341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 21
Текст из файла (страница 21)
18.384 (продолжение). Вычислить момент р2 з для распределения случайного вектора предыдущей задачи. 18.385. Иван и Петр наудачу извлекают по одному шару из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара. Иван извлекает шар первым. Случайные величины: Х вЂ” число белых шаров у Ивана, У вЂ” число белых шаров у Петра. Описать закон распределения случайного вектора (Х, У) и безусловные законы распределения компонент, если выбор шаров производится без возвращения. 18.386 (продолжение). Решить задачу 18.385 при условии, что выбор шаров осуществляется с возвращением. В каком случае вероятность события 1Х > У) больше: в опыте из задачи 18.385 или в данном опыте? 18.387.
Случайная величина Х принимает значения О, 1 или 2 с вероятностями соответственно 0,2; 0,7 и 0,1, а не зависящая от нее случайная величина У вЂ” значения — 1, О, 1 соответственно с вероятностями 0,3; 0,5; 0,2. Описать закон распределения случайного вектора (Х, У ) и вычислить функцию распределения в точках (1,5; -0,5) и (0,5; 4). 18.388. По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна рм при втором рз.
Случайные величины: Х вЂ” число попаданий при первом выстреле, У вЂ” число попаданий при втором выстреле. Найти функцию распределения Гх г (х, у). 18.389. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу извлекают 2 шара без возвращения. Случайные величины: Х вЂ” — число белых шаров в выборке, У вЂ” число черных ша- з 3. Случайные векторы 97 ов в выборке. Описать закон распределения случайного вектора Х, У) и вычислить рву. 18.390. Производится два выстрела по мишени в неизменных условиях.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна р. Случайные величины: Х вЂ” число выстрелов до первого попадания (включительно), У вЂ” число промахов. Описать закон распределения случайного вектора (Х, У). Найти центр рассеивания данного распределения и значения о~, и о~.. 18.391 (продолженне). Вычислить вероятность события (Х > > У+ 1). 18.392 (продолжение). Вычислить козффициент корреляции для компонент случайного вектора из задачи 18.390. 18.393. Функция распределения случайного вектора (Х, У) дискретного типа имеет вид, определяемый таблицей Описать закон распределения случайного вектора (Х, У) и найти центр рассеивания.
18.394. Бросаются две одинаковые игральные кости. Случайные величины: Х вЂ” индикатор четности суммы выпавших очков (т.е. Х = 1, если эта сумма четна, и Х = О в противном случае), У вЂ” индикатор четности произведения выпавших очков (т.е. У = 1, если зто произведение четно, и У = О в противном случае). Описать закон распределения случайного вектора (Х, У). 18.395 (продолжение). Построить функцию распределения случайного вектора из предыдущей задачи.
18.396 (продолжение). Найти ковариационную матрицу случайного вектора из задачи 18.394. 18.397. Число Х выбирается случайным образом из множества целых чисел (1, 2, 3). Затем из того же множества выбирается наудачу число У, большее первого или равное ему. Описать закон Распределения случайного вектора (Х, У) и определить, зависимы нли независимы случайные компоненты Х и У.
18.398 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти "оэффициент корреляции рху. Гл. 18. Теория вероятностей 18.399 (продолжение). В условиях задачи 18.397 описать условный закон распределения компоненты Х при условии У = 3 и вычислить М [Х/У = 3). 18.400*. В продукции завода брак вследствие дефекта гг составляет 3%, а вследствие дефекта )3 — 4,5%. Годная продукция составляет 95%. Определить, какой процент всей продукции обладает дефектами обоих типов. 18.401 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти коэффициент корреляции дефектов о и )3.
18.402е. В продукции завода брак вследствие дефекта сг составляет б %, причем среди забракованной по признаку сг продукции в 4 % случаев встречается дефект )3, а в продукции, свободной от дефекта сг, дефект Д встречается в 1% случаев. Найти вероятность встретить дефект,З во всей продукции.
18.403 (продолжение). В условиях предыдущей задачи вычислить коэффициент корреляции дефектов сг и )3. П р н м е р 5. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (Х, У) непрерывного типа задана следуюшим образом: О., х2+у2 > аг 2л,т (х, у) = л' т- лт+ т) ..' ~ т Определить константу с и вычислить Р((Х, У) е С), где С = ((х, у) ) х > О, у > О). — первый квалпант плоскости Оху. а Константу с находим нз условии нормировки, которое в данном случае записывается в виде л а.~. 2 л < а а Переходя к полярной системе координат, находим 2л а — — с 2лаз с бу т~/а~ — т2 Йт = =1 3 о о 3 откуда следует, что с = — .
2лаз Вероятность попадания в область С для случайного вектора (Х, 1') непрерывного типа определяется, согласно формуле (5), кзк двойной интеграл от плотности, взятый по области С; поэтому л/2 а Р ((Х, 1') Е С) = — / бу / т ~ а' — т2 г1т = — . > 2лаз !,/ 4 о о 3 3. Случайные векторы П р им е р б (продолжение).
Вычислить центр рассеивания и ковариацнонную матрицу случайного вектора из примера 5. а В силу осевой симметрии функции плотности очевидно, что )Г"'= ",.=,,'= .,„ пзх, т„) = (О, 0). Отсюда следует, что для данного распределения = аг,о, Р„= оо 2, и К»„= а1 ы Записывая соответствующие х а2,0) моменты в полярной системе координат, получаем 2» а 3 Г = — / соз ргбр ( т ч а — т Йт = г З / 2 х 22таз / о о 2» а 2» а 3 / ~,, р 3 à — ылЬ|/Р— ' а г —,1 уаиа/ еа 4таз,/ 4таз „/ о о о о а а — (аг — тг)3~28(аг — тг) — — / (аг — тг)зтг 1(аг — т ) = 4аз 4а у 2 о о 2 2~3!2 2 ( 2 .2)3/2 ) ( Так как выражение для ао,г сводится к тому же интегралу, то Р„ = аг/5.
Ковариация находится следующим образом: К»т = — | авар созрйр ( т зга — т 4т = О. 3 3 / 2 2 2хаз / Таким образом, коварнапнонная матрица имеет вид О аг/5 В задачах 18.404-18.422 рассматриваются случайные векторы непрерывного типа. 18.404. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (Х, У) имеет следующий вид: с(х+ у) при 0 < х < 1, 0 (~ у < 1, Ух, (х у) = 0 в остальных случаях. згпределить константу с и вычислить Р (Х + У < Ц. Гл.
18. Теория вероятностей 100 18.405 (продолжение). В условиях предыдущей задачи определить безусловную плотность распределения компоненты Х и установить, зависимы компоненты Х и У или нет. 18.406 (продолжение). Для случайного вектора из задачи 18.404 вычислить центр рассеивания и функцию распределения Гх(х). 18.407. Плотность распределения вероятностей двумерного случайного вектора (Х, У) имеет следующий вид: с(ху+у) приО<х(2, О<у<2, /х, (х,у)= с О в остальных случаях.
Вычислить значение постоянной с и вероятность Р (Х + У < 2). 18.408 (продолжение). Найти центр рассеивания случайного вектора из предыдущей задачи. 18.409. суункция распределения случайного вектора (Х, У) непрерывного типа задана в виде гх,1 (х у)— О, если х<Оилиу<О, 1 2 — (япх+ япу — яп(х+ у)), если 0 ( х < х/2, О<у<в/2, 1, если х > х/2 и у > л/2.
Вычислить вероятности р1 = Р((Х,У) Е С1) и р2 = Р ((Х,У) Е Е С2), где области С1 и С2 изображены на рис. 9 и 10 соответственно. 6 Э 2 6 3 2 Рис. 10 Рис. 9 18.410 (продолжение). Вычислить плотность распределения вероятностей случайного вектора из предыдущей задачи и найти его центр рассеивания. 'З 3. Случайные векторы 101 Говорят, что случайный вектор (Х, У) непрерывного типа распределен равномерно в облав»пи С С К~, если С вЂ” квадрируемая область и плотность распределения вероятностей такого вектора имеет вид О, если (х,у)7С, у» . (*, у) = если (х, у) е С, где Я (С) — плошадь области С. 18.411.
Случайный вектор (Х, У) распределен равномерно внутри прямоугольника С = ((х, у) ~ — 1 < х < 2, 1 < у < 2). Получить выражения для плотности распределения у»» (х, у), функпии распределения Р» „(х, у) и установить, зависимы или нет компоненты Х и У. 18.412 (продолжение). В условиях предыдущей задачи вычислить центр рассеивания (т», т») и дисперсии Р» и Р, .
18.413 (продолжение). В условиях задачи 18.411 вычислить вероятности р, = Р ((Х, У) Е С;), 1 = 1, 2, где С1 —— ((х, у) ( 0,5 < < х < 1,5, 1,5 < у < 2,5)) Сг = ((х, у) ~ хт + (у — 1,5)2 < 0,25). 18.414. Случайные величины Х и У независимы и распределены по законам В (-1, 1)и Н(0, 2) соответственно. Найти выражение для плотности у .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
