учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 15

Рялы. Функции комплексного переменного. — Мл Наука, 1985. — $4.3, 4.9. Можно доказать, что тригонометрическая система функций (31) ортогональна на дискретном множе- стве (30) в смысле скалярного произведения (2), а именно, (гр1, фл)=0, 1=0, 1, ..., т, )!=1, 2... ит, (гР„<Р,)=0, гчьз, (тРг, тРо)=0, (~!У, (гро гр„) = 1, (грл, !рл) =(тР, ф~)= 1/2, р = 1, 2, ..., т (~ и! 2, ЯО ГЛ. !. ПРПБЛИЖЕНИВ ФУНКЦИИ А2НОГОЧЛБНАМИ ния функции / на дискретном многкестве (30), имеющего вид г1! (х)=ар+ 7 (арсозрх+ р з(п рх), (33) р=! находятся согласно (17), (2), (32) по формулам 2=0 2=о 2=-0 (34) Прп этом, аналогично (18), получаем / р(/, !12„,)= '~/ +, ~ (/(л!) — !12,„(х!))2= 2=0 При четном и и при пг = и/2 ортогональная на В тригонометрическая система (31) состоит из 2т+1= = и+ 1 функций и образует базис в Е„.ь!.

Поэтому тригонометрический многочлен (33) наилучшего среднеквадратичного приближения функции / в Е,ы, коэффициенты которого вычисляются по формулам '(34), является прн указанных п, т интерполяционным, т. е. 62„!2(л,)=/(х,), !э=О, 1, ..., и, и р (1, 622!2) = О. За меча и ив 2.

Как уже ~~ма~алесь выше, всегда полезно, например, когда значения функции известны с погрешностями, аппроксимировать функцию интерполяциоиным многочленом. Эти погрешности вносят искажения и в многочлен, найденный методом наименьших квадратов, и тем сильнее, чем больше и, т. е. порядок (или степень) многочлена, з и. погкашности свнднаквлдвлтич. пвивлижшцщ д1 а интерполяционному многочлену отвечает максимально возможное лг прн заданном л. Этот вопрос подробно рассматривается в следующем параграфе. й 14. в(сследование погрешностей среднеквадратичных приближений.

Сглаживание наблюдений В данном параграфе изучаются погрешности среднеквадратичных приближений, получаемых мето- дом наименьших квадратов в дискретном вари,шп. Рассматривается влияние случайных сшибок в зна- чениях функций (ошибок результатов наблюдений) и исследуется погрешность метода, возникающая за счет того, что приближаемая функция ие принадле- жит классу многочленов, которыми осуществляетсч приближение.

Допускается раздельное рассмотрен .с случайной ошибки и погрешности метода, поскольку огератор построения многочлена наилучшего средне- квадратичного приближения является линейным. В заключение разъясняется процедура сглажнвшп.я наблюдений. Пусть, как и в 5 13, Е,+г — евклидово простран- ство функций, заданных на коне шом множестве то- чек (хг); о с: (а, Ц, со скалярным произведением (!3.2).

Г1редположггм, что в Елы дана ортогональная система функций срж срь ..., срв„т. е. удовлетворяю- щая условиям (13.!!), причем в) т ( л. По этой си- стеме функций строится аппроксимирующий мпого- член. Допустнм, что вместо значений !(х,) функцнгг г' известны их приблнженныс значения Гг — — Г(хг)+ По 1=0, 1, ..., гг. Здесь г1; — ошибки наблюдений, являющиеся незави- симыми случайнымп величинами с нулевым средним значением и дисперсией, пе зависящей от г', т.

е., в частности, М [г!г) = О, г = О, 1, ..., н, (1) ( О, гвду, М(Ч Чг) =~ о, (2) *! Поскольку ортогональные функпнн лннеано неаавнсвны, то нх ю~сло вг+ 1 не может превысить размерность пространсгьа Е +в равную а+1. 92 ГЛ.!. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНАЫИ где М[$] — математическое ожидание случайной величины 5. Тогда вместо коэффициентов (13.17) многочлена наилучшего среднеквадратичного приближения функции 1, имеющего вид (13.12), будут найдены коэффи- циенты .(!) Ф() (Ф1, Ф1) (4) у( — случайная ошибка 1'-го коэффициента.

Отсюда с учетом (13.2), (1) получаем = (е ( 1) ( .) Х 71(х!) М (Ч!] = и' (~) Таким образом, математическое ожидание погрешности каждого коэффициента аппроксимирующего миогочлеиа равно нулю. Принимая во внимание (4), (13.2), находим ММА]= Г" п 1 =-„, „„„„„„„, м[Е !.,!Е~,~.!;!]- 1 = ( + .,(, ) ) у !р~(х!)!р~(х ) М [т)!т),]. В силу (2) в двойной сумме могут быть отличными от нуля только слагаемые, отвечающие д = !'.

(Р Ф1) (1+и. Ф1) (1 Ф1) (ч. Ф() (Ч'1 !Р1) (!Р( !Р1) (!Р1 !Р1) (Ф1 Ф!) (3) где $ и. по1Решности сРедиеквадРлтич. пРивли)кшшн 93 Отсюда с учетом (13.! 1) получаем ((!( (У!Уе) = 1 'х 'о' (а+1)(фь ф!)(фм фе)1в+1!шф)( ! Ре( "')= (фп фе) а О А=,ь', =,е= 1, (Р + 1) (фг ф)) (фъ фе) 1, А = 1, (!!+ 1) «р), !р!) ' т. е.

погрешности разных коэффициентов некоррелнрованы между собой, а дисперсия погрешности )его коэффициента выражается формулой а' (ч+1)(ф ф)' где о' — дисперсия ошибок наблюдений. На основании (3) имеем Ф„(х)= ~ с!фг(х)= ~ (с)+ у!)ф;(х)=Ф (х)+Г„,(х), 1-о 1-о где Г (х) = уофа(х) + у!ф!(х) + ... + у !р (х), (8) Г (х) — случайная ошибка аппроксимирующего многочлена Ф,„(х), найденного методом наименьших квадратов, Ф (х) — многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции ) при отсутствии случайных ошибок. В (8) аргумент х может принимать значения из конечного множества(х!)1=Р и любые другие значения, при которых определены функции фм ф1, ..., !р . В частности, если в качестве указанных функций берутся ортогональные на дискретном множестве многочлены Чебышева (13.25), то х может пробегать всю действительную ось.

Принимая во внимание (5) †(8), на основании известных теорем теории вероятностей о том, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, а дисперсия суммы некоррелированных случайных величин с некоторыми коэффициентами равна сумме их дис- 94 гл. 1. Игнвлижсние Функции1 л1ногочленами персий, умноженных на квадраты козффнцнентов, получаем М [Г (х)] = щ,(х) М [у„] + 1р1(х) М [у;] + ... ... +1р (х)М[у,,„]=0, (9) рр 1-О Итак, математическое ожидание случайной опп10- ки Г (х) многочлена наилучшего среднеквадратичного приближения равно нулю, а се дисперсия прн любом фиксированном х, вообше говоря, растет с уве- (10) лобавляю.ся 1ювыс неотрицательные сля1аеыые.

3 а и еч а и н е 1. Если ошибки наблюдений пл распределены по нормальному закону, то поскольку согласно (4), (8) ошибка Г (х) в аппрокспмируюшем многочлсне зависит линейно от ошибок наблюдений, она тоже при любом фиксированном х распрслелена нормально. Периодический случай. Пусть [а,б]= = [О, 2и], значения 2И-периодической функции [ известны в точках х; = 2л1/(11+ 1), 1 = О, 1, ..., п. Многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции 1 на дискретном множестве (х1);=„построенный по ортогональной тригонометрической системе функций (13.31), имеет вид (13.33), причем его козффициснты находятся по формулам (13.34). Если для построения аппроксимирующего много- члена используются значения функции [ с ошибками 11„являющимися случайнымн величинами с нулевым средним н облада1оШими свойством (2), то в соответствии с (10), (13.31), (13.32) имеем при т ( н/2 ,(1-Рртрщ р .РР р )) — "', .

111) Таким образом, дисперсия ошибки Г„(х) аппроксимирующего тригонометрического многочлена по- % !!. пОГРешнОсти средиекввдрлтпч. привл1гжеппп эз рядка п1 растет лииейнО От гп и гге зависит От х, прп. чем согласно (9) М[Г„,(х)) = О. Среднеквадратичное значение ошибки Г (х) обозначим через о, (х): с! (х)=т/0[Г (х)[=с! ~/, т~ (—,, (12) где о — среднеквадратичное значение Ошибок пабл одений. Остановимся теперь на искажениях коэфф;щпсптов Фурье, возникающих за счет дискретности.

Допустим, что непрерывная 2п-периодическая фу кц!и! разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье: ) (х) = аа + ~, (ар соз рх + Ьр з1 п рх), (13) р=! где ал ар, Ьр — коэффицисгпы Фурье (13.29). Тогда можно доказать, что если, например, а— гетное, то коэффициенты (13.34) миогочлеиа (13.33) наилучшего среднеквадратичного приближения функ.

цпи [выража!Отса через коэф!рициснты Фурье (13.29)' функции ! (при отсутствии ошибок наблюденн!1) следуюшпм образом: ар = ар+ а„+ аг„+ ..., ар г!Р+ а~-Р+ аРгр+ аер-Р+ аэр гр+ ' ' ' (1 !) [! = Ь вЂ” Ь„Р + Ь„+Р— Ь „+ Ь„ ! ( (р ( и а/2. Если коэффициенты Фурье ар, (г, убывагот быстро, то ар, йр прп небольших р близки к а, (гр, однако с ростом р Относительные пс!'ажшпы Ооычпо увеличиваются. Коэффициенты (13.34) также можно рассматривать как приближения кчадратурными формуламп прямоугольников (см. 9 15) интегралов (13.29) (точнее говоря, равных пм интегралов в пределах от и/и до 2п+л/и).

В предположении, что рассматриваемая периодическая функция ! дважды непрерывно дпфференцируема на всей действительной оси, пз известной формулы ([д)Р = ["д+ 2['д'+ [д" легко следуют 9з Га. !. пРиБлижение Функции многочлеило!и неравенства п1 ах ! (! (х) соз рх)" ! (~ М2+ 2рМ, + р Мо, шах (Д(х) з!п рх)" ! ~ ~М, + 2рМ, + р2Мо, (-~, 1 гдер=0,1, ...,т, М = !пах !14!(х)/. ( — и, о1 (15) (16) На основании (15), (16) и оценки (15.31) погрешности квадратурной формулы прямоугольников следуют оценки н2 (а — ао !( —,Ма ! а — а )( —,(М, + 2рМ, + р2Мо), (1() !ь,— (1,!( Я(ма+ 2рМ, + рамо), где р= 1,2,...,т(п/2.