учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 16

Остается оценить остаток ряда Фурье, т. е. по- грешность, возникаю!цую за счет замены ряда Фурье (13) его частичной суммой порядка т. При условии, что 2п-периодическая функция ! непрерывно диффе- ренцируема а раз па действительной оси, применяя (! раз интегрирование по частям в интегралах (13.29) и у штывая, что при натуральном р 2п 22 ~ ! соз рх !г!х= ~ ! з!п рх !(1х=-4, о о получаем оценки (а ), )Ь,!( — —,, р>1, где Л4,— величина (16).

Отсюда, поскольку! соз рх !+ ! з!и рх ! ( т('2, при () ) 2 следует неравенство ! (ао соз рх + Ь з!и рх) ( Р=м.(-1 ~ (М ) — = — — —, (18) 4а/2 Г (тр 4а/2 Мо ! и о Р' и ч — ! то(' и 4 и погРРшиости сРедиекВлдРлтич. ИРивлижГиий 97 Ф (х) = 2 с Р~„(х), >-о (19) где согласно (13.2б), (13.17) (1 1отл) (Р!в, ~'ув) ' причем (1, и)= — )' ~(1)й(1).

! (20) Если значения функции ! в точках множества (1)~ о известны со случайными ошибками Чь обла- 4 В. А. Волков Итак, рассмотрены три составляющие погрешности, возникающей при аппроксимации периодической функции тригонометрическим многочленом по методу наименьших квадратов, а именно случайная ошибка, затем погрешность начальных коэффициентов Фурье за счет дискретности и, наконец, остаток ряда Фурье. Сделаем некоторые выводы. Увеличение л, т. е. числа точек х; на отрезке (0,2п), Влечет уменьшение дисперсии (! 1) случайной ошибки и способствует уменьшению возникающих за счет дискретности иска>кений коэффициентов Фурье (во всяком случае правые части оценок (17) стремятся к нулю при п- оо).

Например, если п = 27, т = 3, то согласно (12) среднеквадратичная погрешность аппроксимирующего мно. гочлеиа будет в два раза меньше среднеквадратич* ной ошибки наблюдений. В этом, в частности, состоит сглаживающий эффект метода наименьших квадратов. Для фиксированного и при выборе лч ( п(2 следует соолюдать компромисс между случайной ошиб. кой, растущей согласно (12) при увеличении и, а также погрешностью, вызванной искажениями коэффициентов Фурье, число которых пропорционально т, и погрешностью отбрасывания остатка ряда Фурье, оценка (18) которого улучшается с увеличением Рь Непериодический случа й. Рассмотрим среднеквадратичные приближения функций, определенных на множестве (1)~"=о целочисленных точек, ортогональными миогочленами Чебышева (13.25).

Лппроксимирующнй многочлен степени и ( п для функции ), найденный методом наименьших квадратов, имеет вид 99 гл ! пРиближение Фун!щии многочленами дающимн свойствами (1), (2), то согласно (9), (1О)' М (Г„,(х)) = О, 0 (Гл,(х)) = „+ ~~ 1", (2!) 1=О где Г,л(х) — случайная ошибка аппроксимирующего миогочлепа. В частности, при аппроксимации много- членом первой степени, т. е. Нри т = 1, на основании (21), (13.26), (13.27) имеем 0(Г,(х)) = + (1+ + ). (22) Итак, с увеличением т (т ( п), т.

е. степени аппроксимирующего многочлена (19), при фнксированнык л, х дисперсия случайной ошибки, вообще говоря, растет. В отличие от периодического случая, дисперсия случайной ошибки непостоянна, а именно, в середине промежутка наблюдений она значительно меньше, чем ближе к его концам. При т = 1 зто явно видно из формулы (22).

Кроме того, для иллюстрацнп сказанного приведем таблицу значений дисперсии ошибки Г (х) при л = 1О, о' = 1. Таблица 3 Зл.ч„л,. О (Г, (хц т о ~ ! а ! з а ! ... ( м х=О; 1О 0,09 0,32 ~ 0,59 ) 0,79 0,9! ! ... ~ 1,00 х=б (0,09~ 0,09 ) 0,21 ) 0,21 ~ О,ЗЗ ) ... ) 1,ОО 3 а м е ч а н и е 2.

Если наблюдения производятся с положительным шагом Ь ~ 1, т. е. в точках х = = О, л, 26, ..., ЛЬ, то всюду многочлены Чебышева Р„,. (х) заменяются на Р„(х/л) и, следовательно, в формуле (22) справа х заменяется на х7н. Скалярное произведение при атом задается так: (1, д)= ~ 1(1й)д(юй). Рассмотрим погрешность метода. Пусть ошибок наблюдений нет, но функция г не является алгебраическим многочленом т-й степени. Предположим, что промежуток наблюдений 10,лл] невелик, Тогда, если $11. ПОГРЕШНОСТИ СРЕДНЕКВАДРЛТПЧ.

ПРИБЛИЖЕНИИ 99 /~ С р) [О, пй[, в первом приближении можно считать, что функция / есть алгебраический многочлен степени т+ 1 со старшим коэффициентом, равным /1'"+!) (х,р) /(т + 1)1, где х,р — — ПЬ/2. Допустим для определенности, что функция / является многочленом степени и+1 с указанным старшим коэффициентом, причем ги ( и. Тогда метод наименьших квадратов приведст и тождествам /(х) — = 1)р,+ ! (х) = — С,„„Р,„р 1, „(х//!) + Ф,„(х), (23) где Ф (х) имеет выражение (19), в котором справа вместо Р,„(х) стоит Р),.(х/Ь). Первое тождество справедливо в силу того, что любой многочлен степени гч + 1 точно восстанавливается методом наименьших квадратов, если степень аппроксимирующего многочлепа равна гп+ 1, пршшм и + ! ( и.

Второе тождество выражает тот факт, что Ф„,+1(л) получается согласно (19) из Ф (х) добавлением одного слагаемого. Таким образом, погрешность аппроксимации многочлена 1'(х) степени т+ 1 методом наименьших квадратов многочленом степени т имеет выражение /(х) — Ф (х)=с .„Р р),„(х/Л), (24) причем коэффициент с м может быть найден как по формуле (20) с учетом замечания 2, так и из условия совпадения старших коэффициентов в левой и правой частях тождеств (23). Принимая во внимание (13.25), вторым способом находим ( 1~Р!+!Ьш+1 ( +1)! (~р+!)/(~й+и( ) (25) р!+ 1 (2т+ 2)! РР В частности, если /(х)=ах!/2+ Ьх+с (/"=а > О), т=1, то в силу (24), (25), (13.27) 166 ГЛ. Ь ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ причем при п » 1 где 1= лл — длина промежутка наблюдений.

График многочлена, стоящего справа, изображен на рис. 6. В рассмотренном примере при т = 1 погрешность метода, так же как н случайная ошибка, в середине промежутка наблюдений меньше, чем на его краях. Аналогичное явление имеет место и при других пь й гг и— ы гг -и— ииг Рас. 6 В целом из рассмотрения случайной ошибки и погрешности метода в непериодическом случае приходим к следующим выводам. Моменты наблюдений (точки измерений) целесообразно выбирать так, чтобы наиболее интересный участок оказался ближе к середине промежутка наблюдений, где меньше как среднеквадратичная случайная ошибка аппроксимирующего многочлена, так и обычно погрешность метода.

При постановке наблюдений и выборе степени лг аппроксимирующего многочлена следует соблюдать компромисс случайной ошибки и погрешности метода. Среднеквадратичное значение случайной ошибки растет с увеличением лг (лг ( п), но убывает с увеличением и. Погрешность метода обычно растет с увеличением ПЬ, но убывает с увеличением лг и уменьшением Ь при фиксированном и. Сглаживание наблюдений. Из формул (19), (20) видно, что значение аппроксимирующего многочлена в каждой фиксированной точке х линейно выражается через наблюдаемые значения.

Пусть и = б, лг = 3. Обозначим через 1; значение мпогочлена Фи(х) в средней точке промежутка наблюдений, а че- Е и. ПОГРЕШНОСТИ СРЕДНЕКВЛДРАТИЧ. ПРИВЛНЖЕШ!П !Щ Роз 1-! !!-з !!-! (ь 1!+!, ~зьз, 1зьз — используемые наблюдаемые значения, число которых равно и+ 1 = 7. Тогда = — ( — 27!-з + 37! з + 61! ! + 77; + 61! ! + + 3)!+з — 2~!+з) (26) Сглаживание состоит в том, что таблица наблюдений 1! с постоянным шагом заменяется на таблицу величин („ вычисленных, например, по формуле (26). Эта таблица предполагается длинной, т. е. содерзкашей значительно больше, чем и+ 1 значений.

На краях таблицы для сглаживания используются другие формулы, получаемые из выражения многочлена Фз(х), который построен по соответствуюшим крайним узлам. Для сглаживания, кроме формулы (26), могут быть использованы формулы, получаемые из выражений многочленов (19) при других значениях п, т. Приведем еще несколько формул сглаживания.

и =юг, т= 1: п=4, т=З: ЗЗ ( — 3!! з+ 12~! з+ 171!+ 12~!!-! — ЗГ!!з); 1 п=8, т=5: 7! — — Азв (15Г! з — 55Г! з+ 307! а+ 135)! з+ +!797!+ 135)з+! + ЗО~з+з — 55~!+3+ 15~!+!). Кривая, построенная по сглаженным значениям, становится более плавной в силу следуюших причин; 1. Если наблюдаемые значения содержат случайные ошибки со свойствами, аналогичными (1), (2), то дисперсия погрешности в сглаженных значен!!Ех уменьшается. В частности, при использовании формулы (26) имеем -з ! з й = — вз /6== ), 1ОЕ ГЛ 1 ПРНГЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГОт!ЛЕНАМИ где й — среднеквадратичное значение погрешности сглаженных значений, и †среднеквадратичн ошибка наблюдений.

2. Погрешности в сглаженных значениях 1, становятгя сильно коррелированными. При применении формулы (26) и при тех же допущениях относительно ошибок наблюдеш1й, что и выше, коэффициенты корреляц1ш сглаженных значений следуюшие: г1, 1Ф1= 0,73, г1, 1 1= 0,37, г1, 1Фз= — 0,05, гь 1Ф1== — 0,10, 1; 1ФЕ= — 0,08, г1, Р е = 0,03, гели функш1я 1" не является алгсбрю1'юс1П1м многочленои степени т, то происходит «размазывание» ес графика. 1 овторное сглаживание не рекомендуется, ГЛАВА 2 ,ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ На практике в редких случаях удается вычислить точно определенный интеграл пли проинтегрировать обыкновенное дифференциальное уравнение.

Например, в элементарных функциях яе выражается интеграл и'х — (к:-~ и! — п не интегрируется уравнение и = е !их 1 В 5 15 детально изучаются широко используемые для приближенного вычисления определенных интегралов квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, а также рассматриваются квадратурные формулы Гаусса, являющиеся точными для алгебраических многочленов наивысшей степени.

В 5 !6 обоснованно вводится правило Рун~е практической оценки погрешности, в частности, квадратурных формул и приводится метод уточнения по Ричардсону приближенных решений. Методу Монте- Ка рло приближенного вычисления определенных интегралов посвящен $ !7. В 5 18 излагаются приближенные численнные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения и'=7(х, и). Подробно исследуется простейший метод Эйлера, приводятся методы Рунге — Кутта, а также кратко дается метод Адамса.