😎 Типовое задание по Линейной Алгебре - 57 вариант ✍

1 Задача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшее значения функции f x y  ,  в области определения функции g ,  x y вар № f x y  ,  g ,  x y вар № f x y  ,  g x y  ,  1 2 2 x y x    2 2 1 3    x y 16 2 2 x y y    2 2 1 3    x y 2 2 2 x y  2 2 4 4   x y 17 2 2 y x  2 2 4 4   x y 3 x y  2 2 2 2 x y x y y       1 1 2 18 x y  2 2 2 2 x y x x y       1 1 2 4 x ye 2 2 1 2    x y xy 19 x ye 2 2 1 2    x y xy 5 2 2 x y  4 2 2 4   x y 20 2 2 4x y  2 2 4   x y 6 xy arcsin arccos 1  x y x       21   2 2 x y  1 arcsin arccos  x y x   7     2 2 x y    2 1 arcsin arccos  x y x   22   2 2 x y   2 arcsin arccos  x y y   8 2 2 x x y  2 2 1 2    x y 23 2 2 y x y  2 2 1 2    x y 9 x y  arcsin arccos 1  x y x       24 y x  arcsin arccos 1  x y x       10 y x  ln arcsin arccos 2 y x     25 y x  ln arccos arcsin 2 y x     11 x y  2 2 2 2 x y x x y       1 1 2 26 x y  2 2 2 2 x y x y y       1 1 2 12 x y e  2 2 2 2 2     x y x y 27 x y e  2 2 2 2 2     x y x y 13   2 2 x y   2 4 2 2 2 2 2     x y x y 28   2 2 4 2 x y   2 2 2 2 2     x y x y 14 2 3 y x   2 2 1 arcsin    x y y 29 3 2 y x   2 2 1 arcsin    x y x 15 2 y x  2 2 2 2 8 4 4     x y x y 30 2 x y  2 2 2 2 8 4 4     x y x y 2 Задача 2.

Показать, что функция z z x y  ( , ) удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. f - произвольная дифференцируемая функция. вар № Дифференциальное уравнение Функция z z x y   ,  1 0 z z x y x y         z f y x    2 3 4 0 z z y x x y         2 3 2 z f x y   3 0 x z z e y x y          ln  x z f e y   4 0 z z x x y       y e z f x        5  ln 0  z z y y x y        ln  x z f e y  6 2 3 0 z z yx x y         3 z f x y   ln 7 2 3 0 y z z e x x y         3 y z f x e   8  tg 3 0  z z x y x y          3 z f x y   cos 9 2 ln 0   z z x y y x y         2 z f x y   ln 10 0 z z x y x y       z f xy    11 2 0 z z x x y         y z f xe  12 0 z z y x y       x e z f y        13 2 sin 2 0   z z x y x y       z f x y    tg  14 2 0 z z x y x y        2 y z f x        15 2 ln 0   z z x y y x y       z f x y   ln  3 вар № Дифференциальное уравнение Функция z z x y   ,  16 2 3 0 z z xy x y         3 z f x y   ln 17 2 6 0 z z x y x y          3 z f y x   18 2 3 0 y z z e x x y          3 2 y z f x e   19 cos cos 0    z z y x x y         z f x y   sin sin  20 0 z z x y x y         z f y x     21 2 0 z z x y x y         z f x y    ln  22 4 0 z z x y x y          2 z f y x   23 3 0 z z x x y         3 y z f x e  24 2 tg 0   z z x y x y         z f x y   cos  25 0 x y z z e x y          x y z f e e   26 2 0 y z z e x x y          y z f x e   27   2 cos 0 z z y x y        z f x y    tg  28 2 0 z z x y x y           2 z f xy  29 0 z z x y x y        z f x y   ln ln  30 2 2 0 z z y x x y        3 3 2 z f x y         4 Задача 3.

Проверить, является ли данная дифференциальная форма полным дифференциалом некоторой функции, если является, найти эту функцию. вар № а в 1     3 2 2 x x ydx ydy   cos sin x x      2 2 2 2 2 3 xy y dx x xy dy      2 2 2 2 1 1 1 3 y x dx y dy x y x x y                  2 3 3 2 4 6 x dx x dy y y  3 2 2 2 1 1 2 2 1 xy y dx x ye dy x x                     2 xy xy xe dx ye dy  4   3 y x dx dy   1 x 1 1 3 2 2 1 1 ln 3 1 y y yx dx x x dy x y                      5     2 2 2 2 1 2 y x dx dy x y x y                      ycos sin xdx y xdy  6 x xy dx y xy dy sin cos      2 2 2 2 2 1 2 2 2 ln 2 1 x y y dx dy x x y x y                   7     2 2xy y dx x y dy        2 2 2 2 x xy y dx x xy y dy      2 2 8 2 2 2 2 2 2 1 2 cos 1 1 1 x y y dx dy x y x y x y                         y xdx y x dy sin cos     9     2 3 2 sin 3 x x y dx x y dy    3 1,5 y y xe dx x e dy  10 2 1 2 3 x dx dy y y                    2 2 2cos sin x y dx x y dy    11 2 2 2 1 1 1 sin 2 x dx dy x y x y x y                        5 6 6 1 y y x e dx e x dy   12   5 2 4 x y dx x y dy 1      2 2 3 3 x y dx y x dy    5 13     3 2 2 2 2 3 3 2 xy x dx x y y dy    2 x x ydx dy y  14 2 ln x x ydx dy y      2 sin 2 2 sin 2 x x y dx y y x dy      15  x y y dx x y dy    ln 1 ln      2 1 2 1 ln 5 1 y y y y x dx x yx x dy x               16   2 1 3 2 x x dx y dy x y y x y                      2 2 2 xy tgy dx x y dy    17     2 2 sin 2 cos x y x dx xy y dy     y x xe dx ye dy  18 6 2 8 1  x x y dx dy y             x x y dx y x y dy cos cos        19     2 xy x dx xy dy   2     2 2 2 2 2 sin 3 sin 2 x y x dx x y y dy    20     2 2 3 2 3 4 4 4 x xy dx y x y dy    x x ydx y x ydy    21 3 2 y dx xy dy  4 2 2 1 1 2 2 x y dx x y dy x y                  22 x y x y e dx e dy    2 2 1 1 2 2 y dx dy x y x y                      23     2 2 3 3 6 6 y y x e dx y xe dy          3 2 y y dx x xy dy    24 sin cos cos  x y x x y dx x x y dy           cos ln cos x y xdx dy y  25     2 x y dx xy dy   1 2 2 1 1 sin 2 cos y y dx x y dy x x x                  26     2 2 2 2 2 2 2 4 cos cos 2 2 x y x dx y dy x y x y                           x y dx x y y dy     cos sin 1    6 27 2 4 2 2 1 2 2 3 x y e dx y dy x y x y                   y xdx x y x dy     1 sin cos    28 2 2 1 2 x y dx y x dy         2 2 2 x y x y xe dx e dy    29     2 3 3 2 x y dx x y x y dy     1 6 cos 2 2 50 20 y dx x y dy 2 x y                 30 1 4cos sin 2 4sin cos    x y dx x y dy        2 x y dx x y y dy    cos sin Задача 4.

В точке A найти производную функции u f x y z   , ,  в направлении вектора AB максимальную производную по направлению. Указать вектор направления максимальной производной. вар № f x y z  , ,  точка А точка B 1   2 2 e cos ln xyz x x y z          0; 1; 1 3; 3; 7 2   2 2 sin 2 arcsin 1 x xyz x y z           1; 0; 1 1; 1; 3   3     1 2 2 cos arctg 1 y xyz y z x            1; 1; 0   2; 1; 2 4 tg 2ln     xz xyz yz e  0; 1; 1    1; 1; 1 5 arcsin tg 1 1   x xyz yz z          1; 0; 1 2; 2; 3 6     1 2 2 arccos 2sin 1 x xyz x z y            1; 1; 0 1; 3; 1 7     2 2 arctg ln xyz x z yz     0; 1; 1   2; 1; 3    8 arcctg 2sin 1   yz z xyz e x           1; 0; 1 3; 2; 3 7 9 ln 1 tg 1 cos   y z xyz x y                1; 1; 0  3; 1; 1   10 1 arcsin 1 1 z xyz xz y            0; 1; 1   2; 3; 2   11   1 2 2 2arctg 1 xyz z e y z x            1; 0; 1   3; 1; 3   12     2 2 sin ln yz xyz x z e      1; 1; 0 3; 5; 3 13 cos 1 sin 1   y xyz xy z           0; 1; 1  2; 2; 3  14 tg 2 arcsin 1   xy x xyz e z           1; 0; 1  3; 2; 3   15     2 2 arcsin cos ln z xyz y z y          1; 1; 0   7; 3; 3    1 6       1 2 2 arccos 2 ln xyz x y yz     0; 1; 1    2; 0; 1  17   2 2 arctg sin 1 z xyz y z x           1; 0; 1  3; 1; 3  18 arcctg 1 tg 1   y xyz yz x            1; 1; 0  0; 3; 2  19 ln 1 2 arcsin 1   xz z xyz e y           0; 1; 1   2; 5; 3  20 1 2cos arctg 1 y x xyz x z             1; 0; 1  1; 1; 1  21     1 2 2 2 2 ln xyz e y z x z      1; 1; 0  3; 7; 3  22     2 2 sin 2 ln xyz x y yz     0; 1; 1   2; 0; 3 23 cos 1 sin 1   z xyz yz x           1; 0; 1   5; 4; 3    24 tg 2 arcsin 1   yz y xyz e x            1; 1; 0  0; 3; 2   25 arcsin cos arctg 1   x y xyz y z                0; 1; 1  1; 3; 3  8 26     1 2 2 arccos 2 sin 1 x xyz x y z            1; 0; 1 0; 2; 3 27   2 2 arctg 2 tg 1 y xyz y z x           1; 1; 0   3; 1; 1 28     2 2 arcctg 1 ln xyz xy x z     0; 1; 1    3; 5; 3   29 ln 1 sin 1   xy x xyz e z           1; 0; 1 2; 1; 0 30 1 cos 1 z y xyz tg y x                 1; 1; 0   3; 1; 1 Задача 5.

Варианты 1-10. Для заданной поверхности F x y z  ; ; 0   z f x y   ;  найти точку (точки), в которых касательная плоскость к поверхности параллельна плоскости Ax By Cz D     0 Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в найденной точке (точках). Вариант Уравнение поверхности Уравнение плоскости 1 2 4 ln    x y z x y z    2 0 2 2 2 x y z    0 x y z     4 2 1 0 3 2 2 z x y   2 4 2 9 0 x y z     4 2 2 2 x y z    1 2 2 3 5 0 x y z     5 2 2 12 2 3 18 x y z    x y z   10 6 2 2 z x y   2 4 8 8 0 x y z    7 2 2 2 x y z    2 3 21 x y z    4 6 0 8 2 2 z x y   3 6 4 3 0 x y z     9 2 2 5 2 9 x y z    10x – y + 8z – 13 = 0 10 2 2 2 4 17 x y z    4 3 2 1 0 x y z     Варианты 11– 15.

На поверхности, заданной уравнением F x y z  ; ; 0   , найти точки, в которых нормаль к поверхности параллельна прямой 0 0 0 1: , x x x y x z m n p      или 9 L:            0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в найденной точке (точках). Вариант Уравнение поверхности Уравнение прямой 11 2 2 x y z....