341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р. Поражение пели может наступить при й попаданиях (й = 1, 2, ...) с веро- 3 2. Случайные величины 75 нтностью, равной 1 — 1" (О < 1 < 1). Вычислить вероятность поражения цели при и выстрелах, 18.325. На контроль поступила партия деталей из цеха.
Известно, что 5 Ув всех деталей не удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь? 18.326. Путем длительных наблюдений установлено, что в данной местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Что вероятнее: из восьми наудачу взятых дней сентября будет два дождливых или три дождливых дня? 18.327. Доказать рекуррентную формулу длл биномиальиых аеролтиостей: рп — т Р, + (р) =- —,Р„, (р) 9 т+1 и с ее помощью установить, что наиболее вероятное число успехов (а» = М) в серии и независимых испытаний удовлетворяет неравенству пр — о<М<пр+р, 18.328. Вероятность отказа каждого прибора при испытании не зависит от отказов остальных приборов и равна 0,2.
Испытано 9 приборов. Случайная величина Х вЂ” число отказавших за время испытаний приборов. Найти наиболее вероятное число отказавших приборов. 18.329 (продолжение). В условинх предыдущей задачи найти вероятность события А = (Х > т»). 18.329 (1). В последовательности и независимых испытаний с вероятностью успеха р в каждом испытании произошло ровно 2 успеха. Какова веронтность, что успехи произошли в соседних испытаниях? 18.330. Испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании повторяютсн до тех пор, пока не появится успех, после чего прекращаются. Обозначим Х число проведенных испытаний до первого успеха включительно. Описать закон Распределения случайной величины Х и найти Р (Х < 3) (полученное распределение называется геометрическим с параметром Р > О).
18.331 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти тх и О». 18.332. Вероятность появления брака на автоматической линии равна 0,001. Линия работает без переналадки до понвления первого бракованного изделия. Сколько изделий в среднем производит данная автоматическан линия между двумя переналадками? Гл.
18. Теория вероятностей 76 Какова вероятность того, что число произведенных изделий окажется больше Зтх? 18.333*. Вероятность попадания стрелка в мишень в неизменных условиях постоянна и равна р Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Обозначим Х число выданных стрелку патронов в данном эксперименте. Найти тх, Р„» д„. 18.334. Проводятся последовательные испытания по схеме Бернулли. Вероятность успеха в одном испытании равна р.
Вычислить вероятность события А = (все й успехов в п испытаниях появятся подряд). 18.335 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности следующих событий: В = (й-й по счету успех наступит в т-м по счету испытании (т > Й)), С = (Й-й по счету успех наступит прежде, чем наберется т неуспехов). 18.335(1). В автобусе едут и пассажиров. Каждый из пассажиров может выйти на следующей остановке с вероятностью р. Кроме того, в автобус могут войти й пассажиров с вероятностью р» (й = О, 1, 2, ..., т; т ( н).
Принимая модель независимости поведения каждого из пассажиров от остальных, найти вероятность события А = (после остановки в автобусе снова будут ехать и пассажиров). 18.336. Испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании р повторяются до получения ровно Й успехов. Описать закон распределения и найти среднее значение числа проведенных испытаний в данном эксперименте. (Указанное распределение называется <отрииательныл«бина<«иальныл«< с параметрал«и й Е )») и р > 0) 18.337. Вероятность получения отметки цели на экране обзорного радиолокатора при одном обороте антенны равна 1/б.
Цель считается обнаруженной, если получены 3 отметки. Какова вероятность, что цель будет обнаружена не более чем за 5 оборотов антенны? Если вероятность осуществления события А от испытания к испытанию меняется, то формула Бернулли становится неприменимой. Пусть р« = Р«(А) — вероятность «успеха» в й-и испытании в последователь- насти независимых испытаний (де = 1 — р» — вероятность «кеуспеха» в й-м испытании). Тогда вероятность Р„осушествления ровно т успехов в и независимых испытаниях равна коэффициенту при х"' в разложении по степеням х производя«лей функции п п ( ) 11(«1< р«) <=1 »»=0 Искомые коэффициенты Р„вычисляются дифференцированием по х з 2.
Случайные величины 77 производящей функции Си(х): 1 д Си(х) пй Йх ' (8) П р и ме р 4. Обозначим Х число успехов в последовательности п независимых испытаний с вероятностью успеха в Й-м испытании, равной рь. Вычислить среднее число успехов н дисперсию величины Х. Получить аналогичные характеристики биномиалькога распределения в частном случае рь = р для всех и = О, 1, ..., п. а Пользуясь определением производящей функции, ь1ажем написать Ж„(х) гох =,~' пг~ и,и~ = = ~' Ры йх ш=о — ь=! Второй начальный момент находим аналогично: и с!2 — — ~~! гЯ~Р„ = — (хСи(х)) = С'„(1) + С'„'(1), ш=о 2=1 и и и и 22 и Си(1)-Р , 'Р +Р ,'>.Рь+ +Р.~Р2 — ~ Р.
,'>.Р!. Ьф! ьФг 2 К И Ви! Ни! Отсюда и и ~2 и и ч г 2 % ~ аг — г РЬ + ! ~РЬ) — г РЬ хх — Ог — и!х — г Р1ЧЬ. Ь=! 1=1 2=1 ь=! В частном слУчае Р! — — Рг — — ° = Ри хх Р из этих фоРмУл следУет, что Пгх = ЯР, Ох = ЯРЧ !х 18.338. Производится стрельба из орудия по удаляющейся цели. При первом выстреле вероятность попадания равна 0,8, при каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается в 2 раза. Случайная величина Х вЂ” число попаданий в цель при двух выстрелах.
Описать закон распределения. 18.339 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти !их и ~.~х. 18.340. Пусть случайная величина Х вЂ” число попаданий при 4 выстрелах в условиях задачи 18.338. Найти среднее число попаланий и дисперсию числа попаданий. 18.341 (продолжение). В условиях предыдущей зада*!и вычислить вероятности событий: А = (ровно одно попадание), В = (по крайней мере одно попадание). Гл. 18. Теория вероятностей 78 Рт,11 = 1т-1,Й Чт + Рт-!,/с — 1 Рт| из=2,3,...; )с=1,2,...,ги — 1, 1 т,т = Р1Р2 ° Рт~ ги = 1, 2, ..., Рт, Π— 9192 ° ° ° Чт~ 18.348Я.
Последовательно посылается 4 радиосигнала. Вероятность приема каждого из них не зависит от того, приняты или нет остальные сигналы, и равна соответственно 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4. Вычислить вероятность того, что будет принято ровно два радиосигнала. Пусть каждое из и независимых испытаний имеет М взаимоисключающих исходов ю1, юг, ..., ы„соответственна с вероятностями р1, / М Рг,, Рп ~ ~~ Ря = 1, не меняющимися от испытания к испытанию. Я=1 Обозначим Хп,ь (1 = 1, 2, ..., 1У) число появлений исхода юь в и испытаниях.
Тогда вероятность савместнога осуществления составного исхода всех и испытаний, состоящего в там, что исход ы1 появится т1 раз, ИСХОД Юг — тг Раэ,..., ИСХОД Юп — Игп Раэ (ГИ1+ Игг + + Игп = И), выражается формулой Р 1Хп 1 = т1, Хп,г = тг,, Хп п — — игп) = и)' 1п ! тг пцд = Рп;тити...,тп = 1Р1 Рг ..
Рп ГИ!' И12 ти' (9) Описанная схема последовательности испытаний с М исходами называется иалиномиальной схемой, а формула (9) определяет вероятности 18.342. Прибор состоит из пяти элементов. Отказ й-го элемента за время Т независимо от остальных элементов происходит с вероятностью рь = 0,2+(л — 1) 0,1. Определить: а) математическое ожидание и дисперсию числа отказавших за время Т элементов; б) вероятность того, что за время Т откажет хотя бы один из элементов прибора. 18.343. Вероятность перегорания первой, второй и третьей лампы соответственно равна 0,1, 0,2 и 0,3.
Если перегорает одна лампа, то прибор выходит из строя с вероятностью 0,5, а если две или три — то прибор заведомо выйдет из строя. Найти вероятность выхода прибора из строя. 18.344*. Проводятся последовательные независимые испытания с двумя исходами, причем вероятность успеха в Й-м по счету испытании равна рь (уь = 1 — рь — вероятность неуспеха). Доказать ренуррентную формулу для вероятности осуществления 1с успехов в т испытаниях: з 2. Случайные величины нолиномиальяого распределения.
Распределение Бернулли (7) являетсн частным случаем полиномиального распределения при Ж = 2, рд —— =1 р» =О» ° П р и м е р 5. В урне содержится 8 белых, 5 красных и 2 черных шара. Производится 5 извлечений с возвращением по одному шару. Рассматриваются события А = (появился следующий состав шаров: 3 белых и по одному остальных цветов), В = (появилось ровно 3 белых шара), С = (появилось 3 белых шара и по одному остальных цветов, причем белые шары появились подряд). Определить их вероятности. а Событие А соответствует полиномиальной схеме при я = 5, 1»' = 3, р, = 8/15, рэ = 5/15, рз = 2/15, поэтому 5! /81 5 2 8 /81 Р(А) = Р»;эл,« — — ~ — ) — — — — ~ — ~ 0,1348. 3! 1! 1! 1,15,) 15 15 9 1,15/ Событие В соответствует биномиальной схеме со значениями Х = 2, Р« = 8/15, Ч» = 7/15, поэтому ( )= мз — =С,' — .
-10 — — =03304 Событие С соответствует комбинированной схеме, в которой в каких- либо трех последовательных испытаниях белый шар выпал трижды, а в остальных двух испытаниях по одному разу выпали черный и красный шары, поэтому / 8 1 Р(С) = ЗР»,э ~ — у) Рао,к« = ~,15) 18.348. Произведено три независимых выстрела по мишени в неизменных условиях. Вероятность при одном выстреле попасть в «десятку» равна рго = 0,3, вероятность попасть в «девятку» равна рд = 0,4, вероятность не попасть ни в девятку, ни в десятку равна ро = 1 — рю — рд = 0,3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
