учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 3

е. 1+ О = ) ~'1 ~ М; 4) О ]=0 э!(~М; 5) (а + ()) 1 = а] + Р1'; 6) а (1+ д) = а( + ар'; 7) а(Я)=(а0)(; 8) ! !'= 1". Здесь а, 0 — дсйствпгсльные числа. 6. Система элементов 11, 1т, ..., 1„, линейного пРостранства М называется линейно зависил1ой, если существуют такие не равные одновременно нулю числа а1, а„..., а„, что ап!1+ а-.]! + ... + а,)„= О. Если данное равенство возможно только при а! = = а. = ...

= а,„= О, то система элементов (1, (и ... ..., )„ называетсп линейно незивиси,иой. 7. Ь(ножестл1о т" называется линейным нормиро- ванным пространством, если опо линейно и каждо- му элементу 1 р поставлено в соответствие дей- ствительное число ~~!г', называемое норяои ) и удов- летворяющее аксиомам нормы: 1) ]!1"]]) О, ирине,и ]]Я=О тогда и только тогда, когда ]'= О, т, е. 1 является нулевым элементол! в т'; 2) ]]а!]]=]а] Ц]] для любого действительного а; З) Ц+Д <]])]]+]]у]] )у(,у р, Аксиома 3) называется неравенством треугольни- ка для нормы. Рассмотрим пример нормированного пространства.

Класс С]а, Ь] всех непрерывных функций, заданных на отрезке (а, Ь], очевидно является линейным про- странством, так как сумма любых двух непрерывных функций непрерывна и непрерывная функция, умно- женная на любое число, тоже непрерывна, Нулевым элементом в этом пространстве является единствен- ная функция, тождественно равная нулю на (и, Ь], введение !3 Если ввести в классе С]а, Ь] норму Ц1 Ц = тах ! 1(х) ], !а, Ы то он становится нормированным пространством. Вы- полнение аксиом 1), 2) для введенной нормы оче.

видно. Проверим неравенство треугольника, Имеем Ц)+ 8Ц=гпах]7'(х)+д(х) !. !а, а! Так как ]1(х)+ д(х) ] является непрерывной функ- цией на отрезке (а, Ь], то по теореме Вейерштрасса найдется такая точка х' ен ]а, Ь], что «пах]1(х) + д(х)]=]1(х ) + а'(х')!. !а. и Отсюда легко следует неравенство треугольника: Ц 7+ д Ц = ! 1 (х') + д(х') ! ( ! 7 (х ) ]+ ! а (х*) ! ( ( (тах]1(х) ]+ тах ! д(х) ! = Ц(Ц+ ЦдЦ.

!а. и !а,Ы 8. Любое линейное норлшрованное пространство является одновременно л/етрическим пространстволв с расстоянием (метрикой) р(1. а)=Ц1 — аЦ. (2) Действительно, аксиомы 1), 2) для введенного расстояния выполняются в силу аксиомы 1) и ак- сиомы 2) при а= — 1 для нормы*), а неравенство треугольника для расстояния (2) следует из неравен- ства треугольника для нормы: р (1, г) = Ц 1 — г Ц = Ц () — д) + (д — г) Ц ~~ ~(Ц 1 — д Ц+ Ц а — «Ц = р (/', д) + р (д, и). 9. В одном и том же линейном пространстве нор- му можно вводить различными способами. Например, в классе непрерывных функций С[0, 1] норму мои!но задать, кроме способа (1), еще в следующем виде: ') Аксвомы расстояния сформуиировавы в и. 4, а аксиомы нормы — в и. 7.

введение Мы не станем останавливаться на проверке аксиом для данной нормы, отложив этот вопрос до й 13. Для того чтобы различать нормы, мы будем в случае необходимости использовать индексы у нормы Например, для нормы (1) распространены обозначения !!!!!с1~, б1 и Ц!!с, а для нормы (3) часто используется знак!!)!! . В зависимости от введенной в одном и том >ке линейном пространстве нормы могут изменяться различные свойства получаемого нормированного пространства и, в частности, изменяется «физический» смысл метрики, порождаемой нормой, Например, расстояние (2), заданное с помощью нормы (1), т.

е., р(1, д) = !! !" — д !!с = !пах ! ! (х) — д(х) !, (4) !а, и означает максимальное по модулю уклонение функций ! и д на отрезке (а, Ь], а при использовании нормы (3) расстояние имеет вид и носит смысл среднеквадратичного уклонения функ.

ций ! и д. Выбор нормы часто диктуется условиями конкретной задачи. Например, прп рассмотрении равномерных приближений функций (й 12) нужна норма (!)„ а при приближении функций методом наименьших квадратов (З !3) естественно напрашивается использование нормы типа(3). 1О. В метрическом и нормированном пространствах вводится понятие сходимости последовательности его элементов аналогично тому, как в и-мерном пространстве К'. О п р е д е л е н и е.

Говорят, что последовательность (1„) элементов метрического (нормированного) пространства сходится к его элементу 1, если р(1, г,)-»0 (Ц вЂ” Ц! — »О) при и- оо. Сходимость в метрическом пространстве называется снодимостью по метрике, а в нормированном пространстве — сходил!остью по норме. Сходимость по метрике (4), или, что одно и то же, по норме (!й' вввдвнин является равномерной, а сходимость по метрике (5), или по норме (3) носит название сходимосги в среднеквадратичном смысле или просто сходимости е среднем. Приближенные решения многих задач, а такгке пх точные решения бывает удобно трактовать как элементы некоторого метрического или нормированного пространства.

При этом погрешность измеряется расстоянием или нормой разности точного и приближен. ного решений в соответствующем пространстве, ГЛАВА 1 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛ ЕВАМ И Большинство численных методов основано на замене более сложных объектов, уравнений н т. д. более простыми. Одно из центральных понятий в математике — функция. Наиболее удобной в обращении на практике функцией является алгебраический мно!.Очлен. Чтобы задать иногочлсн, нужно задать только конечное число его коэффициентов.

Значения ипогочлена просто вычисля!отея, его легко продифференцировать, проинтегрировать и т. д. Поэтому алгебраические многочлены нашли широкое применение для приближения (аппроксимации) функций. В настоящей главе излагаются практические методы приближения функций одной переменной на отрезке, В частности, рассматриваются приближения с помо!цью алгебраических многочленов четырех видов: 1) многочлены Тейлора; 2) интерполяционные ыиогочлш\ы 3) многочлены наилучшего равномерного прпближеш!я и близкие к ним многочлены; 4) многочлепы наилучшего среднеквадратичного приближения (найденные методом наименьших квадратов).

В данную главу включен также ~~ !П, посвященный численному днфференцяроваиию. В нем даны простейшие формулы численного приближенного дифференцирования с использованием значений функции в конечном числе точек и освещается вопрос о приближении производных|и интерполяциопного многочлепа соответствующих производных функции на отрезке. В 5 11 рассматриваются приближения кубическими сплайнами (гладкими функциями, составленными нз конечного числа алгебраических мвогочленов третьей степени).

В методе наименьших квадратов (ф 13) наряду с алгебраическими миогочленами применяются также тригоаометрнческие многочлены, которые являются З !. пгивлк>кееп>ые числя и дспывпя с >и!ь!и более естественнымп для грнблп>кеипя период;шеских функций. В ~ 14 рассматривается погрешность этого метода и изучается влияние случайных ошибок в дискретных значениях функции (ошибок паблюдешш) на аппроксимирующий многочлен, найденный методом наименьших квадратов.

В частности, обсуждается вопрос сглаживания наблюдений. й 1. Приближенные числа и действия с ними Пусть а — точное, вообше говоря, неизвестное числовое значение некоторой величины, о* — известное приближенное числовое значение этой величины (приближенное число).

Величина Л(а") =(а — а* ( называется абсолютной погре>иностыо прпблп>хепного числа а*, а величина Ь(а*) = (2) называется его относительной' погрниностью. Любое число Л(а") (К(а') ) „о котором известно, что Л (а*) ( (Л (а') (б (а*) ( б (а*)), (3) называется предельной абсол>отной (предельной относительной) погрешностью прибли>пенного числа а". Будем для определенности считать, что если а* ~ О и известны числа Л(а*) н б(а"), то опи связаны соотношением 6(а*)= Л(а')/~а*(.

Учет погрешностей в арифметических действиях. Очевидно, что если с = а+ Ь, с" = = а*+ Ь' илн с = а — Ь, с* = а' — Ь", то Л(с')(Л(а")+ Л(Ь') (4) и, следовательно, в качестве Л(с*) естественно взять Л(с') = Л(а*)+ Л(Ь*). (б) Таким образом, при сложении и вычита>ин! двух приближенных ~и>сел их предельные абсолютныс погрешности складыви>от.

Это правило распространяется ад г.с!. !. пгссвлиженгсе Функция много~!ленлми пз алгебраическое сложшспс любого конечного числа ссриблпгксипых чисел. Пусть и=иЬ, и'=а"Ь*, о =исЬ, о'=а*ссЬ*. Имеем Л '(и ) == / сс — и" ( = | иб — и Ь*1= ==) иЬ вЂ” и*Ь+ и*Ь вЂ” а"Ь*) ~: (/ Ь /) а — и')+) и*)) Ь вЂ” Ь') < <~((6* !+ Л(Ь'))Л(а)+! а*(Л(Ь*), т. е. абсолютная погрешность произведения двух приближенных чисел и' и Ь' удовлетворяет неравенству Л(и*)() Ь" ) Л(а')+) а*! Л(Ь')+ Ь. (и') Л(Ь'). (6) Лпалогичпо, при условии, что )Ь*!) Л(Ь') и, слелоаатессшсо, Ь я'= О, получаем )Ь Ь~ ! ЬЬ.

пЬ' — а'Ь" + а'Ь' — п*Ь 1 ) Ь*16 (а') + ) а" 16 (Ь') ' — '"-'* — *1( * ЬЬ" () Ь*1 — 6 (Ь')) ) Ь" 1 Отсюда, поскольку ( Ь" / — Л (Ь*) = (1 — б (Ь') ) )Ь' ! ) О, приходим к следующему неравенству для абсолютной погрешности частного двух приближенных чи) Ь* 1 6 (а') + 1 а' ! 6 (Ь') (7) (! — 6 (Ь*)) ) Ь' )г Пусть и"' ФО, )Ь'!) Л(Ь"). Разделив неравенство (с)) на произведение (а*!)Ь"!, а неравенство (7)— на отношение )и'(,')Ь'/, получим неравенства, которым удовлетворяют относительные погрешности произведения и частного: 6(сс")<6(и')+ 6(Ь")+ 6(и*)б(Ь'), (8) 6 (а') + 6 (С*) (9) ! — 6 (Ь") „'(ля каждого из неранено~в (4), (6) — (9) могкпо привести примеры, в которых Л(а*)~О, Л(Ь')~0 и со гтветствующее неравенство обращается в равенссс,о, С другой стороны, может случиться, что Л(а*)ФО, Л(Ь*)4=0, а левая часть какого-либо из неравенств (4), (6) — (9) фактически равна нулю, В силу неравенств (6) — (9) в качестве предельных абсолютных и предельных относительных погрешно- Ь 1, ПРИВЛИЖЕР!НЫЕ ЧИСЛА И ДЕИС1ВИЯ С Ы!МИ 2! отей произведения и частного можно взять следую- щие величины: К(и")=(Ь'(Л(а')+(а'(6(Ь*)+6(а*)К(Ь*), (10) а(, )Ь" (Х(а')+(а'(Д(Ь*) (11) (! — 6 (ь*В ( ь*( 6(и*) = 6(а*)+ 6(Ь")+ 6 (а*) 6(Ь'), Ь (а*) + Ь (Ь') (13) ! — Ь(ь) (1 ) В формулах (11) и (13) предполагается, что б(Ь") ( 1.