учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 6

погрешность интерполяции. Если относггтельно функции 1 ничего не известно, кроме ее значений (, в узлах интерполяции, то никаких полезных суждений относительно остаточного члена Р„(х) сделать нельзя. Мы получим неко!орос выражение остаточного члена в предположении, что ( еи С„+! [а, Ь), где (а, Ь! — отрезок, содержащий все узлы интерполяции хь !'= О, 1, ..., и, и точку х. Ищем Р,(х) в следующем виде: Р„(х) = со„(х) г„(х), (10) где (11) ши(х)=(х — ха)(х — х,) ... (х — х„), га(х) — некоторая функция, значения которой в узлах интерполяции х; можно задать какие угодно, ибо Р„(х!) = 0 и оз,(х;) = О, !' = О, 1, ..., и.

Зафиксируем произвольное х еи(а, Ь], х ~ хь 1=0, 1, ..., и, и рассмотрим следующую функцию от!: !р(() = Е„(() + ат„(() г„(х) — ~ (1). (! 2) 4 4. зпгтггполяционпып много"!Леп ллгвлп кл 35 (! 1) Эта функция на основании (1), (9) — (1!) обрашаетгя в нуль при ! =- хг, ! =О, 1, ..., и, 1 =х, т.

е. во вся- ком случае в и+ 2-к точках отрезка (а, Ь], на кото- ром изменяется Г. По теореме Ролля гр' (штрих по !) обрашается в нуль по крайней мере в и+ 1-й точке интервала (а, Ь), гр" равна нулю минимум в и точках этого и!- терзала и т. д. Таким образом, найдется хотя бь! одна точка Цен(а, Ь), в которой гр!"е'! (".) = 0 Отсггм да и из (12), учитывая, что У.!лги(5) = О, оз!н+п(а)— =(и+ 1)1, получаем (а+ 1! г (х) ~!" ! 0(5) = О.

Следовательно, 1'""'й) г„(х)= (,1, и, в соответствии с (9), (10), ![в+ц (з) Я„(х) = оз„(х) + (!3) !!в+и (~) Г(х)= Е„(х)+ оз„(х) („+ Ц = Ц(х)ен(а, Ь) — некоторая неизвестная точка. Из равенства (14) вытекает оценка погрешности интерполяции (в частности, экстраполяции) в теку- шей точке х ~ ]а, Ь]: ] 1(х) — Е„ (х)] ( "+', ] от„ (х)] ( 13) и оцснка максимальной погрешности интерполяции на всем отрезке (а, Ь]: !пах ] 1' (х) — Т.„(х) ! ( — '+ — ', гпах ! шн (х) ], (1',!) [а. и (л+ 1)1 где Ь(ль! — величина (3.3). П р и м е р. Оненить гогрешность ирвблнгкенни фраки и! Г(х) =Ч/х в точке х = 116 и иа всем отрезке !а, Ь), гле в == = 100, Ь = 144, с помощью иитерполииионного многочлена Лз. гранма Еа(х) второй степени, построенного с узлами хз = 1(0, хг = 121, хз = 144.

решение. !'(х) = — х 1, ~" (х) = — — х Гз, !' '(х) — х -!з, 1 -з „, 3 з(з 2 Мз= гвах !!™ (х) ! = — 100 и = — '1О '. 3 з з 3 (а з! 8 8 3Г> ГЛ. !. Г>РПГЛП>КЕППЕ ФУП!СППП МНОГОЧЛЕНЛМИ На осповашш псравсвства (15) получаем ! 3/116 — 6, ((иб) (< .3 —. 1 6 3! — 1О ' — 1(1! б — 1ОО) (116 — 12!) (116 — 144) 1 = = — 1О ' ° 16 ° 5 ° 28 = 1,4 ° 10 16 В салу опсшсп (16) >пах ( 3/х — 1.в (х) ! ~( !и, М 10 -з 1в Ы ' — шах((х — !00) (х — !2!) (х — 144)1 2,5 ° 1О 5 5.

Линейная интерполяция й ха х! Рас. 1 >пах (1(х) — Е!(Х) )айв — '. !ам вб где >)42 шах ()п(х) (. (лв в>1 Интерполяция по формуле (4.2) при а=1, т. е. с помощью линейной функции (4.3), называется линейной. Если ввести обозначения й = х! — хо, д = = (х — ло)/1>, то формула линейной интерполяции мо>кет быть записана в следующем виде: !(Х) = й>(х) = й (хо+ !1!) =(1 — )))о+ с)1 (1) Вс>п! шнз Ч называется фазой интерполяции, которая изменяется в пределах от О до 1, когда х 2> Ф) пробегает значения от х,> до х!. >'(Х) Геометрически линейпая интерполяция означает (рис. 1) замену графика функции на отрезке (хо, х!) хордой, соединяющей точки (хо,)о), (хь(!).

Поскольку согласно (4.11) п>в(х) = (х — хс) (х — х!) и, следовательно, 32 1пак ) Ыв (Х) ! П13Х ) (Х Хо) (Х Х!) ) 4 !в>, хб 1х„м! то оценка максимальной погрешности линейной интер>юляцин на отрезке (хо, х!) в соответствии с (4.!В) имеет вид й з минимизация Оценки НОГРГ!пности зт Часто задают таблицу большого числа значений некоторой функции ! с постоянным шагом й изменения аргумента. Тогда при заданном х выбираготся два ближайших к нему узла. Левый узел принимается за хо, а правый — за х!, и осушествляется линейная интерполяция по формуле (1).

Погрешность интерполяции оценивается по формуле (2). П р и м е р. Задана таблица функции з!п х с шагом в !'. Требуется оценить погрешность линейаой интерполяции. Р е ш е н и е. Шаг й таблицы в радианной мере саставлсст и/!80. ПосколькУ' А!з = шах[(них)" 1 < 1, то погРешность линейной интерполяции согласно (2) не превышает р~ — — — ° — < 0,4 ° 1О 180з 8 Величина р~ служит оценкой погрешности, возникающей за счет замены на отрезке длины Л функдпи ип х интерпозяпнонныы многочлевом 1~(х), в предположении, что табличные зна.ения заданы точно н вычисления по формуле (1) осуществляются без погрешностей. Допустим теперь, что табличные значения функции з!и х округлены с четырьмя десятичными знаками после запятой.

Тогта предельная абсолютная погрешность округленных табличных значений есть Л(!) = 0,5 1О-К При вычислениях по формуле (!), в которую вместо точных значений )м )~ функции ((х) = зн х подставлены округлаопзе значения, в значении (ч(х) возникает погрешность, оцеанваемая величиной Л (Л,) = (1 — д) Л (!) + 4Л (!) = Л (1) = 0,5 ° 10 таккакО<о<1. Если найденное таким образом значение интерполяпиопного многочлена Ь (х) окончательно округлить с четырьмя десятичными знаками после запятой, то возникает сшс дополпюсльная погрешность, ограниченная по модулю величиной Л~(!ч) = 0,5 1О-'. 'г!так, полная погрешность линейной интерполшши функция Мп х при округленных табличных значениях и округлении окон.

чательного результата с четыоькя десятичными знаками после запятой оценивается величиной Рз+Л (Л~) + Л, (Ь,) < 1,4 ° !О ч 6. Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева Пусть задана некоторая функция ! ен С +! [а, Ь[. Возникает вопрос, как выбрать иа отрезке [а, Ь[ узлы хо, х!, ..., х интерполяционного многочлена (4.5), чтобы максимальная погрешность интерполяппи функции Т на этом отрезке была мини!лальной. Эта задача является сложной и ее удается решить только для зз 1'л !. Г!Рпвлпжецие Функции !!зг!ОгочлепАыи В частности, при и = О, 1 имеем Ть(х) = сов (О агссоз х) = 1, Т! (х) = сов(агссоз х) = х.

(2) (3) Далее, из тождества сов(п+ 1) <р = 2 соз гр соз и!р — сов(п — 1) <р, полагая !р = агссозх, в соответствии с (1) получаем Т е! (х) = 2хТ„(х) — Т, ! (х), (4) где и = 1, 2, ... Таким образом, Т,(х) действительно является алгебраическим многочленом степени и О.

Полагая Ть(х) = 1, Т,(х) = х на всей оси х и распространяя рекуррентную формулу (4) па всю ось х, последовательно по формуле (4) находим Т (х) = 2хз — 1, Т, (х) = 8х' — 8х'+ 1, Тз(х) = 4хз Зх, Т, (х) = 16хз — 28х'+ бх, Свойства многочленов Чебышев а. 1.

Ори четном (нечетном) п многочлен Т,(х) сойерэхит только четные (нечетные) степени х, т. е. является четной (нечетной) функцией. Это свойство легко вытекает из формул (2) — (4). 2. Старший коэффициент многочлена Т„(х) при и ) 1 равен 2" ' Данное свойство тоже следует из формул (2) — (41. частных функций 1. Мы ограничимся решением более простой задачи, а именно нахождением такого расположения узлов интерполяции хь ! = О, 1, ..., и, на отрезке [а, Ь), при котором минимальна величина шах[в„(х)1 и тем самым минимальна правая часть !а, К оценки погрешности (4.!6). Для простоты сначала рассмотрим случай стандартного отрезка [ — 1, 1).

При этом нам потребуются многочлены Чебышева, М ног о члены Чебышева. Многочлены гТебышееа Т,(х), п ) О, на отрезке [ — 1, 11 задаются формулой Т„(х) = соз (п агссоз х). б б. Минимизьния опенки погггп!ногти яз 3. Т,(х) имеет и действительных корней в интервале ( — 1, 1), выражаел!ых формулой х,=сов ", !'=-О, 1, ..., и — !. 12! + 1) п В самом деле, Т„(х!) =- сов(п агссоз х!) = соз 2 —— — О, (21 + 1) п б= — 0,1,..., и — 1, 4. шах (Т„(х)(=1, причел! 1-!. Ц (5) Т„(х )=( — 1), где х,„=сов(тп/и), т=О, 1, ..., и. Действительно, согласно (1) Т„(х,„) = соз тп = ( — 1)'", ) Т„(х)( ( 1, х бн ( — 1, 1).

5. 1)4ногочлен Тп (х) = 2' — 'Т„(х), и б 1, (5) среди всех многочленов и-й степени со старти,ч коэффициентом, равным единице, имеет на отрезке ( — 1, 1) наименьшее значение максимума модуля, т. е. не существует такого многочлена Р„(х) и-й степени со старшим коэффициентом, равным единице, что шах 1 Р„(х)1( гпак (Т„(х)) = 2 ". (7) 1-! !1 1-!. !1 Допустим противное! имеется многочлен Р,(х) = = аб + а !х + ... + и, !х" — ! + х", удовлетворяющий неравенству (7). Тогда, так как по свойству 2 у мпо гочлена т„(х) старший коэффипиепт тоже равен единице, разность Т„(х) — Р„(х) является алгебраическим бшогочленом степени пе выше и — 1, причем в силу (7) Т„(х) — Р„(х) ~ О.

Кроме того, в и + 1 точках х = соз(тп/и), т = О, 1, ..., и, на основании (5)— (7) эта разность принимает отличные от нуля значения с череду!ощимися знаками. Это означает, что алгебраический многочлен Т,(х) — Р (х) степени мень. ше чем и обращается в нуль по крайней мере в и точках, что невозможно. 3 а м е ч а н и е. Можно доказать, что если Р„(х)= = а,+ а,х+ ... + а„,х" '+ х", причем и '.л 1, шах ( Р„(х)) = 2' ", то Р„(х) = 2' "Т„(х)= Г„(х).