учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 18

Погрешность формулы прямоугольников и формулы Симпсона при вычислении интеграла (4) в силу (22), (26) удовлетворяет неравенствам [1 — 1Г ! ~ й',4 ° [1 (х) !. 14, М [! — 14[(Ь' 1 гпах[1 "(х)!. (32) !80 Аналогичное неравенство имеет место и для погрешности формулы трапеций. Наряду с оценками погрешности сверху полезны оценки снизу. В частности, для погрешности формулы прямоугольников оценка снизу, вытекающая из (22), такова: ! — Е[- 24 14. Ы (33) В качестве примера исследу м погрешности квадратурных формул для интеграла Ц2 1=~е а4х, о который не выражается через элементарные функции и часто встречается в приложениях. Имеем 1(х)=е- ', г'(х)=(4х' — 2)е-", 1441 (х) 4(4х4 — 12хо+ 3) е-"' е-н4([1" (х) [~~ 2, [)441 (х) [~~ 12 иа [О, 1442[.

Отсюда при 6=0,05 согласно (31) — (ЗЗ) получаем 0 4. 10-«[1 1ЕР! ~~0 11 10-з [1 — 1а! ~0,21 ° 10 ~4 % 1з. квхдРАтур44ь4е ФОРмулы пз т с. верхняя оценка погрешности формулы Симпсона значительно меньше нижней оценки погрешности формулы прямоугольников. Формулы прямоугольников и трапеций в отдельности уступают при интегрировании гладких функций формуле Симпсона.

Однако в паре они обладают ценным качеством, а именно, если Г' не изменяет знака на [а, Ь), то формулы (29) дают двусторонние приближения для интеграла (4), так как согласно (22), (24) их остаточные члены имеют противоположные знаки. В рассмотренном примере )п(х) ( О, хсзр е= [О, 1/2[. Поэтому ~;р < ( < ~,"р. рпр 1 т р В данной ситуации естественно положить т = 2 Тогда Гпр 1 гтр 1 Гпр 4тр А А А А 2 2 т. е.

погрешность оценивается через сами приближенные значения интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций дают двусторонние приближения интеграла (4), не только когда )п не изменяет знака. К этому вопросу мы вернемся в $ 16. Квадратурная формула Гаусса. Между максимальной степенью многочленов, для которых точна квадратурная формула, и порядком точности квадратурной формулы, скажем по отношению к шагу й, с которым используются значения подынтегральной функции, имеется прямая связь. Например, формулы прямоугольников и трапеций (29) точны для много- членов первой степени и обладают вторым порядком точности относительно Ь. Формула же Симпсона (25), будучи точной для многочленов третьей степени, соответственно имеет прн 1ен С4 [а, Ь[ четвертый порядок точности. В связи со сказанным возникает естественная задача о нахождении среди всех квадратурных формул (5) с и узлами квадратурной формулы с таким расположением узлов х4 иа отрезке [а, Ь1 и с таккми весами дь при которых она точна для алгебраических многочленов максимальной степени.

Ясно, что эта 114 ГЛ. Е ~н!СЛЕННОЕ ИНТЕГРНРОВМгив степень меньше, чем 2и, так как при любом выборе узлов х! и весов дь 1 = 1, 2, ..., и, многочлен Рг„(х) = = — (х — х!)'(х — х,)'... (х — х,)х степени 2и обладает тем свойством, что ь и ~ Рьх (х) г(х ) О, но ~~' д;Р,„(х!) = О, а г=-! Рассмотрим стандартный отрезок [а, Ь) = ! — 1, !). Пусть пока х; ~ ( — 1, 1], 1 = 1, 2, ..., и, — произвольные попарно непересекающиеся узлы. Тогда, если взягь веса ! 1 пх г,г(х)гйх, у=1, 2, ..., гг, (34) -! где (х — х,) ... (х — хг,)(х — хпы) ...

(х — х„) (х — х,) ... (х — х;,)(хг — хг „,) ... (х! — х„) есть лагранжевы коэффяциенты для интерполяционного многочлеиа степени и — 1, то квадратурная формула будет точна во всяком случае для многочленов степени п — !. Дсг!ствительно, любой алгебраический многочлен Р„, г(х) степени и — 1 (см. замечание 4.1) точно восстанавливается построенным по нему интерполяциоипым многочленом Е, г(х) той >ке степени.

Поэтому ! *! Р, г(х) г(х= -! = ~ Т,, г(х)ггх= ~ ~~',рл — г,!(х)Рп-г(х;)г(х= -! -! г-! л / ! л = ~ ~ ~ Р„ь; (х) ггх) Р„, (х,) = ~~ гггР„! (хг). г=-! -! 1 ! Возьмем теперь в качестве узлов хь 1=1, 2, ..., и, корни многочлена Лежандра Х„(х) (13.!9), которые согласно лемме 13.2 расположены в интервале ( — 1, 1), а веса г1; найдем по формуле (34). Покажем, 1!6 ГЛ. Е ~!ИСЛЕННОЕ ННТЕГРИРОВАНИЕ Квадратурная формула (35) с о указанными узламн н весами, точная для многочленов степени 2п — 1, называется формулой Гаусса. Можно доказать, что ее узлы х! расположены симметрично относительно точки х = О, а веса д, положительны и в симметричных узлах совпадают при любом п.

Приведем численные выражения неотрицательных узлов х! и весов д! формулы Гаусса для н = 1, 2, 3, 4 с десятью десятичными знаками после запятой. х1 х, 0,77459 66692 0 55555 55556 0,861! 3 63116 0,34785 48451 0,00000 00000 2,00000 00000 0,00000 00000 0,88888 88888 0,57735 02692 1,00000 00000 0,33998 10436 0,65214 51549 хх+хх+, 5 — а хх1= 2 +х! 251, 1=1, 2, ..., а, (38) где х! — узлы канонической формулы Гаусса (35). Расположение узлов хен 1 = 1, 2, ..., п, на частичном отрезке [х', х'„,] геометрически подобно расположению узлов х! канонической формулы Гаусса Некоторым неудобством формулы Гаусса является иррациональность ее узлов и весов в общем случае.

Но это окупается тем, что формула Гаусса точна для многочленов более высокой степени, чем другие квадратурные формулы с и узлами, кроме частного случая п = 1, когда формула Гаусса совпадает с канонической квадратурной формулой прямоугольников (6), где й= 2. С помощью рассмотренной квадратуриой формулы Гаусса (35) с п узлами на стандартном отрезке ,[ — 1,![, которую назовем канонической, можно построить усложненную квадратурную формулу Гаусса на произвольном отрезке [а, Ь[. Для этой цели разобьем отрезок [а, Ь[ на У ранных частичных отрезков ]х~, х" +!], где х1 = а+ Ь (Ь вЂ” а)(Р7, Ь = О, 1, ..., 7т' — 1, х„'=Ь.

На каждом частичном отрезке [х„', х" !] зададим п узлов: $ !ь. кВАдялтуяныв Фогмулы (!7 на отрезке ( — 1, Ц . В силу этого квадратурная формула хь+! ~ ~(~)" = ',—,',",М(~„), (50) где дь — веса канонической формулы Гаусса (35), точна для многочленов степени 2н — !. Суммируя соотношение (39) по Ь от 0 до !(! — 1, получаем усложненную квадратурную форл!улу Гаусса: ь л и-! ~(( )И~ зн ~~~ у)~ 1(~~!), (40) ь-ь тоже точную для многочленов степени 2н — 1. Ее остаточный член й, при условии, что (еи Сь„(а, Ь), имеет выражение (Ь вЂ” а) + Ьн) н,! 41 Л " ((зв)!»(зв+ !) ! (ь) В частности, (Ь вЂ” а) (Ь вЂ” а)' ((ь= 4ззоы Ге(й» )~а= ао!козон )и'К).

(42) Сравним усложненную квадратурную формулу Гаусса (40) при и = 2 и усложненную квадратурную формулу Симпсона (25). Поскольку в формуле Симпсона (25) й и Ж связаны соотношением й= =(Ь вЂ” а)/(2У), то остаточный член формулы (25), который обозначим через ((с, может быть представлен согласно (26) в виде 4 Ь вЂ” а )<Е(З) (Ь вЂ” а)ь)Ш(З) Таким образом, остаточный член (42) усложненной формулы Гаусса, отвечающей н = 2, имеет числовой коэффициент в 1,5 раза меньше по абсолютной величине, чем остаточный член формулы Симпсона.

Обе формулы точны для многочленов третьей степени. В формуле Симпсона (25) требуется вычислить 2М+ 1 значений функции, а при применении форму- 1!8 Гл. а числншое иптегпиРОВАннв лы (40) с и = 2 число используемых значений функ. цпп равно 2Ж. Все же предпочтение следует отдать формуле Симпсона (25), у которой узлы располоткепы с постоянным шагом Ь на отрезке [а, Ь].

Квадратурную формулу Гаусса, в том числе и 1сложненную, целесообразно применять при и ) 2 для приближенного вычисления интегралов от функций, обладающих высокой гладкостью. Я 16. Правило Рунге практической оценки погрешности Учет избыточной гладкости подынте ° гр а л ь ной функции. Допустим, что 1~ С,[а, Ь[ и для приблигкепного вычисления интеграла (15.4) применяется формула прямоугольников (15.21). Ее погрешность, вырагкаюцгаяся через 1", согласно (15.22)' сеть 0(Ь'). Верхнюю оценку погрешности (15.31) формулы прямоугольников, вытекаюшую из соотношения (15.22), улучшить по порядку относительно й в общем случае за счет существования дополнительных производных 1"' и 1<'~ нельзя. Например, если ппп[Г'(х)[> О, то наряду с (1531) справедлива нижи. и нял оценка погрешности (!5.33), пмеющая точный второй порядок относительно Ь.

Наличие у / «лишних» производных /"' и )гв прн использовании соотношенвя (15.22) ничего не дает (эти производные в нем не учитываются). Однако если 1ен С~[а, Ь[, то можно получить другое, в некотором смысле более содержательное соотношение. Пря условии, что 1~ Сч[ — й/2, 6/2[, наряду с (15.8) имеем — й/2 ( г1 ( г1+ ( й/2. Отсюда, аналопшно (15.9)' х »6. ПРАВИЛО РУНГЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕН!НОСТП !!9 Таким образом, справедливо равенство х!» ! х! где х»=а+4Ь, Ь=(Ь вЂ” а)//у', ~!»А+!»,— — /!А'(а+(/+1/2)/!)— значение [44! в середине частичного отрезка [х„х;+,], 41! ~ [хь х,а!] — некоторая точка, ! = О, 1, ..., Л! — 1.

Сумьшруя равенство (2) по ! от О до Ь/ — 1, аналогично (15.22) получаем Г = ! 4Х[ Х !;„.]»- "„'! "»!. »4» ! 0 где / — интеграл (15.4), /АР имеет выражение (15.27), 41 ~ [а, Ь] — некоторая точка. Согласно равенству (15.22), в которос вь!есто / подставлена [а ен Сх [а, 6], имеем ь н-! ~/а(х)4/х =Ь ! /а +Ь! [н!(5) (4) ! 0 где 9 ~ [а, Ь] — некоторая точка. Из (3), (4) находим 1 = /Ааг + СЬ + 0 (/г ) (5) где =,— ', ~~а(.) ., а (б) с — постоянная, не зависяшая от /г. Величина сЬх в (5) называется главной частью погрешности формулы прямоугольников. Может случиться, что с = О. Тогда главная часть погрешности равна нулю и погрешность формулы прямоугольников является величиной порядка Ь». Но обычно с Ф О.

Если /~ С»[а, 6], то справедливо также соотно- шение / = /А'+ с,Ь'+ 0 (Ь'), (7) где /[Р определено в (15.27) и является приближенным значением интеграла (15.4)', найденным по фор- 120 ГЛ. 2. ЧИСЛЕННОЕ Г!НТЕ! РИРОВАНИЕ (10) ' й~ 2Л!2 ЕА с~ — ] = " + 0(ЬА+'") 2 ЕА — ! (11) и, следовательно, согласно (10) с точностью до 0(йи+и) имеем 2А/2 22 Е ЕА/2 ~ (12) ги — ! где еи, гл/2 — известные величины, А МУЛЕ траПЕцвй С ШаГОМ Ь, С, = — —,.