меньше, чем у многочлспа Тейлора. Кроме того, для построегшя пнтерполяцнониого многочлсна пе требуется вычислять производные функции 1, а нужны только ее значения.

Итак, следует отдать предпочтение интерполяцнонному многочлену с оптимальными узлами (11). П р и м е р. Пусть на отрезке [ — 1, 11 задана Функция 1(х) =- ех. Ее многочлен Тейлора Яз(х) в точке хз = О имеет вид Яз(х) = ~ †. ПосколькУ ех = хт †, то — Ь й! '' — 2. гн а=о а=о тпак )е* — !)з (х) 1 = пгак ~ — > — + — > 0,1о ° 10 кз ха 1' 1 1-1, и ! и й! 61 71 е 6 с!то касается интерполяцвонного многочлеиа Лаграюса ьз(х) лв с узламн (8) при п = 5, то, так как Мз = !пах —, ех~ = е, [,,11,хз для него согласно (9) выполняется неравенство !пах ) ех — ьз (х) 1~ ~—., ( О,!2 ° 1О 1-1, Н О! 2' Таким образом, в рассмотренном примере оценка сверху погрешности шперполяцпонного многочлена Тз(х) значительно меньше, чем оценка снизу максимальной погрешности многочлена Тейлора (,гз(х).

Данный пример подтверждает сделанный выше вывод. В заключение остановимся на вопросе вычисления значений мпогочленов Чебышева. Согласно свойствам 2, 1, с одной стороны, значения многочлснов Т,(х) прп лгобом п ограничены на отрезке [ — 1, 1] по модулю единнцей. С другой стороны, наблюдается достаточно быстрый рост коэффициентов этих много- членов с ростом и. Например, старший коэффициент у многочлена Т„(х) равен 2" — ', в частности, прп и = 21 имеем 2 -' ) 10а.

Это приводит к тому, что вычисление значений Т„(х) для хен [ — 1, 1] по схеме Горнера (2.2) на реальной ЭВМ, обладающей огра. ничеиным числом цифровых разрядов, происходит при $ ! !и!Твгполяш!я с Рлвпоотстояшпми талл!!и 43 больших л со значительной потерей точности. Потеря точности вызывается необходимостью вычитания близких больших по модулю округленных чисел, ибо окончательный результат по модулю не гревосходпт единицу.

Наличие рекуррентной формулы (4) позволяет обойти указанную трудность. Пря заданном х~ ы] — 1„1] находятся сначала Та(х), Т!(к) непосредственно по формулам (2), (3), а затем по формуле (4) вычисляются последовательно значения Т„(х) для возрастающих и, включая заданное и. Можно доказать, что при атом суммарная погрешность округления в значении Т„(х) увели швается по сравнению с максимальной погрешностью округления одноразового вычисления по формуле (4) не более чем в 0(п~) раз.

Во всяком случае в вычислениях по формуле (4) при х е= ] — 1, 1] большие величины не участвуют, так как ! Т„(х) ] ( 1, ] Т„, (х) ] ( 1 для любого натурального л. В вычислениях же по схеме Горнера многочленов Т,(х) влияние погрешностей округления с ростом п значительно сильнее, чем по формуле (4).

Ч 7. Интерполяция с равноотстоящими узлами В $6 было найдено оптимальное распределшше узлов интерполяции, обеспечивающее минимальную оценку погрешности иа всем отрезке. Оптимальное распределение узлов является неравномерным. Узлы (см. (6.8), (6.11)) сгущаются к концам отрезка и разражаются в его середине. Э!о вызывает неудобства на практике.

Неравномерное распределение узлов можно задать, скажем, если интерполяционный многочлен строится один раз, причем для всего заданного отрезка. Если же отрезок [а, Ь] большой и требуется высокая точность аппроксимации функции, то одним интерполяционным многочленом приемлемой степени даже с оптимальным распределением узлов обычно не удается обеспечить заданную точность интерполяции на всем отрезке. В таком случае часто пользуются таблицей значений функции в узлах, рагполо!конных с постоянным шагом, число которых мож.т бьыь достаточно большим. 44 Гл 1. пгпалижснпГ Функции мнОГОчлюымгг Когда задается значение аргумента .к, то выбираетс5! несколько блпжапших к х узлов, использусмых для построени51 пнтсрполяци01п!ОГО мнОГО'!лена Обно11- но нсивсокой степени, и производится интерполяция.

Ниже выясняется зависимость точности интерполяции от шага, с которым расположены узлы. Итак, пусть х; =хо+ !У!, г =О, 1, ..., и,— узлы интерполяции, й ) Π— шаг, 11 = 1(хг) — заданные значения функции [ ен Со+, [а, Ь], причем [хо, х„! с с[а, Ь[. Введем безразмерную независимую переменную Ч = —,— ' (х = х, + Чй). Тогда узлу х, будет соответствовать х,.— хо х, +!а — х, и, кроме того, будут выполняться соотношения л — х! = Ь(Ч вЂ” 1), х; — х! = Ь(г — 1). (3) При этом интерполяционный многочлен (4.3), отвечающий случаю и =1, запишется, как указано в формуле (6.1), а интерполяционпыи многочлеп (4.4) второй степени приобретет вид ~ о (х) =- Т о(хо+ Ч(г) = (о !) (ч е) а , ч (ч — 1) ~ Я о Ч(Ч ) 1 [ 2 2 В общем случае с учетом (1) — (3), (4.6) интерполяцпонный многочлен (4.5) примет следующий вид: о Е„(х) = Т.„(х + Чй) = Х Р„г(Ч))г, (4) где .

Р ==-. — 1' — 'о (д — !)...(д — г+ 1) (д — ! — 1)... (д — и) !го!(г) ==. ( г н(и;)! (б) 11оскгип ку согласно (3) Ыо(Х) = !Х вЂ” ХО)(Х вЂ” Л,) ... (Х вЂ” Хо) = — И Ого(Ч), где ог„(Ч)=Ч(Ч вЂ” Ц... (Ч вЂ” и), (6) к ь интягполяция с глгноотстояпшмп язллмн 4Б то остаточный член (4.13) иптерполяцпо)шого много- члена (4) может быть представлен в следующем впдсс 11л+и (Рз) К„(х) = Кл(хо+ )7й) л 71+ Йл(г)) ) .

(7) Здесь [("+1) — производная по х, а промежуточная точка я = $(х) та же самая, что и в (4.13), (4.14). Заметим, что согласно (1) изменению переменной х на отрезке [хр, хл], где хл = хр+ пй, отвечает изменение переменной )7 на отрезке [О, и]. Поэтому оценку максимальной погрешности интерполяции на отрезке ,.'[хр, хл] с учетом (4.9), (7) можно записать в следующем виде: М~'„1 шак [7(х) — йл(х)[(й ( +, Р.„, !», »л] (8) где 11« =-)пах[а)„(г)) [, )О, «1 Мл+1= — шах [) (х)[.