341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Найти характеристическую функцию случайной вели- чины Я„= Х)~ + Хэ~ +... + Х~, где все Хь подчиняются закону ))у(0, 1) и независимы в совокупности, и с ее помощью установить, что я„подчиняется закону Хт(и). 18.495 (продолжение). Используя найденную в предыдущей за- даче характеристическую функцию, вычислить основные характе- ристики распределения Х (и) — математическое ожидание и дис- 2 персию. а 18.496.
Случайная величина У = — Х + т, где Х подчи- ~/2 няется закону распределения Лапласа с параметрами тк = 0 и ,~х = т/2. Найти характеристическую функцию Е„(1) н с ее по- мощью вычислить ти, и Рг. 18.497. Случайная величина Х непрерывного типа имеет ха- рактеристическую функцию вида — )1! < 1, (О, )1) > 1. Найти ее плотность распределения вероятностей.
3. Законы распределения функций случайной величины. Если Х— ь'.В Д.Т. н У = )е(Х), где )с — неслучайная функция, то У вЂ” также С.В.Д.Т., причем ее возможные значения уь = ээ(хь). Если прн этом все уь различны (например, функция ~о(х) строго монотонна), то Р1У = уь) = Р(Х = хь). Если же среди рь имеются одинаковые значения, то Р(Х = х;) Р(У=Ы = ';е)* )=э (т.е.
необходимо сложить вероятности тех значений хь для которых Ю(хэ) = рь). Если Х вЂ” С. В. Н. Т. и У = )с (Х), причем у (х) — монотонно возрастающая непрерывна дифференцнруемая функция, то у — также С В.Н.Т., причем Г Ы = Р (У ( р) = Б (х) йх, 4 '() У, (р) = Е,'. (р) = У'„(~р ' (у)), (2) гав '.Р ' (у) — обратная функция к у (х). Если же )е (х) — немонотонная функция, то ~, э) = К ) ь(*) ~*. (3) в (э) Гл. 18. Тео ия вероятностей 120 где Ь;(у) означает 1-й интервал на оси Ох, на котором гр(х) < у.
Плот. ность у„(у) получается дифференцированием К (у) по у. Пример 7. Случайная величина Ф принимает с равной вероятно. стью любое из конечного числа значений грь = Ая/и, (с = О, 1, ..., и Найти закон распределения случайной величины У = з1пФ В силу равноаероятности возможных значений Ф имеем 1 Ьг Р(Ф = грь) =, По условию уь = гйп —. Так как значениго и+1 и уо = 0 соответствуют два возможных значения Ф: ро —— 0 и гр„= т 2 то Р(У = уо) = Р(Ф = О) + Р(Ф = я) = . Аналогично, и+1 Р(У =у1 —— гйп — ~ = Р(Ф= — ~ + Р~Ф= — я) = — и т.д, Таким образом, при нечетном и закон распределения случайной величины У описывается следующим образом: йя) 2 и — 1 Р У=а1п — ~= —, гс=0,1,..., и) и+1' ' ' ' 2 При четном и 2 и+1 и — 2 если А=0,1, ..., 2 Р У=в!и— 1 и+1 и если Й= —.
1> 2' 1 ( (х — т)з) Ух(х) = — ехр ~— оь/2х 1, 2оз Функция у = ~р (х) = (х — т)з монотонно возрастающая всюду, поэтому справедлива формула (2) для у (у). Обратная функция гр '(у) и ее пргг изводная имеют вид р (у) =си+ Я, йр '(у) 1 Ф З'у' Подставляя это в формулу для определения у„(у), получим ,(~(у) =, ехр — —, — со < у <+ос. ~> ач'2я 8 ~зуд ) 2оз ) ' П р и м е р 8. Случайная величина Х подчиняется закону распределения Аг (т, о).
Найти плотность распределения вероятностей случайной величины У = (Х вЂ” т) . < Плотность распределения вероятностей случайной величины Х па условию нормальна, т.е. Э 4. Функции случайных величин 121 Дрим ер 9 (продолжение). Для случайной величины Х из предыдтгдего примера найти плотность распределения случайной величины т= (Х вЂ” т)т. Э Функция г = у(х) = (х — гп) имеет два интервала монотонности: ( оо, тп) и (гл, со), в каждом из которых определена обратная функция х = т — ~/г при х < т (г > 0) и х = т+ь/г при х > гп (г > 0). Поэтому удобнее сначала найти функцию распределения (см. формулу (3)) О, а<0, и' (х) =Р(Я< а) = Л2(О / (х) Нх+ /кд(х) с(х, х > О, *() гав х~ (а) и хт(х) -- точки пересечения прямой х = сопвс с ветвями параболы х = (х — т), т.е.
х~(х) = т — ~/г, хт(а) = то+~/г, следовательно, при х > 0 ПЪ Ш+у' 2 /,„,( ~*- ) )„, Применяя формулу дифференцирования определенного интеграла по параметру (формулу Лейбница), получим выражение длн плотности распределения вероятностей при х > 0: (Ы~яо) 1 Г х а с( У,(л) = — * = — ехр ~ — — 1 — (т — ~/г)+ ~Ь ць/2х 2от дг + — ехр ~ — — 1 — (го+ ~/г). оь/2х Г 2ит) (Ь Окончательно получим О, если г<0, Ук(х) = ] ехр~ — — ~, если а > О.
> а ~/2ха 2сгт 18.498. Случайная величина Х принимает значения хь = Ы/8, Й О, 1, ..., 8, с вероятностями Р (Х = хь) = (/с + 1)/45, 9 = О, 1 "., 8. Описать закон распределения случайной величины У = сов 2Х. 18.499. Шесть раз бросается правильная монета, Случайная величина Х вЂ” модуль разности числа появлений герба и числа появлений цифры в данном эксперименте. Описать закон распределения. Гл. 18.
Теория вероятяостей 122 18.500. Один раз брошены две одинаковые игральные кости Случайная величина Х вЂ” сумма очков на верхних гранях играль. ных костей. Описать закон распределения. 18.501~. Доказать, что две непрерывные случайные величины Х и У, связанные между собой линейной зависимостью У = аХ + б, подчиняются закону распределения одного и того же вида. В частности, указать закон распределения случайной вели.
чины У = (Х вЂ” га)/а и определить га,, и и,, если Х подчиняется закону М (т, и). 18.502. Известна функция распределения Г„(х) случайной ве личины Х непрерывного типа. Найти функции распределения случайных величин У = 9Х~ — 4, Я = ~Х вЂ” 1~. У = е ~~, выразив их через функцию распределения случайной величины Х. 18.503 (продолжение). Используя результат предыдущей задачи, найти плотность распределения вероятностей случайной вели. чины Я = (Х вЂ” Ц, если Х подчиняется закону М (1, о). 18.504* (продолжение).
Пусть И' = Ря(Х). Вычислить плотность распределения вероятностей случайной величины И~ и установить вид закона распределения. 18.505. На плоскости Оху через точку (а, О) (а > 0) наудачу проводится прямая линия. Найти плотность распределения веро. ятностей ординаты У точки пересечения прямой с осью Оу. 18.506. Через точку, наудачу выбранную на окружности радиуса 1 с центром в начале координат, проводится касательная к окружности. Найти плотность распределения вероятностей длины отрезка касательной, заключенного между осями координат. 18.507. Случайная величина Х распределена равномерно нк / интервале ~ — —, — ~, Найти плотности распределения вероятно- 2' 2,~ стей функций У~ = ЗХ, Ут = а гйп ~ — Х, а > О. 18.508.
Случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром Л. Найти плотность распределения вероятностей случайных величин ,/ Х К Хз 17 1,-лх 18.509. Случайная величина Х подчиняется закону распреде. ленин Коши с параметрами с = О, а = 1 (см. задачу 18.487) Найти плотности распределения вероятностей следующих случайных величин: 1 У~ = ЗХ вЂ” 2, Уг = ЗХ вЂ” 2 3 4. Функции случайных величин 123 18.510 (продолжение).
В условиях предыдущей задачи найти Плотности распределения вероятностей случайных величин Уз = — агсСЕХ, У4 = 4Х . 2 18.511. Указать закон распределения случайной величины У = г" Х 1 1п ~ — ), если случайная величина Х подчиняется закону рас~*.) ' йределения Парето (см. задачу 18.305) с параметрами а > 0 и еа > О. Случайная величина Т имеет распределение Стьюдента с и б М еглепенлии свободы (Т распределена по закону Бс(п)), если она иепрермвного типа и ее плотность распределения вероятностей имеет вид /и+ 11 У (с)= [1+ —, — о<с<+ о. ~/пп Г Н ~,(х) = р (г <.) = РО) ~ (*.а )< Ух у (х, в) дх Иу, если (Х, У) — С.
В. Н. Т. если (Х, У) — С. В. Д. Т., (4) у Оь у)<т гаспределение Стьюдента играет важную роль в математической статистике в связи со следующим утверждением, сформулированным в задаче 18.512. 18.512а. Пусть случайная величина Х распределена по закону й1 (О, 1), а независимая от нее случайная величина У распределена по закону Хз(н). Тогда случайная величина Т = Х распределена по закону Яг(н). Доказать это. 18.513. Случайная величина Т подчиняется закону распределения Бт(п). Определить наибольшее натуральное значение т, для которого существует момент М [~Т['"). Если (Х, У) — случайный вектор с заданным законом распределения и х = у(Х, У), где ~р(х, р) — произвольная неслучайная функция, то Гл.
18. Теория ве оятностей 124 Найдя функцию распределения г,(х), далее по известным правилам можно найти закон распределения случайной величины Е. В частности, плотность вероятности у,(я) для случая непрерывного вектора (Х, У) находится дифференцированием г',(х) по х, если в точке х функция Р,(х) дифференцируема. Пример 10. Случайный вектор (Х, У) дискретного типа распределен по закону, определяемому таблицей Описать закон распределения случайной величины Я = (У) — (Х!.
а Лля каждой пары возможных значений (х„у ) вычислим соответствующее значение х (х;, уу) = )у ( — (х;! и результат оформим в виде таблицы. Из анализа таблицы заключаем, что множеством возможных значений случайной величины Я является множество 1 — 1, О, 1, 2, 3). Вероятности реализации соответствуюцгих значений получаем по правилу сложения вероятностей. Например, Р1Я= — 1) =Р1Х= — 1, У=О) +Р1Х=1, У=О)=0 08+ 0 09 = 0 18. Окончательный результат оформляем в виде таблицы распределения 3 4. Функции случайных величин 125 Пример 11. Случайный вектор (Х, 1') распределен равномерно в круге радиуса а с центром в начале координат. Найти плотность распределении веронтностей случайной величины Я = 1'/Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
