учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 17

Проводится сравнение методов Рунге — Кутта и Адамса. й 15. Квадратурные формулы Сначала сформулируем теорему интегрального исчисления, которую будем использовать в дальнейшем. Т е о р е м а 1 (обобщенная теорема о среднем). Лусть 1", д е= С!а, Ь), причем д(х) ) 0 на [а, Ь). Тогда существует такая точка $ ен (а, Ь), что ~1(х)д(х)г(х =)(В) ~ д(х)дх. 104 ГЛ. Е ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ До к аз а тельство. Положим М = гпах / (х), т = ппп /*(х). /а, М /а, Ы Тогда, так как у(х) ) О, то ту(х)~(7(х)д(х)(Мд(х), хя [а, Ь), и, следовательно, ь ь ь т ~ д (х) дх ( ~ / (х) д (х) дх ( М ~ д (х) а/х.

ь Отсюда, поскольку ~ д(х)дх)0, М)т, вытеа кает существование такого числа с, удовлетворяющего неравенствам т<с(М, (2) что ~ / (х) д (х) /(х = с ~ а (х) /(х. (3) По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции в силу (1), (2) найдется точка $ ~ [а, Ь[, в которой /(5) = с, что вместе с равенством (3) доказывает теорему. Введем понятие квадратурной формулы.

Пусть дан определенный интеграл ь 1= ~ /(х)ь(х а (4) от непрерывной на отрезке [а, Ь] функции [. Приближенное равенство ь а ~ /(х)/(х = ~~/ д//(х/), где о/ — некоторые числа, х/ — некоторые точки отрезка [а, Ь[, называется квадратурной формулой, определяемой весами /// и узлами хь Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени т, если при замене 1 на произ- $15. кВАДРАтуРные ФОРмулы 105 вольный алгебраический многочлен степени Ач приближенное равенство (5) становится точным.

Рассмотрим сначала наиболее простые квадратурныс формулы. Формула прямоугольников. Допустим, что 1ен Сз [ — Ь/2, Ь/2), й ) О. Положим приближенно Щз ~ 1(х)с(х = л1„ (6) где 12 =1(0), т. е. площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции 1, аппроксимируется площадью заштрихованного прямоугольника (рис. 7), высота которого равна значению 1 в средней точке основания трапеции.

Найдем остаточный член, т. е, погрешно ть формулы (6). Пусть р(х) = 11(1) (7, -Аг и А/г х (7) / 7'. пз = — з"'(-с!2/2). Так как Р(0) = О, Рис. 7 Р'(Оы) = 1„Р" (О) = 1„' = 1' (О), Р"'(х)= 1" (х), то согласно формуле Тейлора с оста- точным членом в форме Лагранжа имеем Лз , Лз р*за=* я 1о+ в 1о ~ оз 1 (3 ), (8) где 5, 5+ — некоторые точки, — й/2 < 5 < ~+ < Й/2.

Функция (7) является первообразной для 1(х). Поэтому для интеграла, стоящего в левой части приближенного равенства (6), из формулы Ньютона — Лейбница с учетом (8) вытекает следующее выражение: Мз 1(Х)з(Х з ц2 з — Н2 ЧО+ Ьз )з(зз ! ! р (зз+! -212 Отсюда с помощью леммы !0.1 получаем формулу прямоугольников с остаточным члеяохп тч2 ~1()(~=й1,+ —,",' 1-($), !5!< — ",.

(О) 212 !об гл а числвинов иитеггиговлг ие Формула трапеций. Пусть /а=Са[О,Ь). Полагаем $/(х)Нх =Ь (10) о где /о = [(0), /~ = [(Ь), т. е. интеграл ~ К(х) г/х приз Олиженно заменяется плошадью заштрихованной трапеции, показанной на рис. 8. Выразим [~ и Р~ = Р(Л), где Р— функция (7), по формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме: /~ — /а+/г/'~+ ~ (Ь вЂ” /)/ (/)с//, (11) о Согласно (1!) имеем а' ° а г // Ь вЂ” = Ь вЂ” ' — — /, — — ~ (Ь вЂ” /)/ (/) //. 2 2 2 2 о (! 3) Отделив в правой части (12) слагаемое Ь/а/2 и заменив его выражением (13), с учетом того, что л Р,= ~ )(х)~/х, находим о 1 /(х),/х =Ь / +/ 1 ()(Ь /)/Г (/),//.

О о Так как (/г — /)/) О, /~ [О, Ь), то по теореме 1 ь а б где $ еи[0, Ь[ — некоторая точка. Г,— Г(0)+И (0)+ — Р (0)+ — ~(Ь вЂ” /7Р (/)г//— и =Ь|а+ — [й+ — ~ (Ь вЂ” /) / (/)г//. (12) о т!о. квлдРлтуРные Фоглгулы 107 Таким образом, мы пришли к фар/ауле тра/ге/1ий с остаточноьи членотп ~ /(х)с(х=// 9 ~ / 6)~ в о= (01 и)' (14) о Ф о р м у л а С и м п с о н а. Предпологкпм„что / с=: и ~С,( — 11, й). Интеграл ~ 1(х)с(хприблпжшп.о заме- -Л наем плошадью заштрихованной криволинейной трапеции (рис.

9), ограниченной сверху пзрабо:и й, -/ 0 и Рос. 9 Рвс. 8 проходящей через точки ( — 6, 1,); (О, )о)', (й, 1,)', где 1, =1(/й). Указанная парабола задается уравнением "(о+ 11 г ~о+ Хп Х+ ЕЬ' в чем нетрудно убедиться, положив поочередно х рав- ным — 6, О, й. Отсюда легко находим ~ ус(х = — ()-г+ 4)о+ ~~) Таки;и образом, формула Сииплсона, называемая также фори<улой парабол, имеет впд о 1 ИхИ. = —" ,а,+М,+),). (15) Положим Е г = Г(-+-й), где à — функция (7). По.

скольку Е(О) = О, Е<'г(х) = 11о-'г(х), 1 -" (о ~~ 5, !ов ГЛ 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ то согласно форолуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме имеем Л2 4 ЛЗ 44 Л4 224 ~й! ЧО+ 2 10 ~ Е )О + 24 ~0 л 24 0( о Ло ~~ Л2 1 =1 ~И+ — Ь~ — 1 + + —, 1 (й — )'1н'(~бай Отсюда получаем Р! — Р-! — 3 (~-4+ 4~0+ ~!) = л 24 ~( ) 'чз+ )О о (16) (остальные члены взаимно уничтожаются). Поскольку (й — 1) 0(й/6+ 1) ) О, 1 ~ [О, й), то, применяя к ин.

тегралу (16) теорему 1, а затем к полученному результату лемму 10.1, находим 24 л( ) (3 + )(~ ()+4 0 42 2 л( )0~3 + ) 1Н] 1 1 1 144! 1 Ь 0 зо 1 © (1") где 21 я (О, й), ~ ее ( — й, й) — некоторые точки. л Принимая во внимание, что г"! — Г' ! = ~ )'(х)41х, из (16), (17) приход!Ем к 4(оорлоуле сил!неона с остаточным членоли ~ Пх) а4х = — У, + 41 + 1 ) — — 1~ ! Й). (16) -л 4 !д квлдРАтуяные ФОРмулы !09 (20) Рассмотренные квадратурные формулы прямоугольников (6), трапеций (10) и Симпсона (15) назовем каноническими.

Усложненные квадратурные формул ы. На практике„если требуется вычислить приближенно интеграл (1), обычно делят заданный отрезок [а, Ь) на й> равных частичных отрезков, на каждом частичном отрезке применяют какую-либо одну каноническую квадратурную формулу и суммируют полученные результаты. Построенная таким путем квадратурная формула на отрезке [а, Ь[ называется усложненной. При применении формул прямоугольников и трапеций длину частичных отрезков удобно принять за й, а при использовании формулы Симпсона — за 2Ь.

Остановимся подробнее на применении формулы прямоугольников. Пусть [ее С![а, Ь[. Обозначим частичные отрезки через [х;, х;+>[, где х; = а+ >Ь, ! = О, 1, ..., Л' — 1, хА = Ь, й = (Ь вЂ” а)/М. В соответствии с (6) полагаем ">+! 1" (х)«х = Ц>+и,, (19) к! где [+>м =[(а+(>+ 1/2)Ь) — значение [ в середине частичного отРезка [хих!4>[. ПРи атом спРаведливо аналогичное (9) равенство К>4! Ьз ~ (Х) «Х = Ь|>+!/2 + ял ! 6!)г Р! где $, ~ [х>, хц.![ — некоторая точка.

Суммирование по всем частичным отрезкам приближенного равенства (19) приводит к усложненной квадратурной СЬормуле пряльоугольникое: ь ~ 1(х) «х = й(1иг+ 1з1з+ ... + 1н !а), (21) И а суммирование равенств (20) с учетом того, что по лемме 10.1 !!О Гл е численное интеГРиРОВ1нне где с — некоторая точка отрезка [а, Ь], дает усложненную формулу прямоугольников с остаточным член ох): ~ ~(х)йх= 1!Уи)+ Ьа+ + Ь-!)2)+ а +!12 Ь;," )а Я). (22) Совершенно так )ке при условии, что !" я С2[а, Ь], с использованием формул (10), (14) получается усложненнст квадратурная формула трапеций: )' !а ~ 1(.Г) дх ю Ь( —," + [)+ ~2+... + Цн ! + — н ] (23) а и отвечающая ей формула с остаточнь!м членол1: ! )а [,2 +~1+[2+' а "+Ь-!+ 2 ] — Ь 12 1 (О (24) где 1,=!(а+!У!), Ь=(Ь вЂ” а)]И, аен[а, Ь] — некоторая точка. Пусть теперь Ь=(Ь вЂ” а)/(2Ж) и, как обычно, х; = а + ]11, 1! = ) (х!).

Перепишем каноническую квадратурную формулу Симпсона (15) применительно к отРезкУ [хм, хзьь2] длины 26: х21 ! 2 Ь 1(х) ах = — (12! + 412!+! + !21~2). хм Суммируя левую и правую части этого соотношения по ! от 0 до )У вЂ” 1, получаем усложненную квадратурную формулу Симпсона: ~ 1(х)йх = — ()о+ 4)!+ 2)2+ 4!',+...+4!2н !+!2н)= а и н-! =т(! ) ! ) )а! - ) 2 Ь ! ) )25) 1-1 1 » нь квлдгьтгвиые 1 =- ~ /(х) //х = /ь « (30) будем называть соответственно форлулали прямоугольников, трппеций и формулоа Си.иппонп, опуская слова «усложненная квадратурная». В качестве параметра в обозначениях 1ь», /ьь, 1ь выбрано Л, а ие 1!(, поскольку Ь, будучи шагом, с которым используются значения функции / в рассматриваемых формулах, более характерно. Из выражений остаточных членов в (22), (24), (26) видно, что формулы (29) прямоугольников п трапеций точны для многочленов первой степени, т.

е. для линейных функций, а формула (30) Симпсона точна для миогочленов третьей степени (для ппх остаточный член равен нулю). Погрешность формул (29) имеет второй порядок относительно й (заведомо Соответствующая ей формула с остаточны л! членом, полученная суммированием по частичным отрезкам ;!хсьхг+ь) равенств вида (18), при условии, что [ен ен С![а, Ь[, такова: ь К-! [ ((*(ш. = — (( !. ь„-(- ( т. („,-( 2 ь („) —. « — Ь' '," Г (;-), ойб) где /(=)!а+ (/!), Ь=(Ь вЂ” а) (2/((), ~ ~ [и, Ь).

Для краткости введем обозпаченпя и-! // ! / н-! 1ь = Х /(+(/ь /ь = + Е /Х (~7) (=О [, 2 где /г=(Ь вЂ” а)//(/, /„=[(а+ !ь/!), а также положим н н-! = — (( -(-( -(-4 ь (,, (-2 ь ( ), (2(( ! ( ( где Ь = (Ь вЂ” а)Я2/((), [! = [(а + /Ь). Приближенные равенства ь ь 1= ~ 7(х)(/х =/ьь, 1= ~)(х)(/х = 1(,ь, (29) 112 ГЛ 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ (31) не лучше, если Г' непрерывна на [а, Ь[ и не обращается в нуль), а формула Симпсона при соответствующей гладкости [ является формулой четвертого порядка точности. Поэтому для функций класса С4[а,б) при малом й формула Симпсона обычно дает более высокую точность, чем формулы (29).